[三角形的欧拉线与边的位置关系]三角形欧拉线

　　天津师范大学数学科学学院300387 　　 　　摘要：本文探讨了三角形欧拉线与三边的位置关系，揭示了欧拉线平行于三角形一边的条件. 　　关键词：欧拉线；外心；重心；垂心；平行
　　
　　我们知道，三角形的外心、重心、垂心三点共线，这样的直线就是著名的欧拉线. 在欧拉线上，重心到垂心的距离等于重心到外心距离的2倍.
　　以下用O，G，H分别表示△ABC的外心、重心、垂心.
　　情形一，△ABC是等边三角形，此时外心、重心、垂心三点重合，欧拉线缩成一点（如图1）.
　　[A][B][C][G][・][H][O]
　　图1
　　情形二，△ABC是底边与腰不相等的等腰三角形，此时，欧拉线垂直平分底边AB（如图2）.
　　[C][A][H][G][O][B]
　　图2
　　情形三，△ABC是直角三角形，∠A=90°，此时，垂心H与直角顶点A重合，外心O等分斜边BC，欧拉线是斜边上的中线所在的直线（如图3）.
　　情形四，△ABC是钝角三角形，∠A>90°，此时，重心G与外心O分别在BC的两侧，欧拉线与钝角所对的边（即最长边）相交，也与其他两边（或它们的延长线）相交（如图4）.
　　[A][H][G][O][C][B]
　　图4
　　显然，以上四种情形的欧拉线与三角形的任意一边都不平行. 那么，要使欧拉线平行于三角形的某一边，需要满足什么条件呢？
　　如图5，设边AB固定，C为动点，欧拉线与AB平行. 以AB中点D为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设AB=2，则点A，B的坐标分别为（－1，0），（1，0），又设O（0，d），C（x，y），△ABC的外接圆半径为r，则有（x－0）2+（y－d）2=r2，由于GH∥DB，CD=3GD，故d=，又r2=1+d2，因此x2+=1，这是中心在原点，焦点在y轴上的椭圆方程. 排除A，B，E，F四点，点C的轨迹方程为x2+=1（－1[D][A][r][O][G][H][B][（1，0）][x][C（x，y）][E][y][（-1，0）][F]
　　图5
　　cot∠AOD=d 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文