中国古代数学成就 数学成就意味着什么

　　作者简介：吴晓红，女，1966年生，江苏徐州人，徐州师范大学数学科学学院教授，硕士生导师，哲学博士，江苏省教育学会中学数学专业委员会常务理事，主要从事数学教育哲学、数学课程与教学论的教学与研究工作近年来。对数学教育国际比较的方法论研究这一世界前沿课题进行了较为深入、系统的研究，学术专著《数学教育国际比较的方法论研究》获得广东省优秀教育专著出版基金，在《比较教育研究》、《全球教育展望》、《数学教育学报》等学术期刊上发表论文近30篇，其中多篇研究论文被人大复印资料、《中国数学文摘》等期刊全文转载或收录，主持或参与各级研究课题10多项。
　　数学成就已成为国际数学教育研究的热点课题。也成为社会各界关注的焦点之一人们往往以数学成就作为评价教育质量的依据，大到国家以数学成就作为国家教育质量的排名，作为数学教育改革的依据；小到学校、课堂以高考、中考成绩论英雄，以数学成就论成败，在人们热衷于数学成就的今天，我们有必要深刻认识数学成就的内涵，避免产生一些错误的认识和极端化的做法，由于数学成就已成为国际比较研究的重要内容，特别是“学生学业成就的国际比较研究”已成为全国教育科学研究“十一五”规划2006年度课题指南所推荐的国家重点课题，因此，从国际比较的视角审视数学成就对于我们深入理解、运用数学成就具有重要意义。
　　
　　一、数学成就与数学能力
　　
　　国际教育成就评估协会IEA是著名的国际学术团体,lEA所进行的国际数学研究对世界各国数学教育都产生重大影响，自lEA在第一次国际数学研究FIMS中对学生数学成就进行比较之后，数学成就就成为世界各国关注的焦点，国际上有影响的一些大规模研究，诸如IEA所进行的国际数学研究、国际学生评价程序PISA研究等，都将学生数学成就作为一项重要的研究内容。
　　IEA于1995年进行了第三次国际数学与科学研究TIMSS。之后又进行了TIMSSl999.TMMSS2003，在TIMSSl995和TIMSSl999中，美国学生数学成就都低于国际平均水平，最新的T1MSS2003研究结果表明，美国8年级学生数学成绩比过去的TIMSS测试有很大提高，4年级学生数学成绩保持不变，与以前相比，这一结果令美国人欢欣鼓舞，被许多学者称为是好消息，然而，美国15岁年龄组学生在P1SA2003中的表现却不尽人意，在数学阅读和问题解决方面的成绩都低于国际平均水平，以致于《WallStreet Jottmal》杂志2004年12月7日的标题新闻是：“经济时代的炸弹：美国学生的数学在世界最差之列，两个权威的大规模国际比较研究结果竟然如此不同，因此有消息报道说，国际比较研究给出了含糊不清的美国学生学业能力的图景。
　　那么，美国学生的数学成就到底是好还是差?进一步地，数学成就是否全面地反映了学生的数学能力?或者说，数学成就是否就意味着学生的数学能力?对此，我们以T1MSS和PISA为例进行说明。
　　以下是TIMSS2003中的部分数学试题以及正确答案和美国学生的正确率。
　　
　　4年级数学
　　盒子中有600个球，其中三分之一是红色的，问：盒子中有多少红球?
　　答案：200个红球，美国学生的正确率是35％，
　　
　　8年级数学
　　如果n是负整数，下面哪一个数最大?
　　(A)3+n(B)3×n(C)3-n(D)3÷n
　　答案：(c)，美国学生的正确率是48％，
　　
　　8年级数学
　　如果4(x+5)=80，那么x=?
　　答案：15，美国的正确率为58％，
　　再看来自PISA2003的2个问题。
　　Mark(来自澳大利亚悉尼)和Hans(来自德国柏林)经常在网上通过聊天进行交流，他们必须同时登陆互联网才能聊天，为了找到合适的聊天时间，Mark找到一个世界时刻图表，并且发现：格林威治时间午夜12点时，柏林时间是上午1：00，而悉尼是上午10：00，
　　问题l：悉尼下午7：00时，柏林是几点?
