[2011东莞中考数学]东莞中考数学考点

2011年广东省初中毕业生学业考试

数 学

考试用时100分钟，满分为120分

一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1．－2的倒数是（ ） A．2 B．－2 【答案】D。 【考点】倒数。

【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，直接得出结果。

2．据中新社北京2010年12月8日电，2010年中国粮食总产量达到546 400 000吨，用科学记数法表示为（ ）

A．5.464×107吨 B．5.464×108吨 C．5.464×109吨 D．5.464×1010吨 【答案】B。

【考点】科学记数法。

【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a10n，其中1a

题3图

A．

B．

D．

C．

1

2

D．

1 2

1

，得到的图形是（ ） 2

【答案】A。 【考点】相似。

【分析】根据形状相同，大小不一定相等的两个图形相似的定义，A符合将图中的箭头缩小

1

的条件；B与原图相同；C将图中的箭头扩大到原来的2倍；D只将图中的箭头 2

1

长度缩小到原来的，宽度没有改变。故选A。

2

到原来的

4．在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出 一个球，摸到红球的概率为（ ）

A．

1

5

B．

15 C． 38

D．

3

8

【答案】C。 【考点】概率。

【分析】根据概率的计算方法，直接得出结果。 5．正八边形的每个内角为（ ）

A．120º B．135º C．140º D．144º 【答案】B。

【考点】多边形内角和定理。

【分析】根据多边形内角和定理，求出正八边形的内角和为（8-2）×1800=10800，再平均 10800÷8=1350。

二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 6．已知反比例函数y【答案】－2。

【考点】点的坐标与函数的关系。

【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，只要将(1，－2)代入y出k值。

7．使x2在实数范围内有意义的x的取值范围是． 【答案】x2。

【考点】二次根式有意义的条件。

【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，由直接得出结果：x20x2。 8．按下面程序计算：输入x3，则输出的答案是．

【答案】12。

【考点】求代数式的值。

k

的图象经过(1，－2)，则k x

k

，即可求x

x3x

【分析】按所给程序，代数式为，将x3代入，得12。

2

9．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C．若∠A=40º，则∠

【答案】250。

【考点】圆切线的性质，三角形内角和定理，圆周角与圆心角的关系。

【分析】连接OB。∵AB与⊙O相切于点B，∴∠OBA=900。 又∵∠A=40º，∴∠BOA=500。∴∠C=25。

10．如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取

△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1 和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去…， 则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为_________________． 【答案】

题10图（1）

题10图（2）

E

题10图（3）

1

。 256

【考点】相似形面积比是对应边的比的平方，类比归纳。

1， 21

∴正六角星形A2F2B2D2C2E2面积是正六角星形A1F1B1D1C1E面积的。

41

同理∵正六角星形A4F4B4D4C4E4边长是正六角星形A1F1B1D1C1E边长的，

161

∴正六角星形A4F4B4D4C4E4面积是正六角星形A1F1B1D1C1E面积的。

256

【分析】∵正六角星形A2F2B2D2C2E2边长是正六角星形A1F1B1D1C1E边长的三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分） 11．计算：(20111)0sin4522． 【答案】解：原式

141340 【考点】0次幂，二次根式，特殊角三角函数值。

【分析】根据0次幂，二次根式化简，特殊角三角函数值，直接得出结果。 12．解不等式组：

2x

13,①

，并把解集在数轴上表示出来．

82xx1② 

【答案】解：由①得，x>2。由②得，x3。

∴原不等式组的解为x3。解集在数轴上表示如下：

【考点】无理数。

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。解集在数轴上表示时注意圆点的空心和实心的区别。

13．已知：如图，E，F在AC上，AD//CB且AD=CB，∠D=∠B．

求证：AE=CF．

【答案】证：∵AD//CB，∴∠A=∠C。 又∵AD=CB，∠D=∠B．

∴△ADF≌△CBE（ASA）。 ∴AF =CE 。

∴ AF+FE =CE+FE，即AE=CF。 【考点】全等三角形的判定和性质，等量变换。

【分析】要证AE=CF，只要AF =CE经过等量变换即可得。而要证AF =CE，只要证△ADF≌△CBE即可，△ADF≌△CBE由已知条件易证。 14．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（－4，0），⊙P的半径为2，将⊙P沿x轴向右平移4个单位长度得⊙P1．

（1）画出⊙P1，并直接判断⊙P与⊙P1的位置关系；

（2）设⊙P1与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别为A，B，求劣弧AB与弦AB围成的图形的面积（结果保留π）．

