如何利用课堂教学中的错误资源 “错误”是极好的教学资源

　　摘要：数学教学要善于发现学生中的错误，善于设置错误，也要善待学生的错误，对学生的错误要表现出更为积极的态度；要让学生具备勇于犯错误的精神，并善于从错误中学习；要把错误看做是其数学学习历程中的一个阶段，并在此基础上获得数学理解的进一步发展；要善于恰当地处理错误，力求在对错误的反思中悟得深刻，悟得透彻，使错误成为宝贵的教学资源．
　　关键词：错误；教学资源
　　
　　所谓“错误”是师生在认知过程中的偏差或失误，只要有认知，就会有错误．“错误”中包含了认知个体的大量信息，它客观地反映了个体的心理特点；“错误”伴随教学的始终，它有时发生在学生方面，有时发生在教师方面；“错误”可以作为很好的教学资源，教师在教学中要善于挖掘并利用形形色色的“错误”，它将给课堂教学带来蓬勃生机．
　　
　　剖析错误，加深理解数学概念
　　为了帮助学生理解反函数的概念，提出问题：函数y＝x2＋2x＋2有反函数吗？若有，求出反函数；若没有，说明理由．
　　学生中出现了两种错误解法：（1）因为y＝（x＋1）2＋1，所以（x＋1）2＝y－1，有x＋1＝，即x＝－1，故f-1（ｘ）＝－1． （2）因为（x＋1）2＝y－1，所以x＋1＝±，即x＝±－1，故f-1（ｘ）＝±－1． 经过交流和分析得出：第（1）种解法的错误在于两边开方要有“±”号，习惯性地取了“＋”号，这是一种错误的思维定式，是学生在解题中常犯的错误；第（2）种解法的错误是：没有理解反函数的概念． x＝±－1，这就说明x不是y的函数，所以原函数没有反函数． 在剖析错误之后，请学生尝试着去改变原函数的定义域，使它有反函数． 学生中出现了“x≥－1”“x≤－1”和“x≥0”等多种情况． 他们得出不同区间的依据，是利用了反函数的概念，在所给的区间上，每给定一个y值，都有唯一确定的x值与它对应． 通过对错误的剖析，加深了学生对反函数概念的理解． 面对问题：“要使函数y＝x2－2ax＋1在区间［1，2］上存在反函数，则a的取值范围是 ．” 他们利用反函数的概念，发现函数在区间［1，2］上必须是单调函数． 通过研究对称轴x＝a，得出a的取值范围是a≥2或a≤1． 对错误原因的分析，可以帮助学生正确理解数学概念，提高解决问题的能力．
　　学生的思源于疑，疑源于错，暴露学生的思维错误，犹如一石投入学生的脑海，必将激起学生思维的浪花，荡起智慧的涟漪，从而激起学生强烈的探求新知的欲望和动力，让学生经历犯错、析错、纠错的过程，并在过程中深化对数学概念的理解和掌握．
　　
　　尝试错误，正确构建数学知识
　　有一次，教师上“反比例函数的图象与性质”课，在让学生画出函数y＝的图象之前，先在黑板上画好了表格，并在表格中给出了12个关于原点对称的自变量x的值，然后请学生求出对应的y值，接着让学生按照表格中所得到的每一对（x，y）去描点、连线． 作完图象后，教师组织学生讨论教材上安排的“议一议”中的内容：“你认为作反比例函数的图象时应注意哪些问题？与同伴进行交流．” 学生议论出的结论是：“作图时连线要光滑．” 显然，这不是本质的，本质的是函数图象所反映出的函数的性质．
　　这与教师的教学设计有关． 教学中应该是让学生自己去列表、描点、连线，尝试着画出函数y＝的图象，让学生经历完整的画图过程． 在此基础上组织学生互相交流各自画的图象，教师可以展示一些有代表性的图象，最后归纳总结出画反比例函数的图象时应注意的几个方面：（1）取点“全面”． 由于自变量x可以取不等于0的一切实数，因此在列表时，x的取值要有正、有负，否则作出的图象不能全面反映反比例函数的特点． （2）关注反比例函数图象的“走向”． 双曲线在两个象限内向上、向下都无限接近于y轴，双曲线在两个象限内向左、向右都无限接近于x轴，这一点可以结合函数解析式加以说明，让学生感受“数”与“形”的统一． （3）连线尽可能光滑，作图象时可以多取一些点，使图象更为精确．
　　为了让学生正确构建数学知识，应该让学生经历观察、实验、比较、分析、抽象、概括等“再创造”活动． 在活动中，通过尝试错误，去认识、理解、获得数学概念和结论，构建起自己对数学知识的理解． 没有学生的亲自操作，没有切身的体会，没有犯错误的经历，学生就不可能有对数学知识的真正建构． 当代科学家、哲学家波普尔说：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素，探究发现的方法就是试误法．”
　　
　　善待错误，激发学生创新思维