　　答案：上午10：00
　　正确率：美国45，7％，经济合作与发展组织53，7％，
　　问题2：Mark和Hans不能在他们当地时间上午9点和下午4：30之间聊天，因为他们要上学，也不能在当地时间晚上11点至次日清晨7点聊天，因为他们要睡觉，
　　对Mark和Hans来说，何时是最好的聊天时间?写下悉尼和柏林的当地时间。
　　答案：悉尼――下午4：30一下午6：00，柏林――上午7：30一上午9：00；或者：悉尼――上午7：00-上午8：00，柏林――下午10：00一下午11：00
　　正确率：美国28，0％，经济合作与发展组织28，8％
　　可以看出，TIMSS成就测试重点考查数学基本知识和基本技能，测试内容与参与国数学课程密切相关，主要检查期望学生学习的数学内容。TIMSS问题也较为直截了当，主要是数学内容本身的知识，而PISA的数学测试未必与数学课程内容直接相关，它更加重视、突出数学问题的情境性，考查学生在特定问题情境下运用知识解决问题的能力，PISA所测试的更多是实际生活中所体现的数学技能。
　　进一步看，这种考查知识侧重点的不同根源于TIMSS和PISA不同的研究目的，IEA研究的主要目的是希望获得各国教育的相关信息，获得对数学教育相关问题的深层认识，比如，TIMSS研究主要在以下问题指引下展开：“学生已经学会的数学与科学；不同教育体制所计划的学习目标上的差异；学生们拥有的学习数学和科学的不同机会；在教育的背景、教与学的安排和教育过程的结果方面，期望课程、实施课程和获得课程之间的联系”因此，TIMSS数学测试重点考查数学基本知识和技能，与学生学习的数学内容密切相关，而PISA是一项面向15岁学生的国际性评价，评价目的是了解学生在阅读、数学和科学素养方面为成人生活所作的准备情况，考察的重点是学生在实际生活中运用知识和技能的能力，而这种技能是零散于课程的，因此PISA与学校课程未必直接联系，而主要强调问题的情境性，考察现实生活中的数学问题。
　　可见，虽然都是数学测试，但是数学成就所反映的知识水平或者数学能力是不同的，即使对相同的主题、相同的国家进行测试，但由于评价的重点不同，其结果表达的意义也就有差异，从而在TIMSS研究中数学成就高未必在PISA中也取得好的成绩。这正是TIMSS2003和PISA2003中美国学生数学成就状况的实际表现。
　　因此，数学成就是相对于一定评价目的、一定数学内容而言的，任何成就测试都不能完全反映学生的数学能力，数学成就也就不能完全反映学生数学学习的真实状况，从而，在理解、运用数学成就时，我们就应该明确评价目的以及成就测试所考察的数学知识和数学能力。 　　
　　二、数学成就与文化多元性
　　
　　相对于一定评价目的、特定数学内容而言，数学成就是否意味着学生对数学的理解和掌握。
　　数学教育界现已普遍认识到，存在多元数学文化，学校数学、日常数学、街头数学等都是数学存在的形式，正如Carraher等人对巴西儿童的考察所表明的：当作为街头小贩时，他们运用口算进行计算；而作为一名学校学生时，则使用纸和笔进行解题，即采用笔算，因此，不同文化、语言或社会背景的学生是以不同的方式进行数学理解的，“民俗数学”这一研究课题的兴起就是一个很好的说明著名学者Clarke也对不同文化背景下的数学教育的丰富多样性作了说明，他指出，假设我们对德国、南非、香港和澳大利亚数学课堂上所要求精通的内容感兴趣，发现各地区要求的内容不同会是很有趣的，我们可以设想：一个社会追求培养数学理解力和精通数学证明，另一个社会优先培养对数学程序的理解以及精通于将它们运用在日常生活中：第三个社会强调概念发展、数学创造和合作解决问题，没有理由追究这些目标的不可比和相互排斥，它们确实反映了不同的数学活动观念，并且目标的起点不同，课程必然也不同，由此我们可推断，由于社会文化背景的不同，数学课堂、数学课程等必然存在差异，进而，学生的数学成就也会有很大不同，对于同样的数学问题，不同背景卜的学生会建构不同的数学理解，有不同的思维习惯。