【答案】解：（1）画出⊙P1如下：

题14图 题13图

D

⊙P与⊙P1外切。

（2）劣弧AB与弦AB围成的图形的面积为：

11

2222=2 42

【考点】图形的平移，圆与圆的位置关系，圆和三角形的面积。

【分析】（1）将⊙P沿x轴向右平移4个单位长度得⊙P1后，两圆圆心距与两圆半径之和相等，故⊙P与⊙P1外切。

（2）劣弧AB与弦AB围成的图形的面积实际等于圆的四分之一面积减去∆OAB的面积，这样根据已知条件即易求出。 15．已知抛物线y

12

xxc与x轴没有交点． 2

（1）求c的取值范围；

（2）试确定直线ycx1经过的象限，并说明理由． 【答案】解：（1）∵抛物线y=x2xc与x轴没有交点，

1

2

12

xxc=0没有实数根。 2

11

∴ =124c=12c 。

22

∴对应的一元二次方程

（2）顺次经过三、二、一象限。因为对于直线y=kxb，k=c>>0，b=1>0，所以根据一次函数的图象特征，知道直线y=cx1顺次经过三、二、一象限。 【考点】二次函数与一元二次方程的关系，一次一次函数的图象特征。

【分析】（1）根据二次函数与一元二次方程的关系知，二次函数的图象与x轴没有交点，对应的一元二次方程没有实数根，其根的判别式小于0。据此求出c的取值范围。 （2）根据一次函数的图象特征，即可确定直线y=cx1经过的象限。 四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）

16．某品牌瓶装饮料每箱价格26元．某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整 箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元．问该品牌饮料一箱有多少瓶？

1

2

【答案】解：设该品牌饮料一箱有x瓶，依题意，得

1626=0.6 化简，得x23x130=0。 xx3

解得x1=13不合，舍去，x2=10。

经检验：x=10符合题意。

答：该品牌饮料一箱有10瓶。 【考点】分式方程的应用。

【分析】解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为： 每瓶原价—促销每瓶单价=促销每瓶比原价便宜的金额

1626  = 0.6 xx3

最后注意分式方程的检验和实际应用的取舍。 17．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路. 现新修一条路AC到公路l. 小明测量出∠ACD=30º，∠ABD=45º，BC=50m. 请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到0.1m；参考数据：21.414，1.732）.

第17题图

【答案】解：∵∠ABD=45º，∴AD=BD。∴DC=AD+50。

∴在Rt∆ACD中，

ADADAD

tanACD=,即tan300=,AD50AD50AD50 解之，得AD=25(3+1)≈68.3m

【考点】解直角三角形，450角直角三角形的性质，特殊角三角函数，根式化简。 【分析】根据450角直角三角形的性质得到AD=BD，从而在Rt∆ACD中应用特殊角三角函数即可求解。

18．李老师为了解班里学生的作息时间表，调查了班上50名学生上学路上花费的时间，他发现学生所花时间都少于50分钟，然后将调查数据整理，作出如下频数分布直方图的一部分（每组数据含最小值不含最大值）．请根据该频数分布直方图，回答下列问题： （1）此次调查的总体是什么？ （2）补全频数分布直方图；

（3）该班学生上学路上花费时间在30分钟以上（含30分钟）的人数占全班人数的百分比是多少？

【答案】解：（1）“班里学生的作息时间”是总体。

（2）补全频数分布直方图如右： （3）该班学生上学路上花费时间在30分钟以上（含30分钟）的人数为4+1=5人，占全班人数的百分比是5÷50=10%。

【考点】总体，频数分布直方图，频数、频率与总体的关系。

【分析】（1）总体表示考察对象的全体，所以班里学生的作息时间”是总体。

（2）该班学生上学路上花费时间在30分钟到40分钟（含30分钟）的人数为： 50—8—24—13—1=4。据此补全频数分布直方图。 （3）根据频数、频率与总体的关系，直接求出。 19．如图，直角梯形纸片ABCD中，AD//BC，∠A=90º，∠C=30º．折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8． （1）求∠BDF的度数； （2）求AB的长．

【答案】解：（1）∵BF=CF，∠C=30º，∴∠CBF=∠C=30º。 又∵∆BEF是∆BCF经折叠后得到的， ∴∆BEF≌∆BCF。∴∠EBF=∠CBF=30º。

又∵∠DFB=∠CBF+∠C=60º，∴∠BDF=1800—∠DFB—∠EBF=90º。 ∴∠BDF的度数是 90º。 （2）在Rt∆BDF中，∠DBF=30º，BF=8，

