【山重水复疑无路，柳暗花明又一村】 山重水复疑无路的哲理

　　摘 要:教学活动要遵循内在规律,只有当一切外在事实(知识)通过教师的主导作用,最后被主体(学生)认识之后,这外在东西才会被主体真正占有,这种转化只有在参与实践中才能体会并重新构建,形成知识体系. 教材中的好多知识,表面上是孤立的,但如果教师在引领学生认知这些内容的同时,有“意识”地揭示这种“知识链”,内化学生的理解,那么学生对知识的构建便“水到渠成”!
　　关键词:数量积;向量;角度;距离
　　
　　作为新课程改革,高中数学教材的两个显著变化就是“向量和导数”的引入,其目的也很明确:为研究函数和空间图形提供新的研究手段,即充分体现它们的工具性. 但这种“工具性”只有在深刻理解的基础上才能用好,而要想用活,这又需要我们在实践中不断“开发”新的认识,丰富知识网络,形成较完善的“认知模块”和“知识体系”. 例如全日制普通高级中学教科书《数学•第二册(下B)》P3中,关于空间向量的数量积有这样三条性质:
　　(1)a•e=acos〈a,e〉,
　　(2)a⊥b?圳a•b=0,
　　(3)a2=a•a.
　　作为“工具”,性质(2)(3)比较明显,会立即得到充分的应用. 可是对于性质(1),在上新课时我总认为:这条性质没有什么“本质”的用处,有点像“房间里的摆设”――配角. 但是随着时间的推移,我发现了它的奥妙之处:在后继的有关空间问题的“三大角度”和“三大基本距离”的坐标法的研究中有着奇妙无穷的用途,并带来意想不到的“知识链”反应,极大地丰富了关于空间向量的“数量积”这一运算的“认知模块”的内涵. 本文便梳理和佐证这一认知,以飨读者.
　　
　　性质的产生与内含
　　已知向量=a和轴l,e是l上的单位向量,作点A在l上的射影A′,作点B在l上的射影B′,则叫向量在轴l上或在e方向上的正射影,简称射影. 可以证明=•e•cos〈a,e〉(证明略,如图1所示).
　　
　　图1
　　对此性质的理解有四点:
　　①结果本身含正负号;②其正负号由向量a与e所成角的范围决定;③加上绝对值=a•e便是一条线段长度(这里,刚好组成一个直角三角形的两条直角边);④可以推广为求一条线段在另一条直线上的正射影(此线段所在直线与已知直线的位置关系可为异面直线).
　　
　　性质的“知识链”
　　对教材引进空间向量的“坐标法”来解决空间中“三大角”问题,学生可以说是欣喜若狂啊,因为学生觉得这种方法好,可操作性强(只要能建系,有坐标就行)!但在实际应用中,学生觉得这些结论不易理解,加上这些结论只能逐步形成和完善,靠死记硬背吧,今天记了明天又忘了,等到用时,仍是“生硬、呆板”,甚至张冠李戴. 如何突破这一问题?我认为其根本原因是:在学生的认知结构里,这一性质未能如愿地形成“知识链”. 那么,这一性质是怎样与相关问题产生“对接或联系”的呢?
　　1. 它是空间三大角(即线线角、线面角、二面角的平面角)用向量法求解的“对接点”.
　　(1)对线线角αα∈0,的新认识.
　　我们把这两条线赋予恰当的两个向量,问题就化归为两个向量的夹角(两个向量所成的角的范围为[0,π]),即cosα=cos〈a,b〉==,我们能否加以重新认识这个公式呢?如图2、图3、图4,cosα==,此时OB1可以看作是b与a方向上的单位向量e的数量积b•e(其中e=),这就是由数量积这条性质滋生而成的,故此结论可以重新理解为cosα=,这里刚好满足三角函数中余弦的定义(邻边比斜边).
　　(2)对线面角θθ∈0,的新认识.
　　sinθ=cos〈,n〉=,
　　
　　图5
　　其中n为平面α的一个法向量,此结论可以重新理解为sinθ==,此时又可以看作是在n上的投影,其即为在n方向上的单位向量e的数量积•e,其中e=,故sinθ=,这里刚好满足三角函数中正弦的定义(对边比斜边).
　　(3)对二面角的平面角θ(θ∈[0,π])的新认识.
　　cosθ=cos〈n1,n2〉=(其中n1与n2是二面角所在两平面的各一个法向量),此结论可以重新理解为:cosθ==,这里刚好满足三角函数中余弦的定义(邻边比斜边).
　　(4)三大角的统一理解:
　　cosα=,sinθ=,cosθ==.
　　从上述梳理完全可以看出其本质特征. 这里的“空间角”的求法,完全与直角三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接――对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影,即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积,而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图,学生完全可以达到“系统化”和“自主化”,因为直角三角形中的三角函数定义,他们太熟悉了!将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区”,那学习就会水到渠成!
　　2. 它又是空间三大距离(即点线距、点面距、异面直线间距离)用向量法求解的“联系点”.
　　空间有七大距离(除球面上两点间的距离外)基本上可转化为点点距、点线距、点面距,而点线距和点面距又是重中之重!另外两异面直线间的距离,高考考纲中明确要求:对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离. 因此,对异面直线间的距离的考查有着特殊的身份. 教材中引进了向量法来解决距离问题,也给问题的解决带来了新的活力!这样便不用作出(或找出)所求的距离了.
