[引导学生反思,提高解题能力] 引导学生质疑,培养探究能力

　　【摘 要】解题反思是对解题活动深层次的再思考，教师应积极引导学生对解题出错原因、解题方法等进行反思与提炼，培养学生的反思习惯，这是提高学生解题能力的有效途径之一。 　　【关键词】解题 反思 解题方法
　　【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674－4810（2011）23－0145－02
　　
　　为学之道，必本于思，思则得知，不思则得也，反思是个体乃至整个群体成熟的一个重要标志，人类自古以来就具有反思意识，在我国古代有“扪心自问”、“吾日三省吾身”等至理名言，在数学教学过程中，反思历来具有重要的地位和作用，引导、组织学生积极反思就等于为高效课堂打开了一扇宽敞之门，为学生的可持续发展铺就了一条七彩大道。
　　教师应教给学生反思的方法和策略，让学生学会反思。解题本身不是学习的目的，只是一种训练手段，解题后的小结和反思，有益于我们总结经验，发现规律，形成技能，解题后进行反思是提高解题能力的一种强有力的方法，在教学中需要指导学生在以下几个方面进行反思：
　　一 反思错解原因
　　数学解题其实质就是运用所学过的数学知识，借助一定的解题策略解决数学问题，解题错误或解题思路中断，首先是知识的理解的问题，通过对解题错误的反思往往可以帮助学生提高对相关知识理解的层次。
　　例1，已知a、b∈R＋，且a＋2b＝1，求 的最小值。
　　有两位学生这样解答：
　　解法一：由a∈R＋得a＋ ≥2（1）
　　由b∈R＋得2b＋ ≥ ＝（2）
　　由（1）（2）式得a＋2b＋ ＋ ≥2＋ 。
　　所以 ≥ ＋1。
　　故 的最小值是 ＋1。
　　解法二：因为a、b∈R＋，且a＋2b＝1。
　　所以 ＝（a＋2b）（ ）≥ • ＝ 。
　　故 的最小值是 。
　　反思：上述两种解法都是错误的，在教学过程中应及时引导学生反思错在哪里？导致错误的原因是什么？求代数式的最小值，关键在于确定最小值能否得到，在若干个不等式中，等式成立的条件是不能矛盾的，解法一中（1）式中等号
　　成立的条件是a＝1，而（2）式中等号成立的条件是 ，
　　这与a＋2b＝1是矛盾的；解法二中，a＋2b≥ ，当且
　　仅当a＝2b时等式成立， ≥ ，当且仅当a＝b时等
　　式成立，显然也是矛盾的，在学习诸如a2＋b2≥2ab等重要不等式时，学生往往对“≥”中的“＝”成立的条件不够重视，通过这样的反思，不但使学生对不等式成立的条件引起高度重视，而且对其应用的理解层次得到提高。
　　二 反思解题方法
　　解题后小结一下解题的方法，归纳这种解题方法的特点，促进知识的正迁移，让学生在不断的反思中拓展思路，掌握规律，特别是在新课程学习过程中，教师要充分发挥教材功能，使学生学会探究、学会反思，引导学生对教材问题的探究和反思，使学生对教材知识融会贯通，提高学生举一反三、触类旁通的能力。
　　例2，原例（《高中数学》第一册（必修）下P117例5）：
　　如图1， 、 不共线， ＝t （t∈R），用 ，
　　表示 。
　　解：∵ ＝t
　　∴ ＝ ＋ ＝ ＋
　　t ＝ ＋t（ － ）＝
　　（1－t） ＋t
　　∴ ＝（1－t） ＋t（1）
　　反思一：（1）式表达的内容为：以向量 ， 为一组基底表示向量 。举一反三――用 ， 能否表示 ？用 ， 能否表示 ？问题一抛出，学生迅速可以从（1）式中得到答案：
　　 ＝＋（1－ ） （2）
　　 ＝＋（1－ ） （3）
　　从（2）、（3）可知 ， 也可以作为 的一组基底， ， 也可以作为 的一组基底。
　　反思二：揭示规律――（1）（2）（3）式告诉我们存在什么样的内在规律？
　　通过探究和反思发现：
　　（1）三向量 ， ， 的终点A、B、P共线。
　　（2）分别表示三向量 ， ， 的三组基底的系数之和均为1。
　　三 反思一题多解
　　解题后对于同一问题，如从不同角度去分析、思考、联想，可能有不同解题方法，再比较这些方法的优劣，这样可发展学生的发散思维，使解题方法灵活多变，提高解题技能。
　　例3，如图2，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABC⊥平面ABD，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK＝t，则t的取值范围是。
　　解法一：由题意可知，二面角D－AB－C是直二面角，又DK⊥AB，所以DK⊥平面ABC，作KG⊥AF于G，连接DG，则DG⊥AF，故在折叠前，D、G、K三点共线，因此问题又可回归到平面图形之中，设DF＝x，则1＜x＜2，在Rt△ADF和Rt△KAD中，∠ADK＝∠GAK＝∠AFD，所以
　　 ，所以xt＝AD2＝1，故t＝ （1＜x＜2），所以 ＜
　　t＜1。
　　上述解法的可取之处是在找关于x和t的方程时，回归到平面图形中解题，如果转换视角又可得到新的解法。
　　解法二：在空间图形中，建立空间直角坐标系，如图3所示。
　　设FC＝m。
　　则0＜m＜1，A（0，－t，0）；
　　F（－1，2－t－m，0）；
　　D（0，0， ）。
　　所以 ＝（0，t， ），
　　 ＝（1，t＋m－2， ）。
　　由于AD⊥DF，所以 •
　　＝t（t＋m－2）＋1－t2＝0。
　　即t＝ （0＜m＜1），故有 ＜t＜1。
　　到此还不能保证所使用的方法与思路是最佳的选择，不能够如释重负，如再引导学生反思，通常情况下，在用目标函数法解立体几何范围问题时，选择角的大小为变量比选择线段长为变量要简捷一些。因此又有下面解法：
　　解法三：设∠FAB＝α，则∠DAF＝ －α，设折叠后，
　　∠DAK＝β，则t＝AK＝AD。
　　由于二面角D－AB－C是直二面角，所以cos∠DAF＝cos∠DAK•cos∠FAB。
　　即cos（ －α）＝cosα•cosβ，所以cosβ＝tanα。
　　由于点F在线段EC上（不包括端点），所以 ＜tanα 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文