∴BDBFcosDBF8cos3008 在Rt∆ABD中，∠ABD=900—∠EBF—∠CBF=30º

，BD

∴ABBDcosABD300 ∴AB的长是6。

【考点】折叠对称，三角形外角定理，三角形内角和定理，解直角三角形，特殊角三角函数。 【分析】（1）要求∠BDF的度数，由三角形内角和定理只要求出∠DFB和∠DBF即可，而∠DFB和∠DBF都可以由已知的∠C和折叠对称以及三角形外角定理求得。 （2）由（1）的结论，解Rt∆BDF和Rt∆BD即可求得。

6。

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）

20．如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

…………………………

（1）表中第8行的最后一个数是______________，它是自然数_____________的平方，第8行共有____________个数；

（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是___________________，最后一个数是

________________，第n行共有_______________个数；

（3）求第n行各数之和． 【答案】解：(1)64，8，15。

（2）n2-2n+2，n2，2n-1。

n

（3）第n行各数之和：

【考点】分类归纳。

2

2n2n

2

2

2n1=n2n12n1。

【分析】（1）（2）由表的构成可以看出：①每一行的最后一个数是：行数的平方。所以第8行的最后一个数是82=64；第n行的最后一个数是n2。②每一行的第一个数是：前一行最后一个数加1。所以第n行的第一个数是（n-1）2+1=n2-2n+2。③每一行的个数是：最后一个数减去的第一个数加1。所以第n行个数是n2-（n2-2n+2）=2n-1。

（3）每一行各数之和是：这一行的第一个数与最后一个数的平均数剩以这一行的个

数。所以第n行各数之和为

n22n2n

2

2

2n1=n2n12n1。

21．如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2)

B

C（E）

B

A（

F

A）

F

H

题21图(1)

（1）问：始终与△AGC相似的三角形有 及 ；

E

题21图(2)

（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由） （3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形. 【答案】解：（1）△HAB ，△HGA。 （2）∵△AGC∽△HAB，∴

9xACGC

，即=。 

y9HBAB

∴y=

81

。 x

又∵

，0

的函数关系式为y=

81

0

 （3）①当∠GAH= 45°是等腰三角形.的底角时，如图1，

可知xCG

BC 2 ②当∠GAH= 45°是等腰三角形.的顶角时, 如图2，

在△HGA和△AGC中 ∵∠AGH=∠CGA，∠GAH=∠C=450， ∴△HGA∽△AGC。 ∵AG=AH，∴xCGAC9

∴当x

或x9时，△AGH是等腰三角形。 【考点】三角形外角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，几何问题列函数关系式，等腰三角形的判定。

【分析】（1）在△AGC和△HAB中，

∵∠AGC=∠B+∠BAG=∠B+900—∠GAC=1350—∠GAC， ∠BAH=∠BAC+∠EAF—∠EAC=900+450—∠GAC， ∴∠AGC=∠BAH。

又∵∠ACG=∠HBA=450，∴△AGC∽△HAB。 在△AGC和△HGA中，

∵∠CAG=∠EAF—∠CAF=450—∠CAF，

∠H=1800-∠ACH—∠CAH=1800—1350—∠CAF=450—∠CAF， ∴∠CAG=∠H。

又∵∠AGC=∠HGA，∴△AGC∽△HGA。 （2）利用△AGC∽△HAB得对应边的比即可得。

（3）考虑∠GAH是等腰三角形.底角和顶角两种情况分别求解即可。 22．如图，抛物线yx2

5

417

x1与y轴交于A4

点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0). （1）求直线AB的函数关系式；

（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由.

【答案】解：（1）∵A、B在抛物线yx2 ∴当x=0 时y1，当x=3 时y

5

417

x1上， 4

55

。 即A、B两点坐标分别为（0，1），（3）。

22

设直线AB的函数关系式为y=kxb， ∴ 得方程组：

1

5 ，解之，得 2。

3kb

b12

k

直线AB的解析式为y=x1。 （2）依题意有P、M、N 的坐标分别为 P（t，0），M（t，t1），N（t，t2

b1

12

125417

t1） 4

 sMNNPMP

5175151

=-t2t1t1-t2t0t3

44442

（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有

52155tt，解得t11，t22 442

所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形。

当t=1时，MP35，NP4，故MNNPMP。 22

522 又在Rt△MPC中，MCMPPC，故MN=MC， 2

此时四边形BCMN为菱形。

当t=2时，MP2，NP95，故MNNPMP。 22

又在Rt△MPC中，MCMP2PC25，故MN≠MC。 此时四边形BCMN不是菱形。

【考点】点的坐标与方程的关系，待定系数法，列二次函数关系式，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理。

【分析】（1）由A、B在抛物线上，可求出A、B点的坐标，从而用待定系数法求出直线AB的函数关系式。

（2）用t表示P、M、N 的坐标，由等式MNNPMP得到函数关系式。

（3）由平行四边形对边相等的性质得到等式，求出t。再讨论邻边是否相等。