　　(1)对点面距的新认识.
　　
　　图7
　　d==•sinθ=•=(其中n为平面α的一个法向量),此结论可以重新理解为: d=•,即为在n上的投影,d即为与n方向上的单位向量e的数量积•e(其中e=).
　　(2)对点线距的新认识.
　　①新认识之一:
　　如图8,若存在一条与l相交的直线时,就可以先求出由这两条相交直线确定的平面的一个法向量n,则点P到l的距离d=•.
　　
　　图8
　　②新认识之二:
　　若不存在一条与l相交的直线时,我们可以先取l上的一个向量n,再利用2=2-2来解,即:d2=2-2,而可以理解为在l上的向量n的投影,其模即为:=•.
　　(2)对异面直线间距离的新认识.
　　从这几年的高考《考纲说明》观察,我们不难发现,对异面直线间距离的考查本意不能太难,但若出现难一点的考题,命题者又能自圆其说. 实际上,这种自圆其说归根到底在于高考考纲中的说法:只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离. 那也就是说,在不作出公垂线(也许学生作不出)的情况下,也可以求出它们的距离!那就是用向量法!
　　如图9所示,若直线l1与直线l2是两异面直线,求两异面直线的距离.
　　解析在两直线上分别任取两点A,C和B,D,构造三个向量,,,记与两直线的公垂线共线的向量为n,则由•n=0与•n=0得n,则它们的距离就可以理解为在n上的投影的绝对值,即d=•.
　　(3)三大距离的统一理解.
　　d=•(点面距),d=•(异面距),d=•(点线距之一),d2=2-2且=•(点线距之二),其本质特征是一个向量在另一个向量上的投影,是数量积的性质的直接应用.
　　由上述的剖析过程不难再看出空间中的三大角与三大基本距离的计算,都隐藏于这个“特定”的数量积的性质之中,体现在这个公式结构的“统一美”之中,把问题的本质揭示得“淋漓尽致”,而又不失自然!这给“立体几何”中向量的工具性的体现,增添了几分美感与统一感!
　　
　　性质的应用
　　例1如图10,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=2,AA1=1,直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°,AE垂直BD于点E,点F为A1B1的中点.
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　　图10
　　(1)求异面直线AE与BF所成的角;
　　(2)求平面BDF与平面AA1B所成的二面角;
　　(3)求点A到平面BDF的距离.
　　解析在长方体ABCD-A1B1C1D1中,以AB所在的直线为x轴,以AD所在的直线为y轴,AA1所在的直线为z轴建立如图11所示的空间直角坐标系.
　　由已知AB=2,AA1=1,可得A(0,0,0),B(2,0,0),F(1,0,1),又AD⊥平面AA1B1B,从而BD与平面AA1B1B所成的角为∠DBA=30°. 又AB=2,AE⊥BD,AE=1,AD=,从而易得E,,0,D0,,0.
　　(1)?摇因为=,,0,=(-1,0,1),所以cos〈,〉=•==-. 易知异面直线AE,BF所成的角为arccos.
　　(2)?摇易知平面AA1B的一个法向量m=(0,1,0),设n=(x,y,z)是平面BDF的一个法向量,=-2,,0,
　　由n⊥,n⊥?圯n•=0,n•=0?圯-x+z=0,2x-y=0?圯x=z,x=y,
　　即n可为(1,,1).
　　所以cos〈m,n〉=m•=,
　　即平面BDF与平面AA1B所成的二面角的大小(锐角)为arccos.
　　(3)点A到平面BDF的距离,即在平面BDF的法向量n上的投影的绝对值,所以距离d=•==. 所以点A到平面BDF的距离为.
　　例2如图12,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥侧面BB1C1C,E为棱CC1上异于C,C1的一点,EA⊥EB1,已知AB=,BB1=2,BC=1,∠BCC1=,求:
　　(1)异面直线AB与EB1的距离;
　　(2)二面角A-EB1-A1的平面角的正切值.
　　
　　图12
　　解析(1)以B为原点,,分别为y,z轴建立空间直角坐标系. 由于BC=1,BB1=2,AB=,∠BCC1=,在三棱柱ABC-A1B1C1中有B(0,0,0),A(0,0,),B1(0,2,0),A1(0,2,),C,-,0,C1,,0. 设E,a,0,由EA⊥EB1,得•=0,即0=-,2-a,•-,-a,0=+a(a-2)=a2-2a+. 得a-a-=0,即a=或a=(舍去),故E,,0. 所以=(0,0,),=,-,0. 设n=(x,y,z)所在的直线与AB和B1E都垂直,则n•=0,n•=0,所以,n=(,1,0)(令y=1),故d=•=1.
　　(2)由已知有⊥,⊥,故二面角A-EB1-A1的两个半平面的夹角为与的夹角或其补角. 因==(0,0,),=-,-,,故cosθ====. 所以tanθ=.
　　通过上述几个例题的分析,我们不难看出:立体几何中的几何法难在“找(或作)所求的角度或距离”,通过这个数量积的性质的转化(方法的转化与知识之间的转化),其“难”渐渐地溶解于“转换与化归”之中及学生的细心“计算”之中,从而也焕发了数量积这条性质的奥妙之处,也就更体现了“向量”这个工具在立体几何中应用的优越性、工具性. 因为“程序化”的计算使学生的“信心”倍增!同时,让学生也懂得了“知其所以然”,再也不用为记这一个“好结论”而烦恼了!
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