小学数学教学须防止涉及充分条件和必要条件的失误 《小学数学教学失误分析100例》
充分条件、必要条件是逻辑学中的重要概念。一些小学数学教师在教学中常会出现涉及充分条件和必要条件的失误。又由于这类失误较为隐蔽，所以更具危害性。它不仅会阻碍教师提高教学艺术，更会影响学生思维能力的发展以及严谨性、深刻性、灵活性等优良思维品质的形成。因此，有必要澄清充分条件和必要条件的概念，领悟其本质，并融会贯通，防止失误。
一、澄清概念，领悟本质
我们先来回忆一个命题：对顶角相等。这是一个真命题，人们称之为对顶角定理。用“若……则……”的句式来叙述就是：若两个角是对顶角，则这两个角相等。“若”字后面的是条件，可用A表示；“则”字后面的是结论，可用B表示。这样一来，上述命题即可简记为“若A则B”或“有A则有B”或“A?圯B”。这表明A的出现保证了B的出现，于是，人们就称A是B的充分条件。
众所周知，一个命题与其逆否命题是等价的，故“若A则B”与其逆否命题“若A则B ”（读作“若非B则非A”或“无B则无A”）等价。这表明B不出现则A必不出现，于是，人们就称B是A的必要条件。由此发现规律：如果A是B的充分条件，那么B就一定是A的必要条件。
在上述对顶角定理中，“两角是对顶角”是“这两角相等”的充分条件，“两角相等”是“这两角是对顶角”的必要条件。但由于仅有“A?圯B ”，而BA（由两角相等不能推出这两角是对顶角），所以更准确的表述是：A是B的充分但不必要的条件，B是A的必要但不充分的条件。
如果在命题A、B间存在着这样的关系：A?圯B 且B?圯A，即：A既是B的充分条件又是B的必要条件，我们就称A是B的充分且必要的条件，简称A是B的充要条件，记作：A?圳B。在数学中这类互为充要条件的情况也为数不少。如：“若两圆半径相等，则此两圆的周长相等”；反之，“若两圆周长相等，则此两圆半径相等”。“两圆半径相等”是“这两圆周长相等”的充要条件。
对充分条件、必要条件等逻辑知识的学习不能止于表浅。有些人尽管能将概念的定义背诵得一字不差，但一遇到具体问题，不是把充分条件误认为必要条件，就是把必要条件误认为充分条件，甚至将既不是充分条件也不是必要条件的命题误当成充要条件。因此，学习和运用这部分知识须认真领悟其本质。
首先，为弄清充分条件与必要条件的区别，不妨先顾名思义：“充分”有“足够”之意，故充分条件对结论的出现所起的作用是“有了就够”；而“必要”有“必不可少”之意，故必要条件对结论的出现所起的作用是“缺之不可”。命题A对命题B出现的作用如果是“有了就够”但“缺之亦可”，则A就是B的充分但不必要的条件；命题A对命题B出现的作用如果是“缺之不可”，但“有了还不够”，则A就是B的必要但不充分的条件；命题A对命题B出现的作用如果既是“有了就够”又是“缺之不可”的，A就是B的充要条件。
其次，要理论联系实际，弄清这些逻辑关系在小学数学中的蕴涵和体现。例如：（1）“a=0”是“ab=0”的充分但不必要的条件；（2）“两个三角形面积相等”是“这两个三角形全等”的必要但不充分的条件；（3）“一个整数的末位数字为偶数”是“这个整数为偶数”的充要条件。
另外，教师还可对生活中一些常见的事物，用数学的眼光去观察，用数学的语言去诠释。以下是两个生活中有关充分条件和必要条件的例子。（1）“空气”是“人类生存”的必要但不充分的条件。没有空气，人类不能生存，但仅有空气而无食物、水等，人类也是不能生存的。（2）在熟语“杀鸡焉用宰牛刀”中，“使用宰牛之刀”对于“将鸡杀死”而言，可以看成是充分但不必要的条件。因为使用宰牛之刀，必能毫无悬念地将鸡杀死，这是“有了就够”；然而，用一把菜刀、削铅笔用的小刀或刮胡须的刀片即可顺利地将鸡杀死，实在不必劳驾宰牛之刀，这是“缺之亦可”。
需要注意的是，也有些生活中的事例要仔细辨析。例如，假设甲、乙两支排球队采用“五局三胜制”进行比赛，以A表示“甲队先胜两局”，以B表示“甲队获胜”，有人认为“A是B的必要但不充分条件”，这种认识是错误的：先胜两局者最后未必获胜；而没能先胜两局者，最后却未必不胜。所以，A对B而言既不是充分条件，也不是必要条件。
值得探讨的还有一个问题：任意两个命题A、B之间是否只有A?圯B、B?圯A和A?圳B这三种关系呢？答案显然是否定的。实际上，对任意两个命题A、B而言，更普遍的情况是在上面三种情况之外的AB、BA，即二者不能相互推出，不具因果关系，A不是B的条件，B也不是A的条件。例如以A表示“今天天晴”，以B表示“今天要上数学课”，A、B之间就不存在条件与结论的关系。
