概率统计知识归纳 例谈中学概率统计教学中数学史的运用

　　当前我国正在推进基础教育改革，十分重视数学教学中运用数学史．概率统计教学可以通过解读史实，促进学生对概率定义的理解；剖析史情,培养学生正确的概率直觉；挖掘史料，让学生体会概率统计的思想方法；运用史例，启发学生的创新意识，从而提高学生理解和应用不确定性数学的能力．
　　数学史是学习数学、认识数学的工具．人们要认识数学概念、数学思想和方法的发展过程，建立数学的整体意识，就必须运用数学史作为指导．概率论与数理统计也有其自身不断发展和完善的历史，当前我国正在推进基础教育改革，十分重视数学史和数学文化的教育，在中学概率统计教学中运用数学史有助于学生理解数学知识之间的联系和不确定性数学特有的思想方法，从而提高学生的数学应用和创新能力．
　　
　　1解读史实，促进学生对概率定义的理解
　　
　　 概率的古典定义是拉普拉斯1812年给出的,它讨论的对象仅限于随机试验中所有可能的结果为有限多且等可能的情形．教学中可结合“赌金分配”问题，体会古典概率的模型特征，加深对定义的理解．举该问题的一个简单情形：甲、乙二人赌博，各出赌注30元，共60元，每局甲、乙胜的机会均等，都是12．约定：谁先胜满3局则他赢得全部赌注60元，现已赌完3局，甲2胜1负，而因故中断赌博，问这60元赌注该如何分给2人，才算公平．初看觉得应按2：1分配，即甲得40元，乙得20元，还有人提出了一些另外的解法，结果都不正确，正确的分法应考虑到如在这基础上继续赌下去，甲、乙最终获胜的机会如何．其实，至多再赌2局即可分出胜负，这2局有4种可能结果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙．前3种情况都是甲最后取胜，只有最后一种情况才是乙取胜，二者之比为3∶1，故赌注的公平分配应按3∶1的比例，即甲得45元，乙得15元．
　　概率的古典定义具有可计算性的优点，但它也有明显的局限性．要求样本点有限，如果样本空间中的样本点有无限个，概率的古典定义就不适用了．把有限个样本点推广到无限个样本点的场合，人们引入了几何概型，由此形成了确定概率的几何方法．学习概率的几何定义的最典型的例子是“会面问题”和历史上著名的“蒲丰投针实验”：平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于 a，向此平面任投一长度为L（L小于 a）的针，试求此针与任一平行线相交的概率．这个几何概型问题可运用积分运算求得P =2Lπa．由于“蒲丰投针实验”的理论概率中含有常数 π，教学中可以通过设计L和 a，经统计实验估计出概率P，然后运用以上给定的概率模型公式求出圆周率．这样将概率的几何定义和概率的统计定义的学习有机联系起来，同时学生又体验到求 π的方法的多样性和数学知识之间的广泛联系性．
　　概率的古典定义和几何定义都要求在随机实验中基本事件发生的可能性相等，但人们发现在相同的条件下做大量重复试验，一个事件发生的次数n和总的试验次数N之比，在试验次数N很大时，它的值将稳定在一个常数附近．N越大，这个比值“远离”这个常数的可能性越小，这个常数就称为这个事件的概率．这个定义与统计有密切的关系，它建立在频率稳定性的基础上，所以称为概率的频率定义．这种概率讨论的对象不再限于随机试验所有可能的结果为等可能的情形，因而更具一般性．教学中可以在学生动手操作抛掷硬币的统计实验基础上，参照历史上著名科学家大数次地投掷硬币的结果，进一步感受频率概率的大数次实验要求以及概率统计的随机性和统计规律性．
　　由下表容易看出，当投掷次数较少时频率的波动较大，当投掷次数增大时频率呈现稳定性，即出现正面的频率在0.5附近摆动，而逐渐稳定于0.5．概率的这三个定义属于描述性定义，在叙述中都用了“可能性”一词，而概率恰是关于“可能性”的概念，所以这些定义从理论上看是不严格的，有循环定义之嫌．由于缺乏严格的理论基础，常常被人找到一些可钻的空子，其中最为典型的要算1889年法国数学家贝特兰提出的概率悖论：在圆内任作一弦，其长度超过圆内接等边三角形边长 a的概率是多少?作者给出了三种不同的答案:
