正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理_必修5

正弦定理和余弦定理 要点梳理 1．正弦定理 其中 R 是a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶ b∶ c＝sin A∶ sin B∶ sin C； (2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (3)sin A＝ a b c ，sin B＝ ，sin C＝ 等形式，以解决不同的三角形问题． 2R 2R 2R2．三角形面积公式 1 1 1 abc 1 S△ ABC＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B＝ ＝ (a＋b＋c)· r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R、 2 2 2 4R 2 r. 3．余弦定理：a 2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a 2＋c2－2accos B，c2＝a 2＋b2－2abcos C .余弦定理可以变形为：b2 ? c2 ? a 2 cos A＝ 2bca 2 ? c2 ? b2 ，cos B＝ 2aca 2 ? b2 ? c2 ，cos C＝ 2ab.4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题： (1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角． 情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分． 余弦定理可解决两类问题： (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题．基础自测 2π 1．在△ ABC 中，若 b＝1，c＝ 3，C＝ ，则 a＝ 3 1 .2．已知△ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c＝ 2，b＝ 6，B＝120° ，则 a＝________. 9 3．在△ ABC2中，若 AB＝ 5，AC＝5，且 cos C＝ ，则 BC＝ 10 4或5 . )4．已知圆的半径为 4，a、b、c 为该圆的内接三角形的三边，若 abc＝16 2，则三角形的面积为( C A．2 2 B．8 2 C. 2 D. 2 2第1 页题型分类 题型一 例1 利用正弦定理求解三角形深度剖析在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45°.求角 A、C 和边 c.思维启迪 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断． a b 3 2 解: 由正弦定理得 ＝ ， ＝ ， sin A sin B sin A sin 45° ∴sin A＝ 3 .∵a>b，∴A＝60° 或 A＝120° . 2 6＋ 2 bsin C ＝ ； sin B 2当 A＝60° 时，C＝180° －45° －60° ＝75° ，c＝6－ 2 bsin C 当 A＝120° 时，C＝180° －45° －120° ＝15° ，c＝ ＝ . sin B 2 探究提高 (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知两边和一边对角， 解三角形时， 利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角， 这是解题的难点， 应引起注意． 变式训练 1 已知 a，b，c 分别是△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，若 a＝1，b＝ 3，A＋C＝2B，则 A＝? 6π ∵A＋C＝2B，∴B＝ . 3 利用余弦定理求解三角形 由正弦定理知 sin A＝ asin B 1 b ＝2.解析 题型二cos B ? 例 2 在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 ＝ cos C （1）求角 B 的大小； (2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC 的面积． 解 (1)由余弦定理知：cos B＝ a2＋c2－b2 ， 2acb . 2a ? ca2＋b2－c2 cos B b cos C＝ .将上式代入 ＝－ 得： 2ab cos C 2a＋c a2＋c2－b2 2ab b ·2 ＝－ ， 2ac a ＋b2－c2 2a＋c 整理得：a2＋c2－b2＝－ac. a2＋c2－b2 －ac 1 ∴cos B＝ ＝ ＝－ . 2ac 2ac 22 ∵B 为三角形的内角，∴B＝ π. 3 2 2 2 2 2 2 (2)将 b＝ 13，a＋c＝4，B＝ π 代入 b ＝a ＋c －2accos B，得 b ＝(a＋c) －2ac－2accos B，∴13＝16 3 1 3 3 ? 1? －2ac?1－ ?，∴ac＝3.∴S△ABC＝ acsin B＝ . 2 2 4 ? ?第2 页探究提高 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.变式训练 2 已知 A、B、C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为 a、b、c，且 2cos (1)求角 A 的值； 解 (1)由 2cos22A +cos A=0 . 2(2)若 a＝2 3，b＋c＝4，求△ABC 的面积．A 1 +cos A=0 ，得 1＋cos A＋cos A＝0，即 cos A＝－2. 22π . 3∵0<A<π，∴A＝(2)由余弦定理得， a2＝b2＋c2－2bccos A，A＝ 2π ，则 a2＝(b＋c)2－bc，又 a＝2 3，b＋c＝4， 31 有 12＝42－bc，则 bc＝4，故 S△ ABC＝ bcsin A＝ 3. 2 题型三 正、余弦定理的综合应用例 3. 