《函数的零点》教学实录|函数零点课堂实录

　　江苏江阴第一中学 214431 　　 　　摘要：函数的零点是函数与方程结合的典型知识，它是函数和方程间的直观关系的体现. 本文通过《函数的零点》的教学实录，旨在提高学生的自主思考能力及学生应用函数思想和方程思想的能力.
　　关键词：函数；零点；实根；区间
　　
　　[⇩]问题情境
　　 师：同学们很熟悉解方程，那就看看下面的问题1.
　　问题1 方程x3－2x2－1=0是否有实根？若有，有几个？你能求出它的近似解吗？
　　（学生尝试做题，教师巡视了解情况约1分钟）
　　师：我看到有的同学通过配方、因式分解等方法解决时均失败了，直接从数即方程的角度求解，可谓“山重水复疑无路”，那么，怎样才能“柳暗花明又一村”呢？这就需要我们寻求新的角度――函数来解决这个方程问题. 大家知道，面对陌生的问题时往往是化陌生为熟悉. 为此，就从我们最熟悉的一元二次方程和二次函数之间的关系开始研究吧.
　　问题2 观察表1，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的坐标.
　　同学们很快就完成了表1.
　　师：从表1中，你能观察出一元二次方程和二次函数之间具有怎样的关系吗？
　　表1
　　[方 程\&x2－2x－3=0\&x2－2x+1=0\&x2－2x+3=0\&函 数\&y=x2－2x－3\&y=x2－2x+1\&y=x2－2x+3\&函数图象
　　（简图）\&\&\&\&方程的实数根\&\&\&\&函数的图象与x轴的交点\&\&\&\&]
　　生1：－1，3是方程x2－2x－3=0的根，也是函数y=x2－2x－3的图象与x轴交点的坐标.
　　生2：不对，－1，3是函数y=x2－2x－3的图象与x轴交点的横坐标.
　　生3：方程x2－2x+3=0无实数根，函数y=x2－2x+3的图象与x轴没有交点.
　　师：很好！还有什么关系吗？当x=－1，3时，对应的函数y=x2－2x－3的函数值是多少？
　　众学生：函数值为0.
　　师：－1，3使函数y=x2－2x－3的函数值为0. 对方程而言，－1，3是方程的根；对图象而言，－1，3是图象与x轴交点的横坐标；对函数而言，－1，3是函数的什么呢？我们给它们起一个响亮的名字――函数的零点（板书课题）. 这里，函数y=x2－2x－3的函数值为0的实数－1，3叫做函数y=x2－2x－3的零点. 同样，使二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值为0的实数x叫做二次函数的零点.
　　问题3 若将上述特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）及相应的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），上述关系是否仍然成立？
　　在学生利用分类讨论得出结论后，采用图形的形式对上述信息作整理，并一致认为上述关系仍然成立. 师生共同总结的关系如图1（教师板书）.
　　[x0是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根][x0是函数
　　y=ax2+bx+c（a≠0）
　　的零点][x0是函数
　　y=ax2+bx+c（a≠0）
　　的图象与x轴交点的横坐标]
　　
　　[⇩]数学建构
　　师：这里，二次函数零点的概念和上述关系还能推广到更一般的函数y=f（x）吗？谁能先给函数的零点下个定义？
　　生4：使函数y=f（x）的值为0的实数x，称为函数y=f（x）的零点.
　　师：零点是点吗？
　　众学生：不是，零点是实数.
　　师：不错，零点是实数，由于实数与数轴上的点一一对应，而这些实数又使其函数值为0，故称为零点. 同学们，这个概念感觉起来是多么的美妙啊！（许多同学露出会心的微笑）
　　师：关系又怎样呢？
　　生5：只需把上述关系中的方程“ax2+bx+c=0（a≠0）”变为“f（x）=0”，函数“y=ax2+bx+c（a≠0）”变为“y=f（x）”.
　　（按照生5的说法，教师用彩色粉笔对黑板上的关系进行了重新板书）
　　师：太棒了！从这个关系中我们看到，方程的根的问题可以转化为函数的零点问题，也可以转化为函数的图象与x轴的交点问题，也就是说，这三者之间可以互相转化. 这里体现了“等价转化”“数形结合”的思想. 用等价转化、数形结合的思想不仅能找到知识之间的内在联系，而且对解决许多数学问题能起到引领的作用. 下面请同学们练一练.
　　1. 函数f（x）=（x2－2）（x2－3x+2） 的零点为______.
　　2 . 试写出零点为-2，1，3的一个函数.
　　学生观察1题后直接得出答案：零点为±，1和2 . 对于2题，学生写出了许多符合条件的函数，如f（x）=（x+2）（x－1）・（x－3）， f（x）=2（x+2）（x－1）（x－3）， f（x）=（x+2）2（x－1）（x－3）.
　　（基础练习中加入一些开放性问题，一方面可以让学生养成从多种视角考查问题的习惯，另一方面可以培养学生的发散性思维能力和逆向思维能力，优化学生的思维品质）
　　
　　[⇩]数学运用
　　例 证明函数f（x）=x2－2x－1有两个不同的零点.
　　师：哪位同学愿意说说自己的证法？
　　生6：考查二次方程x2－2x－1=0. 因为Δ=8＞0，所以方程有两个不等的实数根. 即函数f（x）=x2－2x－1有两个不同的零点.
　　生7：方程x2－2x－1=0的两个实根分别为x1=1+，x2=1－，因此函数f（x）=x2－2x－1有两个不同的零点.
　　师：非常好！这两种方法都是将函数的零点问题转化为方程根的问题. 这个问题能不能转化为对应图象与x轴的交点问题进行解决呢？也就是能不能把方程问题转化为函数图象问题进行解决？
　　学生似有所悟. 由于抛物线y=x2－2x－1开口向上，故只要证明函数图象穿过x轴即可. 也就是证明函数图象上存在一点在x轴下方.
　　生7：因为抛物线y=x2－2x－1开口向上， f（1）=－20），若存在实数m，使f（m）0即可.
　　师：总结得非常好！请看下面的变式1.
　　变式1判断函数f（x）=x2－2x－1在区间（2，3）上是否存在零点.
　　生8：画图象判断. 因为函数f（x）=x2－2x－1的顶点是（1，-2），图象开口向上，所以一定穿过x轴.
　　师：从哪个位置穿过x轴？穿过x轴的部分在区间（2，3）上？
　　生8：求方程x2－2x－1=0的根就可以确定穿过x轴的位置.
　　师：这不就是判断方程x2－2x－1=0在区间（2，3）上有根吗？方程x2－2x－1=0的两个实根分别为x1=1+，x2=1－，因为2 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 　　生10：对于函数在区间（2，3）上的图象，只要在图象上找一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可.
　　师：不错，这是几何形象，如何用代数形式描述呢？
　　生6：可以通过计算f（2）=－10来说明.
　　师：非常正确！具体解题过程如下. 因为f（2）=－10，且f（x）=x2－2x－1在［2，3］的图象是不间断的，所以f（x）在（2，3）上存在零点.
　　师：试一试，你能把这种解法总结一下，并推广吗？
　　生11：对于二次函数y=f（x），若f（a）>0， f（b） 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文