　　
　　第一种解答是假定弦中点H在直径PQ上均匀分布时P=12（图1）；
　　图1图2图3第二种解答是假定弦中点H在小圆周上均匀分布时P=13（图2）；
　　而第三种解答是假定弦中点H在小圆内均匀分布时P=14（图3）．这个悖论产生的根本原因是三种解法所作的等可能假设是不同的，所对应的样本空间是不同的，它们是三个不同的随机试验．因此，在样本点为无限的情况下，必须对样本空间及样本点作具体限定，概率的公理化定义由此应运而生．教学中适时给学生传授这种概率统计发展中的焦点问题的产生和解决过程有助于学生对数学定义的内涵有更加科学的理解．
　　近年来随着数学发展的领域不断拓宽，主观概率日益受到人们的关注．概率的主观定义也称直觉定义，“它是指在一次性事件中，认识主体根据其所掌握的知识、信息和证据，而对某种情况出现的可能性大小所作的数量判断”（陈希孺2000、6）．英国学者贝叶斯提出的“贝叶斯公式”被认为是使用主观概率的第一个公式．问题在于，实践中对许多事物由于所考虑的过程还没有进行，因而往往无法得到概率．但实际上，如果人们根据以往的经验数据，甚至根据主观或客观上的某一要求而得到的数据予以分析，估计出一个最优值，作为研究总体的假设概率，最后在得到新的信息的基础上对假设概率重新予以修正，这样做是无可非议的．在现代愈来愈复杂的经济活动中，某些决策无法用理论概率或经验概率来判断时，如投资等经济决策问题中应用主观概率是可行的办法．教学中适当介绍主观概率可以丰富学生对概率的认识．
　　
　　2 剖析史情,培养学生正确的概率直觉
　　
　　 英国学者威尔斯说:“统计的思维方法，就像读和写的能力一样，将来有一天会成为效率公民的必备能力．”然而，概率统计不同于几何、代数等研究确定性现象的数学分支，在理论和方法上有其独特的风格，在概率统计的学习中，学生们会遇到许多随机数学理论．由于各种随机现象不能用“因果关系”加以严格控制和准确预测，也不能用一些简单的定律加以概括，而需要从大量观测中综合分析找出规律性，所以培养学生正确的概率统计思维方法是必要的．
　　教学中我们经常发现许多学生在学习概率统计课程的时候，往往囿于确定性数学的思维方式，不能建立正确的概率直觉，在概率学习和问题解决中存在大量的错误认识．实际上，对于教师来讲，保持概率统计课程的逻辑严谨性并注重学生概率直觉能力的培养是必须处理好的重要问题．让学生尽早体验概率与实际事物的紧密联系，敏锐感受实际事物中的随机性，是建立正确概率直觉的必备条件．例如，在学习“生日问题”时，教师可以先引入以下史情：美国历史上至今已有42位总统，其中第11任的波尔克和第29任的哈定生日都是11月2日，还有亚当斯、杰斐逊、门罗三位总统都死于7月4日，这是一种历史的巧合，还是很正常的现象呢？
　　“生日问题”也许令人十分困惑：50个人中有两人生日相同，你也许认为这只是巧合，其实几乎可以肯定至少有两人在同一天过生日．我们可以用概率的方法测算一下．为了简便，我们不记闰年，一年按365天算，那么该问题的理论概率为1－A��50���365�365��50�≈0.97．这件事情发生的概率，并不是大多数人直觉中想象的那样小，而是相当大．这个例子告诉我们，通常的“直觉”并不很可靠，这就有力地说明了研究随机现象统计规律的重要性．本例的错误直觉源于人们潜意识中把50个人中相互间有两人生日相同直觉成50个人中有人和自己的生日相同，而后一种情况的理论概率仅为：1－（364365）��49�≈0.13．所以形成“50个人中有2人生日相同”的概率不是很大的错觉．教学中可以通过统计调查或随机模拟实验让学生经历估计和验证随机事件发生概率的过程，逐步建立正确的概率直觉．