　　善待错误、宽容错误是一种情感和智慧，它可使学生在宽松的环境中进行生动活泼的探索，在质疑、解疑过程中，培养学生的自主性、能动性和创造性．
　　我曾经请学生研究过问题：“从4件次品，6件正品中，有放回地任取3件，恰有2件是次品的概率为 .” 学生思维活跃，课堂气氛热烈，出现了五种答案：①；②；③C（0.4）20.6；④；⑤． 虽然有些答案是错误的，但都是他们独立思考的结果．他们独立思考、敢于怀疑、敢于批判、敢于超越，这种求异思维，是值得赞赏的，因为它往往是一种新发明、新创造的开端． 比较不同结果、发现错误、找出错误的原因成为教学的资源．
　　教师要善待学生中出现的错误，鼓励他们表达自己的意见，敢于提出问题；教师要善待在探索过程中出错的学生，保护他们发问的积极性，造就课堂上积极思考、勇于探索的热烈气氛，帮助学生树立研究数学的自信心．
　　
　　暴露错误，学会数学思维
　　有一次，教师展示例题：“已知圆x2＋y2＝25，（1）求过点A（4，－3）的切线方程；（2）求过点B（－5，2）的切线方程.” 教师写完题后就提醒学生，过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有两条，之后就应该让学生去独立完成了． 容易看出，解第（2）小题时，学生容易犯错误． 可能是教师害怕学生做题出错，就把圆x2＋y2＝25和过点B（－5，2）作的两条切线很准确地画在黑板上，让学生一目了然地看到有一条切线垂直于x轴，避免了学生解题出错． 其实学生经历犯错的过程，可以促使其认识更加完整，更加深刻，避免以后再犯同样的错． 在这个问题中，应该先让学生尝试错误，再通过分析错误可以让学生发现用“点斜式”方程解题的缺陷，最终明确如果不能确定直线的斜率存在，就应该分类讨论． 这样就能通过暴露错误让学生学会思考，领会学习方法．
　　
　　修正错误，树立学好数学的信心
　　有个学生在解不等式4x2＋4x＋1＜0时，写出了解集为｛ｘｘ∈Ｒ｝． 在师生共同完成了此题的正确解答后，我问这个学生：“如何修改题目让你的答案正确？”学生稍作思考说：“将题目改为4x2＋4x＋1≥0．” 这一修改赢得了其他学生的叫好，使出现失误的学生由尴尬转变为“有些自豪”． 通过让学生自己修正错误，给学生创设了成功的机会，在学生赢得学习自尊、树立学好数学自信心的同时，教师也赢得了学生的尊重． 同时，对数学学习产生兴趣，树立学好数学的信心，是学生和未来公民应该具备的一种重要素质．
　　
　　设计错误，让学生心灵产生震撼
　　有这样一道题：“已知全集U＝R，A＝｛ｘx＞1｝，B＝｛ｘx＋a＜0，若B?芴CUA，求a的取值”． 我在出题时，不小心将“CUA”写成了“A”，我将错就错． 结果出乎我意料，几乎所有学生都解出了答案，有a＞－1、a＜－1，还有a＞1等. 我有些失落与痛心． 在和学生一起分析错误原因时，很多学生都说：“没想到老师会出错题给我们做，即使在解题过程中发现有问题，我们也不会怀疑老师出的题有错，会认为自己出错了．”针对学生的这种心理，我教育学生：“要相信自己，要敢于大胆质疑，勇于提出问题．” 此番话赢得了学生的掌声，让学生的心灵产生了震撼． 学生在总结“有些什么收获”时说：“要学会自信，学会用自己的头脑思考，不盲从，敢于怀疑．” 因此有时我们不妨故意设计“错误”，不失时机地对学生进行自信心教育，自信心是成功的前提． 学生不会因为你出错了题而怪你，相反可能会欣赏你这个老师，给了他们一次自我认识、自我教育的机会，感激老师不仅仅教书，也在育人．
　　学生学习知识的过程，是一种探究的过程、选择的过程、创造的过程，也是学生科学精神、创新精神，乃至正确世界观逐步形成的过程． 要探究、要选择、要创造，就离不开学生的错误，要鼓励学生不怕出错，要笑容满面地像对待正确一样对待他们的出错． 有时学生的错误如果不能充分地暴露，学生主动探究和尝试的冲动就会大大降低，消除错误的机会也会大大减少． 对待错误的态度不应消极回避，而应积极面对，让错误成为一种自我教育的资源． 教学实践证明，“错误”可以激发学生的心理矛盾和问题意识，可以引起学生的思考与探究． “错误”如果使用得当，可以更有效地促进学生的认知、发展． 允许学生犯错误，学生不怕犯错误，只有这样才能激活学生的思维，培养学生大胆探索，敢于质疑、独立自主的精神，做到不唯师、不唯书，唯有尊重真理．
　　错误是一种教学资源，让我们的教学因“错误”而精彩．
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