工科积分变换及其应用答案_工科《积分变换》教学中的几个问题

　　摘要：通过单位脉冲函数解决了常用函数在傅立叶积分定理中不满足函数f（t）在（-∞，∞）区间绝对可积条件的傅立叶变换，并且恰当地选取单位阶跃函数求拉普拉斯变换解决部分广义积分问题，在许多看似不容易解决的问题通过我们高等数学的知识给出的公式可以顺利解决。本文所讲的《积分变换》教学中的几个问题希望通过简单的方法使学生通过简单的公式将高等数学知识与积分变换知识串联起来，对原有的知识进一步延伸，起到启发学生学习思路。
　　关键词：积分变换；单位脉冲函数；单位阶跃函数；拉普拉斯变换；解决实际应用
　　中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）08-0138-02
　　在积分变换课程的教学中主要让学生掌握如何利用已知数学知识，在专业学习和创新项目活动对所发生问题利用积分变换的方法解决一些实际问题。因此教学中从让学生掌握知识学会灵活应用是教学主要目的，深傲的理论研究在教学中只须了解出处即可。本文从公式的推出和如何应用叙述积分变换教学中几个问题。
　　一、单位脉冲函数δ（t）在积分变换的傅立叶积分变换中应用
　　在积分变换课程的教学中，很强调积分变换中函数f（t）存在的条件。特别在傅立叶积分变换中，函数f（t）在（-∞，∞）区间存在的充分条件必须要求函数f（t）在（-∞，∞）区间绝对可积。显然这里函数f（t）在（-∞，∞）区间满足绝对可积，使得许多常用函数如；常数、幂函数、三角函数、指数函数等在（-∞，∞）区间上不满足绝对可积的条件，所以不能用傅立叶积分公式直接求变换。为了帮助常用函数常数、幂函数、三角函数、指数函数等在实际工程中能应用傅立叶积分变换。我们引进单位脉冲函数δ（t）的概念，单位脉冲函数是广义函数与普通意义上函数不一样。其严格数学论断有数学基础的广义函数理论叙述，而这里是利用δ（t）函数来解决常用函数常数、幂函数、三角函数、指数函数等在实际工程中能应用傅立叶积分变换。为了进一步解决常用函数傅立叶积分变换的问题，我们定义单位脉冲函数。定义：如果函数f（t）在（-∞，∞）上连续则δ（t）单位脉冲函数有■δ（t-t0）f（t）dt=f（t0），其中t0为任意点。有了定义这一重要演算性质，使得δ（t）单位脉冲函数在实际应用中大放异彩。下面来解决常用函数在实际工程中傅立叶积分变换。因为F［δ（t）］=■δ（t）e-jwdt=e-jwt|t=0=1，我们利用傅立叶逆变换公式，即得F-1[1]=■■F（w）ejwtdt=δ（t），故F-1[1]=2πδ（t）。
　　这样利用傅立叶变换F[δ（t）]=1公式解决了常数F[1]=2πδ（w）的傅立叶变换。其傅立叶逆变换为F-1[2πδ（w）]=1。在实际问题中上述广义积分无论是普通意义还是在主值意义下都不收敛的（在广义函数的意义下收敛）而由公式得到的。同理也解决了指数函数的傅立叶变换F[e■]=2πδ（w-w0）。其傅立叶逆变换F-1[2πδ（w-w0）]=e■。利用指数函数的傅立叶变换我们也可以解决三角函数、幂函数的傅立叶变换。在积分变换教学中通过单位脉冲函数我们解决了常数、幂函数、三角函数、指数函数等在傅立叶积分定理中不满足函数f（t）在（-∞，∞）区间绝对可积条件的傅立叶变换为积分变换在工程上的广泛使用创造了条件。
　　二、单位阶跃函数在积分变换的拉普拉斯变换中应用
　　积分变换教学主要考虑它的应用，特别在考虑时间函数t＜0时，实际运用时间函数f（t）=0，故考虑实际问题时只须对t＞0时，讨论函数f（t）的变化。则可定义积分变换中拉普拉斯变换为：当函数f（t）在t＞0时有定义，参数s在某复平面域内F（s）=■f（t）e-stdt收敛，称F（s）是f（t）拉普拉斯变换，记为F（s）=L［f（t）］。反之f（t）=L-1［F（s）］是其拉普拉斯逆变换。在运用拉普拉斯变换过程中恰当地选取求拉普拉斯变换的方法是简单解决拉普拉斯变换的关键，在实际问题中非常实用。如利用单位阶跃函数解决分段函数的拉普拉斯变换。已知拉普拉斯变换为L［u（t）］=■，Res＞0，L［f（t-τ）u（t-τ）］=e-stF（s）。可以解决一系列分段函数的拉普拉斯变换而不须利用拉普拉斯变换定义来求。
　　例1：设函数f（t）=1 τ＜t＜τ+10 t＜0 （τ=0，1，2，3L L），求拉普拉斯变换。
　　解：利用单位阶跃函数可以将所求函数化为f（t）=u（t-1）+u（t-2）+u（t-3）LL利用拉普拉斯变换延迟性质和公式，L［f（t-τ）u（t-τ）］=e-stF（s），L［u（t）］=■，F（s）=L［f（t）］=■［e-s+e-2s+L+e-τsLL］=■类似解。
　　例2：设函数f（t）=0 t＜0sint 0≤t＜πcost π≤t＜+∞求函数拉普拉斯变换。
　　解：利用单位阶跃函数可以将所求函数化为f（t）=u（t）sint+u（t-π）［cost-sint］=u（t）sint+u（t-π）［sin（t-π）-cos（t-π）］
　　所以拉普拉斯变换F（s）=L［f（t）］=■+■［e-πs-se-πs］（Res＞0）。
　　显然从例2来看用拉普拉斯变换定义来求有比较复杂的积分计算过程，而利用拉普拉斯变换性质就比较简单的解决求拉普拉斯变换的问题。
　　三、利用拉普拉斯变换性质求解广义积分问题
　　利用积分性质可以推出公式：■■dt=■F（s）ds
　　例4：求广义积分■■e-2tdt
　　解：利用公式■■dt=■F（s）ds得
　　广义积分■■e-2tdt=■L［sinhte-2t］ds
　　=■■ds=■ln■|■■=■ln3
　　显然利用公式■■dt=■F（s）ds可以化简计算。
　　以上几种积分变换方法是高等数学与积分变换结合起来解决工程中比较困难的问题。我们可以根据不同的函数特性，在解决实际问题中不断积累经验，取的较好实际效果。
　　目前的积分变换教科书一般内容是点到为止。本文所讲的希望通过简单的方法使学生通过简单的公式将高等数学知识与积分变换知识串联起来，对原有的知识进一步延伸，起到启发学生学习思路；另一方面让学生对积分变换的一些功能有进一步认识和领悟，从而增加学生的学习兴趣，提高学生学习自觉性。从教学来看学生只要理解单位脉冲函数、单位阶跃函数等内容对积分变换课程教学概念了解得更清楚，实际解题应用能力也明显提高。
　　参考文献：
　　[1]祝同江.工程数学——积分变换[M].北京：高等教育出版社，2001.
　　[2]张元林.工程数学——积分变换[M].北京：高等教育出版社，2003.