向量基底 精选向量基底 妙解立几问题
河南平顶山理工学校467091 摘要：本文主要研究在利用向量解决立体几何问题时，如何选择合适的基底. 当所涉及的点、线、面在一些特殊的几何模型中时（如以正方体、长方体为背景），往往容易建立空间直角坐标系. 对于不存在三个两两垂直不共面向量的问题，可以将夹角和长度已知的三个向量作为基底，把题中其他的向量都用这三个向量来表示，然后利用向量的运算性质来解决问题.
关键词：向量；空间直角坐标系；基底
在利用向量解决立体几何问题时，选择适当的基底能给我们解题带来方便. 基底主要有两类：一类是能建立空间直角坐标系的，另一类是不能建立空间直角坐标系的. 下面用几个例题说明如何利用向量基底来解决这两类问题.
许多问题都在一些特殊背景中出现，所涉及的点、线、面常在一些特殊的几何模型中. 在这类模型结构中，空间直角坐标系是很容易建立的，主要有以下几类.
[⇩]正方体结构
这类问题是以正方体为背景的，建好空间直角坐标系后坐标很容易写出，运算也方便. 这样的例子有很多.
例1（2007江苏）如图1，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1.
[D1][A1][B1][C1][F][C][D][M][H][G][B][A][E]
图1
（Ⅰ）求证E，B，F，D1四点共面；
（Ⅱ）若点G在BC上，BG=，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证EM⊥平面BCC1B1.
证明（Ⅰ）建立如图2所示的空间直角坐标系，则有=（3，0，1），=（0，3，2），=（3，3，3），所以=+，故，，共面．
[D1][A1][B1][C1][F][C][D][M][H][G][B][A][E][z][y][x][图2]
又它们有公共点B，所以E，B，F，D四点共面．
（Ⅱ）如图2，设M（0，0，z），则=0，
－，z，而=（0，3，2），由题设得・=－×3+2z=0，解得z=1． 因为M（0，0，1），E（3，0，1），有=（3，0，0）. 又=（0，0，3），=（0，3，0），所以・=0，・=0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC． 故ME⊥平面BCC1B1．
但2004年江苏卷的立体几何题却不是这样的.
例2（2004江苏）如图3，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP. 设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP.
[D1][A1][B1][O][C][D][B][A][P][C1][H][[图3]]
评述本题的背景模型也是在正方体中，但如果建立坐标系来解决的话，题中H点的坐标不太容易求出，数字比较复杂，而用三垂线定理来证明垂直的话则很容易证出.
证明连结D1O，因为O点在平面D1AP上的射影是H，所以D1O在平面D1AP上的射影是D1H. 易证D1O⊥平面A1ACC1，所以D1O⊥AP. 所以D1H⊥AP.
[⇩]长方体或是底面有直角的几何体
在这样的结构中往往存在三条相互垂直的直线，因而常常以这三条直线的交点为原点，并以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系.
例3如图4，在直角梯形OABC中，∠COA＝∠OAB＝，OC＝2，OA＝AB＝1，SO⊥平面OABC，SO=1，以OC，OA，OS分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz.
[z][S][O][B][A][y][x][C]
图4
（Ⅰ）求与的夹角α的大小（用反三角函数表示）；
（Ⅱ）设n=（1，p，q），满足n⊥平面SBC，求n的坐标.
解析（Ⅰ）如图4所示，有点C（2，0，0），点S（0，0，1），点O（0，0，0），点B（1，1，0）.
所以=（2，0，－1），=（1，1，0）.
所以cos〈，〉==.
所以α=arccos.
（Ⅱ）=（1，1，－1），=（－1，1，0），因为n⊥平面SBC，
所以n⊥，n⊥.
n・=1+p－q=0，n・=－1+p=0，
解得p=1，q=2. 所以n=（1，1，2）.
评述本题以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后写出坐标，最后利用向量的坐标运算得出结果. 另外从近几年的高考题中不难发现很多问题出自这类模型.
还有一些问题不存在三条直线两两垂直的情况，也不能通过添加辅助线来构造出三条直线两两垂直，但在已知条件中却存在三个不共面的向量. 它们之间的夹角已知，长度也已知. 这时可以用这三个向量为基底，把题中所涉及的向量都用这三个向量表示出来，然后利用向量的运算性质解决问题.
例4（2000全国）如图5，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.
（Ⅰ）证明C1C⊥BD；
（Ⅱ）假定CD=2，CC1=，记平面C1BD为α，平面CBD为β，求二面角α-BD-β的平面角的余弦值；
（Ⅲ）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.
[C1][B1][A1][D1][B][C][D][A]
图5
解析以向量，，为基底，来表示其余的向量，然后进行运算. 由于本题第（Ⅱ）问涉及二面角问题，所以这里只给出第（Ⅰ）问和第（Ⅲ）问的求解过程.
（Ⅰ）设=a，=b，=c，则a=b.
因为=－=b－a，
所以・=（b－a）・c=b・c－a・c=b・ccos60°－accos60°=0.
所以C1C⊥BD.
（Ⅲ）设=x，CD=2，则CC1=.
因为BD⊥平面AA1C1C，所以BD⊥A1C.
所以只需满足・=0即可.
设=a，=b，=c. 因为=a＋b＋c，=a－c，
所以・=（a＋b＋c）・（a－c）=a2＋a・b－b・c－c2=+－6.
令+－6=0，解得x=1或x=－（舍去）.
评述本题是一道旧课程的高考题. 题中不存在三直线两两垂直的情况，也不能通过添加辅助线来构造直角坐标系. 但是图中CD，CB，CC1三条直线的夹角都是60°，则可以把向量，，作为基底，再把其余的向量用这三个向量表示出来，最后进行运算即可解决问题.
有的问题中，向量之间的关系不明确，仍可用基向量的方法解决
例5已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC. 求证：OC⊥AB.
[A][O][C][B]
图6
解析以，，为基底，把其余的向量用这三个向量表示出来，然后利用向量的几何运算来解决问题.
证明过程略.
评述课本给出的解法并没有明确指出将，，作为基底. 其实本例任取从一个顶点出发的三个向量作为基底都是可以的，但思路就不如以，，作为基底那么清晰. 因此，选择合适的基底有助于明确解题思路，规范解题过程.
由上可见，选择适当的基底或是构建空间直角坐标系对我们快速有效地解决立体几何问题是很有帮助的.
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