　　更一般地说，一个国家的教育植根于该国的文化传统之中，“不论是教育的信念、政策，还是课程的组织、师资培训和专业发展，还是学校和教师的日常安排，无一不是文化的反映”，相应地，数学成就也是特定情境下的产物，其中社会、文化背景是其重要组成部分，对数学成就的理解与运用也离不开成就产生的社会文化背景。
　　但是，这种多元的社会文化特征在当前的成就测试中并不能反映出来。
　　从研究方法来看，目前各国对学生数学成就的评价以及各种关于学生数学成就的比较研究主要是采用传统的笔试测试的形式进行的，甚至是“采用相同的矩阵模型、相同的方法、相同的内容对学生进行测试，也就是说。将学生所获得的知识、技能与能力量化，用单纯的量化指标来反映显然，这种量化有很大的局限性，知识的建构性、文化相关性并不能够从显性的数学成就上反映出来。
　　同样，以平均成绩表示学生对数学的理解和掌握也具有局限性，平均成绩掩盖了内隐的社会文化背景因素Clarke、Berliner等学者曾对国际比较的数学成就提出质疑：“美国的亚洲籍学生成绩将和亚洲学生一样高，白人学生将和欧洲国家优等生是一个等级，”“在科学测试中，TIMSS与TIMSS-R都表明，美国白人学生的成绩仅被三个国家超过，但黑人学生却是最后，而西班牙籍学生的成绩仅超过两个国家，数学成绩的状况与此相似，”也就是说，数学成就的不同至少与学生的文化背景有关，仅仅着眼于数学成就也就掩盖了这种多元性。
　　正是认识到了数学成就的文化相关性，TIMSS收集了有关学生信念、家庭背景、课堂活动、数学课程、教师与教学和学校环境等多方信息并进行分析，以弥补单纯由测试判定学生情况的不足，但是在一般的成就测试中，缺乏利用多种研究方法的条件，往往是仅仅采取单一的成就测试量化处理方法，研究结果就有很大片面性，从而，了解学生的真实情况(包括其学习观念、学习兴趣、家庭教育背景、学习态度、认知水平等)，揭示数学成就产生的背景因素，才能真正明确数学成就的内涵，真正掌握学生数学学习的状况。
　　
　　三、数学成就与国家实力
　　
　　由上可见，数学成就是不同研究目的、不同测试内容的体现，是不同文化背景下学生对数学的理解和掌握，因此，数学成就高并不意味着数学能力强，正因为如此，在现实中任何以数学成就为惟一评价标准或者崇尚分数的认识或做法就有很大的局限性，但是，现实社会中以数学成就论成败的现象十分普遍。特别是，数学成就很大程度上成为数学课程改革的重要依据，到底什么原因使人们如此热衷于数学成就?我们有必要从认识根源上时此作进一步的讨论，挖掘到认识根源，才能对数学成就有更深刻的认识和理解。
　　我们先看来自数学教育国际比较的一个争论。
　　TIMSSl999显示，美国学生数学成就低于国际平均水平，对此，一些学者持乐观态度，他们认为TIMSS考察的内容仅仅是基础知识，这些知识完全可以通过记忆或计算机来帮助完成，TIMSS并没有反映出美国学生所拥有的较高创新能力、应用能力，而后者才是一个强大的经济社会所需要的重要知识，也有学者持悲观态度，他们认为，美国学生较低的数学成就有可能影响到将来经济的发展，进而对美国经济强国的世界地位构成威胁到底谁是谁非?为何有人乐观有人悲观?