在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边 已知 2 2(sin 2 A ? sin 2 C) ? (a ? b)sin B ,△ABC 外接圆半径为（1）求角 C 的大小；2.（2）求△ABC 面积的最大值.解: （1）∵△ABC 外接圆半径为 2 ， 且 2 2(sin 2 A ? sin 2 C) ? (a ? b)sin B ,即 (2 2 sin A)2 ? (2 2 sin C)2 ? (a ? b)2 2 sin B , ∴ 由 正 弦 定 理 得 ： a2 ? c2 ? (a ? b)b , 即a2 ? b2 ? c2 ? ab , 由余弦定理得： cos C ?ab 1 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? ? ， C ? (0 , ? ) ， ? C? . 2ab 2 3 2ab（2） S max?3 ? 3 2探究提高在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角． 变式训练 3 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边长分别是 a，b，c. π (1)若 c＝2，C＝ ，且△ABC 的面积为 3，求 a，b 的值； 3 (2)若 sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，试判断△ABC 的形状．第3 页解π (1)∵c＝2，C＝ ， 3∴由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C 得 a2＋b2－ab＝4.又∵△ABC 的面积为 3，?a2＋b2－ab＝4， ? 1 ∴ absin C＝ 3，ab＝4. 联立方程组? 解得 a＝2，b＝2. 2 ? ?ab＝4，(2)由 sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，得 sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin Acos A， 即 2sin Bcos A＝2sin Acos A，∴cos A· (sin A－sin B)＝0， ∴cos A＝0 或 sin A－sin B＝0， π 当 cos A＝0 时，∵0<A<π，∴A＝ ，△ABC 为直角三角形； 2 当 sin A－sin B＝0 时，得 sin B＝sin A，由正弦定理得 a＝b，即△ABC 为等腰三角形． ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 思想方法 方法与技巧 1．正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的重点，利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的 变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题． A B C π 2．应熟练掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π， ＋ ＋ ＝ 中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减 2 2 2 2 少角的种数． 3． 正、 余弦定理的公式应注意灵活运用， 如由正、 余弦定理结合得 sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B· sin C· cos A， 可以进行化简或证明． 4．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理 实施边、角转换． 失误与防范 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时 可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论． 感悟提高第4 页过关精练 一、选择题 1．在△ABC 中，A＝60° ，a＝4 3，b＝4 2，则 B 等于( A．45° 或 135°4 4) D．以上答案都不对 )B．135°4 2 2 2C．45°2．△ABC 中，若 a ＋b ＋c ＝2c (a ＋b )，则角 C 的度数是( A．60° B．45° 或 135° C．120° D．30°3．在 ?ABC 中， bc ? 20, S?ABC ? 5 3, ?ABC 的外接圆半径为 3 ，则 a A．1 B．2 C．3 D． 3?（）24．在 ?ABC 中，已知 b ? 2, c ? 1, B ? 45? , 则 a 等于（ A． ） D． 3 ? 2 ） D．150° ）?6? 2 2B．6? 2 2C． 2 ? 15．在 ?ABC 中 AB ? 2, AC ? 3, BA ? AC ? 3, 则 ? A 等于（ A．120° B．60° C．30°6．在 ?ABC 中， a : b : c A． 30?? 3:5: 7 ，?则这个三角形的最大角为（ C． 120?B． 90D． 607．在△ABC 中,已知三边之比 a : b : c ? 2 : 3 : 4 ，则 sin A ? 2 sin Bsin 2CA．1 B． 2 C． ? 2 D．?（）1 23 b ， cos B ? （ ） 28． ?ABC 中，边 a, b, c 的对角分别为 A、B、C，且 A=2B， a ? A． 1 B． 1 C． 2 D． 32334三角形2 2二、填空题 9．在△ABC 中,已知 2sinAcosB=sinC,那么△ABC 的形状是210．在锐角△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，且 3a＝2csin A，则角 C＝________. 11． 在△ABC 中， 边 a， b， c 的对角分别为 A、 B、 C， 且 sin A ? sin C ? sin A ? sin C ? sin B 。

