高中数学几何画板教材 [几何画板在高中数学教学中的应用]

　　摘 要 几何画板在高中代数教学中的应用，有利于研究函数的性质，提高课堂效率；几何画板在高中立体几何教学中的应用，有利于丰富学生的空间想象力，更好地解决立体几何中的问题；几何画板在高中平面解析几何教学中的应用，把几何图形生动地展现在学生面前，从而使学生直观看到点的变化，能进一步的培养学生利用数形结合来解决解析几何问题的能力。
　　关键词 几何画板；高中数学；动画演示
　　
　　几何画板不仅是一种教学工具，更是学生学习数学的有效学习工具。几何画板强大的动态教学演示功能，把抽象的数学概念、知识，形象地呈现在学生的面前，使学生充分参与教学过程，真正成为学习的主人。
　　1 几何画板的应用，有利于研究函数的性质
　　“函数”是中学数学代数中最基本、最重要的部分，它的概念和思维方式渗透在整个高中数学的各个环节，而且函数本身就是用来反映现实世界里的一种以动态形式存在的数量之间的关系。函数有两种重要的表达方式：解析式和图象。在高中数学教学中，在研究函数的一些重要的性质（如：函数的单调性、奇偶性、最值；函数的图象和其反函数的图象之间的关系；等等）时，常常把函数的这两种表达方式对照着来解决一些数学问题。传统教学为了解决这些数形相结合的数学问题，往往徒手作图，不是很精确，而且速度较慢；但利用几何画板则可以快速、精确、直观地显示出来，这样可以大大提高课堂效率，进而起到事半功倍的效果。
　　在研究同类函数的性质时，通常要在同一个平面直角坐标系中，根据函数的解析式作出一个或多个函数的图象，通过函数图象的比较对学生进行函数性质的教学。如在研究指数函数的图象和对数函数的图象之间的关系（实质是函数的图象与其反函数图象之间的关系）时，在传统教学中常在黑板上作出两个函数的图像，但在讲其图象关于直线对称时就比较困难了。然而利用几何画板既可以在同一个平面直角坐标系中作出它们的图象，同时可以从指数函数上任取一点且作出该点关于直线的对称点，通过点的运动，观察点的运动，很容易发现点始终落在对数函数的图象上。这样使学生更清晰、更直观地得到指数函数的图象与对数函数的图象之间的关系：关于直线对称（即函数的图象与其反函数的图象关于直线对称的性质）。
　　又如在讲解函数的作用时，传统教学中往往只能作出几个不同取值时的函数图象，并通过这种静态的函数图象来让学生说出作用，往往学生的抽象归纳不是很准确。但利用几何画板，则可以通过设立3个参线段（线段的长度随拖运线段的一个端点而发生变化），并建立平面直角坐标系作出函数的图象。在分别改变线段的长度时，通过图形的逐渐变化，让学生可以直观地分别认识到函数的作用，并作出较为准确的归纳。这样既可以培养学生归纳事物的能力，同时又可以在教育教学过程中变得快速灵活，又不失一般性。
　　几何画板除了在函数教学方面的应用以外，在高中代数的其他教学方面也有很多用途，如解决方程和不等式的解，讲解数列的函数意义（即一个由离散点组成的函数图形），等等。
　　2 几何画板在立体几何教学中的应用，有利于丰富学生的空间想象能力
　　立体几何是以公理为基础的，根据图形的点、线、面的关系来研究三维空间图形的性质。在教学过程中通常是在一个平面中作出一个三维空间的图形，而由于多数学生缺乏丰富的空间想象能力，且依赖于二维平面图形的直观感，从而这部分学生往往把平面中的三维空间图形直观地看成二维的平面图形，但二维平面图形不可能成为三维空间图形的真实写照，因此在解决三维空间图形问题时往往产生严重的偏差。为了引导学生走出这个误区，在以往的教学中，通常拿实物对学生进行讲解，并逐步引导学生走近平面中的三维空间图形，逐步培养学生的空间想象能力，速度较慢。而利用几何画板可以通过拖运一些点，使平面中的三维空间图形运动起来，从不同的角度把三维空间图形中各个元素之间的位置关系和度量关系生动地展现在学生的面前，从而把学生的直观认识和抽象认识巧妙地联系起来，这样更能帮助学生理解和接受在平面中的三维空间图形，更能培养学生的空间想象能力，从而使学生更能接受立体几何的知识，能更好地解决立体几何中的问题。
　　如在讲解正方体的作图过程中，可以利用几何画板对平面中所作的正方体进行旋转、翻转（拖运点），让学生清晰地看到现实生活中正方体在旋转、翻转过程中所能见到的面及面的视觉图形，这样更能帮助学生把自己的所见作到平面中去，正确地在平面中作出正方体的三维空间图形。
　　又如在讲解用分割三棱柱来求三棱锥的体积时，利用几何画板在三棱柱中作出割面的不同颜色，拖运其中被分割出来的三棱锥，从而把整个抽象的分割过程活灵活现地展现在学生的面前，再利用祖�原理求出三棱锥的体积，避免了由于学生的空间想象能力的缺乏而不能理解，同时又培养了学生用分割几何体的方法来求其他几何体的体积的能力。
　　3 几何画板在平面解析几何教学中的应用，有利于培养学生利用数形结合来解决解析几何问题的能力
　　平面解析几何的实质是利用代数的方法来研究平面几何问题的一门数学学科，其中最基本的就是求点的轨迹问题。而求点的轨迹的基本思路和基本方法是：1）根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系；2）在轨迹上任取一点，且设点的坐标；3）列出相关的恒等式，并化简恒等式；4）得到轨迹的方程。通过建立点的轨迹方程，把所研究的平面曲线转化为研究数的问题，再通过解决数的问题来解决平面曲线的问题，但是曲线与方程之间的对应关系比较抽象，学生不是很能理解，但通过几何画板利用点的运动把几何图形生动地展现在学生面前，从而使学生直观看到点的变化，也可以容易决定如何建立适当的平面直角坐标系。
　　如在讲解求抛物线的标准方程时，在黑板上先作出一条定直线和一个定点，但要作出一系列到定直线的距离和到定点的距离相等的点，相当困难。而通过利用几何画板很容易作出对应的一个动点，拖运点，并对点进行追踪就可以得到点的轨迹――抛物线，并通过抛物线顶点的特殊位置，容易使学生在抛物线的顶点处建立平面直角坐标系，且对称轴为一条坐标轴，同时利用抛物线的定义很容易得到抛物线的标准方程。
　　又如在研究直线和半圆的交点的个数问题时，利用几何画板在一个平面直角坐标系中作出半圆，而直线是指在取值不同时的一组平行直线，可以利用几何画板在轴上任取一点，且过点作出直线，通过拖运点，就能得到一组动态的直线，同时使学生直观地看到直线与半圆的交点的变化情况，较容易得出结论。这样能进一步地培养学生利用数形结合来解决解析几何问题的能力。
　　运用几何画板一方面可以让学生形象直观地理解知识的发生和发展的各个环节，另一方面也让学生对动画演示过程产生比较深刻的印象，从而更容易地理解和掌握所数学知识，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。
　　参考文献
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　　[2]陶维林.用几何画板解平面解析几何[M].北京:清华大学出版社,2009.
　　[3]曹一鸣.数学实验教学模式探究[J].课程・教材・教法,2003(1):46-48.
　　（作者单位：河北省沧州市中捷产业园区高级中学）