　　事实上，每次大规模国际比较结果的出台，每个运用国际比较的举措，都会引起强烈的社会反响以及激烈争论，例如，第一次国际数学研究F1MS产生了许多研究成果，尤其是对各国数学成就进行了国家排名，这一举措成为大众媒体的重要新闻，第二次、第三次国际数学研究引起整个社会更为广泛的反响和持续的关注，许多国家对此争相进行报道，例如，2000年12月公布了TIMSSl999第二年龄组学生的成就结果，世界新闻媒体给予了强力报道，英国《The Independent》报2000年12月6日刊出了“英国在38个数学联盟中位于第20位”的报道；加拿大《MoneMGazette》在12月6日刊出的新闻标题是“我们的孩子在数学和科学测试中被证明是世界级的”；香港也在12月6日的《south Chain Morning Post》中报道了“香港学生成绩位于全球范围的前列”的新闻；新加坡《The New Straits Times》报道的标题是“新加坡孩子再一次在数学中领先”；美国《Washington Post》的新闻是“美国学生再一次在数学与科学测试中落后”，等等。
　　深入这些现象背后，我们可以看到，1960年代以前国际数学教育委员会ICMI进行的数学教育国际比较虽然规模较大，但却并未引起强烈的社会反响，对美国来说，TIMSS之所以引起美国震惊，并不是因为美国与其他国家在课程、教学模式、学生背景等方面有很大差异，而主要在于学生的数学成就存在很大差异，可见，是数学成就引起了人们的极大兴趣，是关于数学成就的国家排名得到了公众的极大关注，更根本地看，对数学成就的关注是基于数学之于国家经济实力重要性的认识之下的行为同时，它又把数学成就看作是国家实力的具体体现，突出强调r学生成就与国家经济实力的一致性，在此意义下，数学成就的高低就成为唤起公众忧患意识的良好素材，当然也成为进行决策或推动改革的重要依据和证据，即如DavdPBaker所说“媒体报道说‘在所有的比较中，美国教育失败于日本’，这非常适合于美国教 育改革的政治目的，它推动改革的诱惑经常是太大了。以至于人们不能拒绝”，这是国际比较一石激起千层浪的重要原因，是新闻媒体报道吸引公众眼球的核心所在，当然也是乐观派与悲观派的认识根源。
　　显然，数学成就与国家的经济实力是两个不同的概念，那么，我们该如何理解二者之间的关系?
　　当前，数学教育与国家经济发展密切相关已成为人们的共识，其本意应在于：数学是科学技术的基础，运用数学的能力是现代社会发展必须具备的素质，没有扎实、先进的数学基础，也就没有现代科技的发展以及国家的强大在此意义下，数学素质的提高就有利于国家经济实力的提高，改进数学教育质量就有利于国家数学教育的发展，但是，这并不意味着经济实力强的国家，其数学教育质量就一定高，也不意味着数学成就高的国家，其经济实力就理所当然的强，特别是，数学成就反映的仅仅是相对于一定研究目的的测试，并不能完全反映学生的数学能力和素质，因此，数学成就与国家的经济实力毕竟不是一回事，事实上，中国是发展中国家，但中国学生在数学奥林匹克竞赛以及许多数学教育国际比较中都取得了较好的成绩；而美国是世界经济强国，但是在已有的大规模国际数学成就测试中，学生的数学成就常处于中下游水平而TIMSS等大规模国际比较研究也确实表明，学生的数学成就与国家或地区的经济状况、富裕程度并不直接相关。
　　可见，数学成就的高低与国家的经济实力没必然、直接的关系，将数学成就等价于经济实力，其着眼点在于经济而不是数学在此意义下，美国乐观派与悲观派虽然态度不同，但他们关注的中心都是经济而不是数学，是经济的发展而不是数学的发展，在此认识下推行的数学教育改革也就未必能促进数学教育的发展，未必会促进国家的经济发展，源于西方而几乎遍及世界的“回到基础”数学教育改革运动的普遍失败就是一个明显的例子。
　　数学成就不等价于国家的经济实力，同样，数学成就也不等价于学校数学教育水平、学生数学学习能力，因此，以数学成就作为入学门槛的做法就有很大局限性，数学大师埃尔米特(Hermile)每次数学考试成绩都不住，为此，他大学入学考试重考了五次，大学毕业后考不上任何研究所，但是，数学却是他一生的至爱，而数学考试是他一生的恶梦，同样，以数学成就对学校、班级、学生排名，未必能提高学生数学素质，试想，有多少学生因为排名而热爱数学，进而提高数学能力呢?
　　以上对数学成就内涵的揭示，并非否定数学成就是教育评价的主要方面，而是说，我们不能盲目崇拜分数，将数学成就作为评价教育质量的惟一依据，应该真正了解数学成就的内涵，揭示数学成就背后隐含的因素，因此，如何由数学成就了解学生数学学习的真实情况，如何理性地认识数学成就，进而改进教学质量、提高学生的数学能力，应是每位数学教育工作者认真思考的重要问题。