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　　3 挖掘史料，让学生体会概率统计的思想方法
　　
　　 概率统计是中学数学新课程的重要组成部分，它研究随机现象的统计规律性，具有独特的概念、方法和理论．教学中应更多地关注实验与统计过程，结合史例，及早培养学生的随机思想和统计观念．
　　3.1 随机思想
　　随机思想的核心是认识隐藏在随机现象背后的统计规律性，强调随机现象的个别观察的偶然性与大量观察中的统计规律性之间的联系．必然性通过偶然性表现出来，偶然性背后总是隐藏着必然性，大量的随机现象正体现出事物发展过程中的必然性的一面．随机思想正是通过对这种偶然性的研究去发现其背后的必然性―即统计规律性，并通过这种必然性去认识和把握随机现象．
　　随机试验是随机思想中的一个重要方法，历史上为了研究随机现象呈现的统计规律性，进行过非常著名的随机试验，如蒲丰、皮尔逊等所做的掷硬币试验，高尔顿设计的高尔顿板试验模型等．例如，投掷硬币中，假如我们进行大量投掷，正面朝上的频率就非常接近一半，即正面朝上的理论概率为12，我们把这种个别结果不确定，但是多次重复之后，结果有规律的现象称为随机现象．“随机的”不是“偶然的”同义词，而是描述一种不同于确定性的秩序，概率统计是描述随机性和统计规律性的数学．
　　理解随机思想的关键是理解某一事件发生的试验频率与理论概率存在偏差，而且偏差的存在是正常的．虽然多次试验的频率渐趋稳定于其理论概率，但也不排斥无论做多少次试验，试验概率仍然是理论概率的一个近似值，而不能等同于理论概率．例如理论上事件“随意抛掷一枚硬币，落地后正面朝上”发生的概率为12，但试验100次，并不能保证恰好50次正面朝上，50次正面朝下．只要学生真正动手做试验，必能体会到这一点．事实上，做100次掷币试验恰好50次正面朝上，50次正面朝下的概率仅为C��50���100�(12)��100�≈�� �8%，远远低于投币二次有一次正面朝上的概率50%．教学中要防止学生把概率直觉地理解为“比率”，这样才算对某一事件发生的概率有较为深刻的认识．
　　随机思想还包括统计实验过程中抽样的随机性及模拟试验或随机抽样结果的随机性．只有学生认识到这一点，才能真正明白现实世界广泛存在的随机性，并主动地应用到生活中去．抽样的方法很多，但无论用什么方法抽样，都要坚持随机抽取的原则．这是避免人为的影响，保证样本客观、真实的基本要求．
　　3.2 统计推断思想
　　统计课程的核心目标是引导学生体会统计思维的特点和作用，体会统计思维与确定性思维的差异．例如，在运用样本估计总体的学习中，应通过对具体数据的分析，使学生体会到由于样本抽取具有随机性，样本所提供的信息在一定程度上反映了总体的有关特征，但与总体有一定偏差．另一方面，如果抽样的方法比较合理，样本的信息还是可以比较好地反映总体的信息．例如著名数学家拉普拉斯对伦敦、彼得堡、柏林和法国的男婴和女婴出生规律进行研究，得到的统计资料显示：10年间，男孩出生的频率在2243附近摆动；我国历次人口普查总人口性别构成数据，与拉普拉斯所得到的结果非常的接近．
　　科学家发现，不仅在人类社会生活中，在大自然中，生命的繁殖、进化也莫不服从概率统计规律．早在1843年，捷克修道士孟德尔首先通过研究豌豆的遗传规律为世人揭示了大自然的奥秘．由于豌豆的两种遗传基因在进入下一代的杂种细胞时，彼此分离，互不干扰，最后在生物传粉过程中随机组合，所以这个规律又称“分离定律”．后来孟德尔经过艰苦的探索又发现了两对性状不同的植株进行杂交时，不同对的遗传基因自由组合，而且机会均等，这就是孟德尔第二定律，也称“自由组合定律”．孟德尔发现的分离规律和自由组合规律实质上就是概率统计规律在遗传过程中的体现．
