探寻“图形与变换”教学的最佳路径:图形变换

　　“图形的变换”是研究几何问题的有效工具，引进变换能使图形动起来，有助于发现图形的几何性质。但在小学数学教学实践中，大部分教师对平移、旋转以及轴对称等图形变换概念不是很清晰，对变换情况出现争议时不知怎样解答，对“平移、旋转、轴对称”与相关知识的联系比较模糊。为了培养学生的空间观念，笔者梳理教材，在分析和研究的基础上，借助典型案例，提出自己对“图形与变换”的教学建议。
　　一、基于教学实践，把握学生认知特点
　　1.由感知现象到体会特征
　　教材先是引导学生感知平移、旋转、对称现象和轴对称图形，借助生活中的许多现象，如旗帜升起、螺旋桨转动等，以及建筑、植物(如枫叶)、动物(如蝴蝶)等物体为学生认识平移、旋转、对称提供丰富的素材。利用学生已有的生活经验，如折纸、转风车、照镜子等获得诸如平移、旋转、对称等的体验，通过观察、操作、想象、思考、交流等活动，初步感知变换现象，整体感受变换现象的特征。教材接着引导学生初步认识平移、旋转和轴对称图形，主要是学习在方格纸内进行图形平移、旋转和轴对称等操作，让学生在动手的过程中体验过程和方法，侧重于引导学生发挥学习的正迁移作用，由感知现象到体会特征。
　　2.从单一变换到综合应用
　　但凡涉及到“图形与变换”的章节，教师都会让学生欣赏一些漂亮的图案、并思考图案的形成，然后启发学生尝试用平移、旋转或轴对称的方法做出一些简单的图案。在此基础上。放手让学生灵活应用平移、旋转或对称设计、制作图案。这一方面是数学应用与审美、手工融为一体的综合应用，另一方面是将学生的创新精神与实践能力结合起来。
　　3.与其他内容的联系
　　变换与图形的认识有密切的关系，如平行四边形是直接运用平移变换得出：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，学生可以利用直尺和三角板平行移动检验，体会图形变换的特征。
　　变换与图形的度量也很有关系，小学阶段中正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积公式的推导过程，都用到了平移和旋转的思想。
　　而以上这些联系都是隐性的，只有先从整体把握，然后观察、思考，才能发现它们之间的动态联系。
　　二、渗透数学理念，突破教学难点
　　对于“图形与变换”的教学难点，一方面要注重理解“图形与变换”内容的数学内涵，另一方面要注重“图形与变换”和相关知识的联系。
　　1.注重理解“图形与变换”内容的数学内涵
　　一是理解变换。如果一个平面图形的每一个点。都对应于该平面内某个新图形的一个点。并且新图形中的每一个点只对应于原图形中的一个点，这样的对应就叫做变换。几何变换中最重要的是全等变换与相似变换，在小学数学中主要引进了平移变换、旋转变换和轴对称变换。这三种变换都是全等变换。
　　二是理解平移变换、旋转变换和轴对称变换。如果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线，方向相同，长度相等，这样的全等变换称为平移变换，简称平移。也就是说。平移的基本特征是图形移动前后“每一点与它对应点之间的连线互相平行(或者重合)，并且相等”。显然，确定平移变换需要两个要素，即方向和距离。
　　如果新图形中的每个点都是由原图形中的一个点绕着一个固定点(叫做旋转中心)转动相等角度得到的，这样的全等变换称为旋转变换，简称旋转。也就是说，旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中连线的夹角都等于旋转的角度”。显然，确定旋转变换需要三个要素，即旋转中心、旋转方向与旋转角度。