则角 B= 三、解答题 12．(12 分)已知△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，A 是锐角，且 3b＝2a· sin B. (1)求 A; (2)若 a＝7，△ABC 的面积为 10 3，求 b ＋c 的值．2 2。第5 页13. （ 12 分 ） 在 △ ABC 中 ， 角 A ， B ， C 的 对 边 为 a, b, c ， 向 量 m ? (2 cosC , ? sin( A ? B )) ， 2n ? (cosC , 2sin( A ? B )) ， m ⊥ n ．求角 C 2第6 页

正弦定理和余弦定理_余弦定理定义及公式

余弦定理定义及公式 余弦定理， 是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。是勾股 定理在一般三角形情形下的推广。

a?=b?+c?-2bccosA 余弦定理证明如上图所示，△ABC，在 c 上做高，根据射影定理，可得到：将等式同乘以 c 得到：运用同样的方式可以得到：将两式相加：向量证明正弦定理和余弦定理 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （1）已知三角形的两角与一边，解三角形 （2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 （3）运用 a：b：c=sinA：sinB：sinC 解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

余弦定理 是揭示三角形边角关系的重要定理， 直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹 角求第三边或者是已知三个边求角的问题， 若对余弦定理加以变形并适当移于其 它知识，则使用起来更为方便、灵活。

直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值 正弦定理的变形 1、 2、 （条件同上）在一个三角形中， 各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角 形外接圆的直径。已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一 的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其 解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三 角形内角和定理去考虑解决问题 3、相关结论:正弦定理的证明 显然， 只需证明任意三角形内， 任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。

现将△ABC，做其外接圆，设圆心为 O。我们考虑∠C 及其对边 AB。设 AB 长 度为 c。

若∠C 为直角，则 AB 就是⊙O 的直径，即 c = 2R。若∠C 为锐角或钝角，过 B 作直径 BD 交⊙O 于 D，连接 DA，显然 BD=2R。

∵在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角。

∴∠DAB 是直角。

若∠C 为锐角，则 D 与 C 落于 AB 的同侧，此时 ∵在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等。若∠C 为钝角，则 D 与 C 落于 AB 的异侧，此时∠D=180°-∠C，亦可推出在△DAB 中，应用正弦函数定义，知因此，对任意三角形的任一角及其对边，均有上述结论。

考虑同一个三角形内的三个角及三条边，应用上述结果。可得故对任意三角形，定理得证。

正弦定理意义 正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。

由正 弦定理在区间上的单调性可知， 正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的 一种数量关系。

一般地，把三角形的三个角 A、B、C 和它们的对边 a、b、c 叫做三角形的元素。

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

正弦定理和余弦定理_正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理要点梳理 1．正弦定理 其中 R 是a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： (2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；a b c (3)sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ 等形式，以解决不同的三角形问题． 2R 2R 2R 2．三角形面积公式 1 1 1 abc 1 S△ ABC＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B＝ ＝ (a＋b＋c)· r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R、r. 2 2 2 4R 2 3．余弦定理：a 2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a 2＋c2－2accos B，c2＝a 2＋b2－2abcos C .余弦定理可以变形为：b2 ? c2 ? a 2 cos A＝ 2bca 2 ? c2 ? b2 ，cos B＝ 2aca 2 ? b2 ? c2 ，cos C＝ 2ab.4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题： (1)已知两角及任一边，求其它边或角； (2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分． 余弦定理可解决两类问题： (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题； 基础自测 2π 1．在△ ABC 中，若 b＝1，c＝ 3，C＝ ，则 a＝ 3 . (2)已知三边问题．2．已知△ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c＝ 2，b＝ 6，B＝120° ，则 a＝________. 9 3．在△ ABC 中，若 AB＝ 5，AC＝5，且 cos C＝ ，则 BC＝________ . 10 4．已知圆的半径为 4，a、b、c 为该圆的内接三角形的三边，若 abc＝16 2，则三角形的面积为( A．2 2 题型分类 题型一 例1 B．8 2 深度剖析 利用正弦定理求解三角形 C. 2 D. 2 2 )在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45°.求角 A、C 和边 c.第 1页变式训练 1 已知 a，b，c 分别是△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，若 a＝1，b＝ 3，A＋C＝2B，则 A ＝ 题型二 利用余弦定理求解三角形cos B ? 例 2 在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 ＝ cos C （1）求角 B 的大小；b . 2a ? c(2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC 的面积．变式训练 2 已知 A、B、C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为 a、b、c，且 2cos (1)求角 A 的值； (2)若 a＝2 3，b＋c＝4，求△ABC 的面积．2A +cos A=0 . 2题型三正、余弦定理的综合应用例 3. 在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边 已知 2 2(sin 2 A ? sin 2 C) ? (a ? b)sin B ,△ABC 外接圆半径为（1）求角 C 的大小；2.（2）求△ABC 面积的最大值.变式训练 3 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边长分别是 a，b，c. π (1)若 c＝2，C＝ ，且△ABC 的面积为 3，求 a，b 的值； 3 (2)若 sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，试判断△ABC 的形状．1 例 4 设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 acosC＋ c＝b. 2 (1)求角 A 的大小； (2)若 a＝1，求△ABC 的周长 l 的取值范围．第 2页