　　统计推断的过程不同于数学中的逻辑推理，是带有概率性质的一种推理方法，其依据是“小概率事件原则”．小概率事件原则认为:概率很小的事件在一次试验中是几乎不会发生的．如假设检验问题的解法便是统计推断思想的体现．对于某个假设，给定一小概率水平标准，通过对抽样数据进行整理、计算，如果结果使得一小概率事件发生了(这与小概率事件原则矛盾)，我们作出拒绝接受原假设的推断；否则，认为原假设是可接受的．这种统计推断思想的实施使数理统计的实用性得到充分的展现．教学中可以利用药效检验等实例重点介绍统计推断思想．
　　
　　4 运用概率模型史例，启发学生的创新意识
　　
　　 随机数学有很大一部分可以用概率模型进行描述，如有限等可能概型(古典概型)、伯努利概型、正态分布等．应用概率模型方法就是根据随机问题的具体特点，模拟建构一个随机问题的现实原型或抽象模型，借以反映问题的内在规律，然后 选择相应的数学 方法对 求得的数学模型作出解答，表现出从实践到理论又回到实践的过程．概率统计教学中应重视对概率模型的理解和应用，淡化繁杂的计算，使学生经历从多个实例中概括出具体的概率模型的过程，体会这些例子中的共同特点，培养学生识别模型的能力．美国普渡大学统计学教授大卫.s.莫尔曾经这样论述道:“学习组合学并不使我们增进对机遇概念的理解，也不比其他学科更能发展使用概率建模的能力．在大多数情况下，应该避免组合问题，除非是最简单的计数问题”．使用概率模型解决问题是归纳思维的一种典型方式，它离不开人们的观察、试验与合情推理，是数学化意识和思想方法的体现，有助于培养学生将数学理论应用于解决实际问题的能力和创新意识．
　　数学史在展现随机数学知识发展过程的同时，数学家也常给后人在数学方法的运用和解决实际问题的创新思维方面带来启示，例如利用概率模型求 π就是典型的史例，一部计算圆周率的历史，被誉为人类“文明的标志”．1872年英国学者威廉.向克斯已把 π的值算到了小数点后707位．此后半个多世纪，数学家法格逊对向克斯的计算结果产生怀疑，法格逊的疑问是基于以下奇特的想法:在 π的数值中，大约不会对一两个数码存有偏爱，也就是说各数码出现的概率都应当等于110．随着电子计算机的出现和应用，计算 π的值有了飞速进展，1973年，法国学者让.盖尤与芳旦娜小姐合作，对 π的前一百万位小数中各数码出现的频率进行了有趣的统计得出的结论是：尽管各数字出现也有某种起伏，但基本上平分秋色．看来，法格逊的想法应当是正确的，在 π的数值展开式中有: P(0)=P(1)＝P(2)=…＝P(9)＝�0.1�．但有时由于概率模型含有不确定的随机因素，分析起来比确定性的模型困难．在这种情况下，可以考虑采用蒙特卡洛（Monte Carlo）方法．Monte Carlo方法是计算机模拟的基础，它的名字来源于世界著名的赌城――摩纳哥的蒙特卡洛，其历史起源于1777年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周率的方法――随机投针法，即著名的蒲丰投针问题．蒙特卡洛方法属于试验数学的一个分支，它的基本思想是首先建立一个概率模型，使所求问题的解正好是该模型的参数或其他有关的特征量．然后通过模拟统计试验，即多次随机抽样试验，统计出某事件发生的百分比．只要试验次数很大，该百分比便近似于事件发生的概率，最后利用建立的概率模型，求出要估计的参数即问题的解．
　　
　　参考文献
　　1 李文林.数学史概论［M］.北京:高等教育出版社,2002
　　2 张丹.统计与概率［M］.北京:高等教育出版社,2006
　　3 张远南.概率和方程的故事［M］.北京:中国少年儿童出版社,2005
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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