　　对称是一个许多学科都在使用的名词，小学数学讨论的仅限于图形的对称。而且仅指平面图形关于一条直线的对称。如连接新图形与原图形中每一组对应点的线段都和同一条直线垂直且被该直线平分，这样的全等变换称为轴对称变换，每组对应点互为对称点。垂直平分对称点所连线段的直线叫做对称轴。一个轴对称图形，也可以看作以它的一半为基础，经过轴对称变换而成的。可以用更通俗的语言对轴对称图形做出直观的描述：将一个图形对折。如折痕两边的图形完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，折痕叫做对称轴。
　　三是理解平移变换、旋转变换与轴对称变换的联系。首先，这三种变换都能保持图形的形状、大小不发生变化。这是它们最主要的共同点。其次。如果连续进行两次轴对称变换，那么一般当两条对称轴平行时，这两次轴对称变换的最后结果相当于一次平移变换，平移的方向与对称轴垂直，平移的距离为两条对称轴之间距离的2倍。简略地说，两次翻折(对称轴互相平行)相当于一次平移。当两条对称轴相交时。那么这两次轴对称变换的最后结果相当于一次旋转变换，旋转中心为对称轴交点，旋转角度为两条对称轴夹角的2倍。简略地说，两次翻折(对称轴相交)相当于一次旋转。
　　四是注重具体情境和操作活动，体会变换的特征。学生对平移、旋转、轴对称图形的认识并不是从概念中获得的，而是在相关具体情境的感悟中和动手实践与操作的体验中体会变换的特征。因此，教学时教师要创设有价值的情境活动和操作活动，帮助学生理解变换特征。
　　五是注重在变换的过程中培养学生的空间观念。“图形变换”的主要目的是引导学生从运动变化的角度去探索和认识空间与图形，发展学生的空间观念。图形的变换是一种既直观又抽象的知识，需要一定的空间想象能力，对学生来说是一种全新的思维方式。要很好地掌握和运用它确非易事。因此在图形与变换的教学活动中，应力求在操作、思考和语言表达相结合的过程中，发展学生的空间观念。如在研究平移时，教师应注意引导学生用数学的语言进行描述。鼓励学生通过动作或符号来模拟、表征物体的运动方式，并有意识地逐步提升学生的思维水平。一开始可以让学生动手移一移，或借助多媒体进行演示。接着，教师应鼓励学生逐步脱离实物操作和直观演示，让学生尝试“在头脑中平移”，以发展空间想象能力。
　　2.注重“图形与变换”和相关知识的联系
　　一是从变换角度认识图形。在认识图形的教学过程中，可以借助变换，动态直观地刻画图形的属性。如长方形、正方形、三角形等图形，在认识他们的特征时可以通过平移、旋转、对称的变换，清晰直观地发现图形隐含着的特点。
　　二是从变换的角度理解度量。小学阶段，在平面几何和立体几何的面积和体积公式的推导过程中。时刻都能感受到变换的重要作用。三角形、平行四边形、梯形、圆的面积公式的推导过程中，会用到拼凑、割补等多种推导的方法，这些方法的实质是图形的变换。
　　三、加强教学反思，优化课堂生成
　　教学反思的过程不但可以使教师夯实业务素质、积累教研素材，而且还可以优化课堂生成。为此，笔者对“图形与变换”进行反思的过程中，注意到图形变换对认识图形、理解度量的作用是不可替代的。
　　学生学习“图形与变换”这部分内容，可以提高对图形的认识能力。教师通过对这部分内容的初步研究，认识到教材对“图形与变换”这个领域的安排层次是从感性直观认识逐步上升到理性本质认识，从对静止状态的认识发展到对运动状态的认识的，还能发现“图形与变换”与“图形的认识”、“测量”之间的关系虽然是隐性的，但联系又是紧密的。
　　图形的变换不仅为学生感受、理解抽象的概念提供了有力的支撑，有助于学生获得相应的知识和技能。而且为学生自主探索图形的性质提供了方便，有助于培养学生的直观感知、操作技术及由此发展起来的几何直觉、空间观念和自主创新的意识。
　　通过探寻“图形与变换”教学的最佳路径，教师可帮助学生理解图形知识，发展空间观念，让变换成为学生分析问题和解决问题的一种行之有效的思维方式。
　　作者单位北京市中关村第三小学
　　(编辑　黄蜀红)