求解立体几何客观题的七种策略:立体几何专项经典例题

　　摘要：在求解立体几何客观题时，一般有七种（移、补、割、展、折、垂、模）策略. 掌握了这七种策略，不仅能激发学生的探索欲望和创新意识，而且还可以把抽象问题具体化、复杂问题简单化，从而使问题的解答简捷明快、新颖独特，有利于提高学生的数学素养.
　　关键字：策略；移；补；割?摇展；折；垂；模
　　
　　移
　　例1 如图１，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，如果E，F分别为SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于 .
　　
　　图1
　　解析如图1，取SB的中点H，连结EH，FH，则FH∥SA，所以∠EFH就是EF与SA所成的角.
　　又由于正三棱锥对棱互相垂直，即有SA⊥CB，即为∠EHF=90°，而EH=FH=AB，所以∠EFH=45°.
　　即EF与SA所成的角等于45°.
　　点评平移是求异面直线所成角的主要手段，往往利用三角形中位线或平行四边形对边平行等性质来移．
　　例2 （２００５浙江）设M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E（如图2）． 现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M，N的连线与AE所成角的大小等于_________．
　　解析由题意可知，可把已知图补成长方体EBCD-E1AC1D1（如图3），连结E1B交AE于P，易得MNBP是平行四边形，所以MN∥PB?摇，又E1B⊥EA，所以MN⊥EA，所以M，N的连线与AE所成的角的大小等于90°.
　　例3（２００８浙江） 如图4，已知球O的面上四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于___________．
　　
　　图4
　　解析把图4补成图5所示的长方体，易知球心O是CD的中点，又CD===3，所以球O的体积V=πR3=π•3=.
　　
　　图5
　　点评将几何体补出适当的部分，变成比较熟悉或者比较简单的几何体（如正方体、长方体、球等）， 使线、面关系更加直观，再去进行求解，这是一种“补”术. “形补”能使计算简便.
　　
　　割
　　例4（１９９９全国）如图6，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（）
　　A.B. 5 C. 6 D. ?摇?摇
　　
　　图6
　　
　　图7
　　
　　图8
　　解析连结EB，EC，把多面体分割成一个四棱锥和三棱椎，而VE-ABCD=•S?荀ABCD•h=×9×2=6，由此可知多面体的体积必大于6. 故选D.
　　点评“割”的目的就是把复杂的几何体分割成简单而熟知的几何体，化整为零，从而迅速求解.
　　
　　展
　　例5（２００５江西）如图9，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=，BB1=2，∠ABC=90°，E，F分别为AA1，C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F最短路径的长度为 .
　　解析因为AB=BC=，∠ABC=90°，所以AC=2，由图9侧面展开，见图10，可知A1E=AA1=1，A1F=A1B1+B1F=，所以EF=． 把△A1B1C1与侧面A1B1BA展平，见图11，则EF=． 把△A1B1C1与侧面A1ACC1展平，见图12，可求得EF=． 比较以上三条路径，以第三条最短，所以EF间最短路径为.
　　点评展，是将立体几何问题转换为平面几何问题的常用方法. 应用此法，可化“曲”为“平”. 此法一般用于求多面体、旋转体的侧面上两点间的最短距离.
　　
　　折
　　例6?摇 如图13，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，BG与DH所成的角的大小为 ?摇.
　　
　　解析按题意，折成如图14所示的三棱椎，设其中A，B，C重合于点P，取FG的中点M，连结MH, 易得MH∥PG，所以∠DHM就是PG与DH所成的角. 设AB=4，则?摇DG=1，GM=GF=，在Rt△DGM中，DM==.
　　又HM=PG=，DH=，
　　所以cos∠DHM====，
　　所以∠DHM=arccos.
　　点评将平面图形折叠成立体图形，要注意折前与折后哪些元素发生了变化，哪些元素未发生变化，这些未变化的已知条件都是分析问题和解决问题的依据.
　　
　　垂
　　例7（２００４浙江）?摇如图15，在正三棱柱ABC―A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则α等于（）
　　A. B.
　　C. arcsin D. arcsin
　　
　　解析如图16，取AC的中点E，A1C1的中点F，连结B1F，EF，BE，易得平面BEFB1⊥平面ACC1A1，过D作DH⊥EF，垂足为H. 连结AH，则DH⊥平面ACC1A1，所以∠DAH就是AD与平面AA1C1C所成的角α. 易得AD=，DH= B1F=，sinα===.
　　所以α=arcsin.
　　点评在求解有关线面角、二面角、距离等问题时，作垂线是关键.
　　如本题，学生们往往误以为∠DAA1就是α.
　　模
　　例8已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a,b在α上的射影有可能是：
　　①两条平行直线；
　　②两条互相垂直的直线；
　　③同一条直线；
　　④一条直线及其外一点.
　　在上面结论中，正确结论的编号是?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇（写出所有正确结论的编号）.
　　解析很难判断①④是正确的，关键是判断②，我们通过正方体模型来看. 如图17，正方体ABCD-ABCD中，BD与AC交于点E，F是AA的中点，显然EF与BD是异面直线，它们在平面ABCD上的射影分别是AC，BD，而AC与BD是互相垂直的，故结论②正确.
　　点评立体几何的概念、法则、定理都是在一定的“几何环境”中形成的． 我们若利用这一些熟悉的几何模型来解决一些貌似复杂的问题，解题就会变成一种乐趣.
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