二、融会贯通，防止失误
在小学数学教学中，涉及充分条件和必要条件的失误主要有三类：错把充分条件当成充要条件，错把必要条件当成充要条件，错把非条件当成条件。以下拟通过教例评析的形式分别对这三类失误进行讨论。
1.莫把充分条件当成充要条件。
在一堂四年级的数学课上，教师出示了一道课本中的判断题：“三角形的面积是平行四边形面积的一半。（）”
这道题目命题的错误是明显的。因为任意一个三角形的面积绝不可能会是任意一个平行四边形面积的一半，所以立即有学生举手发言：“我认为这是错的，因为一个很大的三角形的面积不会等于一个很小的平行四边形面积的一半。”本来这是一个完全正确的回答，然而教师没有及时回应，似乎还在等待符合预设的回答。接着，另一个学生发言：“要说等底等高才行。”这时，教师高兴地予以肯定：“答得非常正确。”并总结道：“只有在三角形与平行四边形等底等高的情况下，三角形的面积才会等于平行四边形面积的一半。”
2.莫把必要条件当成充要条件。
在一堂高年级的数学活动课上，一个学生拿一道题目向教师请教，教师干脆将这道填空题抄在黑板上，让大家都来思考。这道题是：设m=451027x，若m能被15整除，则x=（）。
不一会儿，一个学生举手说：“我做出来了，x=5。”并解释说：“因为15能被5整除，而m又能被15整除，所以m一定能被5整除。由此推出m的末位数字x应当是5。”
教师此时正在教室内巡视，听了这个学生的发言后，未经仔细推敲就随口肯定：“完全正确。”
笔者认为学生的回答是“不完全正确”，而教师的评价则是“完全不正确”。
这个学生的推理中至少存在两处错误。其一，由“m能被15整除”理应推出“m既能被3整除，又能被5整除”。“m能被5整除”仅是“m既能被3整除，又能被5整除”的必要但不充分的条件，故而题设条件没用全。其二，由“m能被5整除”理应推出“x=0或x=5”，并不能推出“x=5”，在此，“x=0或x=5”只是“x=5”的必要但不充分的条件，而不是“x=5”的充要条件。
正确的解法如下：
∵15=3×5，3与5互质，又m能被15整除，
∴m能被3整除且m能被5整除。
(1)∵m能被5整除，∴x=0或x=5;
(2) ∵m能被3整除，∴4+5+1+0+2+7+x=19+x能被3整除，故1+x能被3整除，x=2或x=5或x=8。
取（1）、（2）结论之交集，即得x=5。
3.莫把非条件当成条件。
在一堂五年级的数学课上，师生们正在研究课本中有关“统计”的一道例题：
“五（2）班要选10个同学组队参加集体舞比赛。下面是20个候选队员的身高情况（单位：m）。
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 1.321.331.441.451.461.461.471.47
1.481.481.491.50
1.511.521.521.52
1.521.521.521.52
根据以上数据，你认为参赛队员身高是多少比较合适？”
教材上给出了3个学生的看法和教师的指导性意见。
小林：我算出平均数是1.475，身高接近1.475 m的比较合适。
小平：这组数据的中位数是1.485，身高接近1.485 m的比较合适。
小明：身高是1.52 m的人最多，1.52 m左右的比较合适。
教师：用小明的方案选出的队员身高均匀。
紧接着，课本用两行文字引入了“众数”：“上面这组数据中，1.52出现的次数最多，是这组数的众数。众数能够反映一组数据的集中情况。”
在教师引导下，学生都对小明的方案表示赞同。为加深学生的印象并让他们掌握规律，教师在教学时进行了小结：“大家记住，以后凡遇要求所选队员身高均匀的问题时，都应该把众数作为选择的标准。”
教师的用意无疑是好的，但这一“规律”的正确性却值得推敲。客观事物是极其复杂的，具体问题还要具体分析。只凭一道例题就去作带有普遍性的结论，这结论未必可靠，这种做法也未免太草率。
把这位教师所说的“规律”换个方式表述，即得如下命题：“把众数定作身高标准”是“所选队员身高均匀”的充分条件。现在要探讨的就是这一命题的真假。
就这道例题而言，以众数为标准的确是对的，此时选出的10个队员中就有7个的身高均为1.52 m，另3个队员的身高则分别为1.51 m、1.50 m和1.49 m。极差（最大数据与最小数据之差）仅为0.03，确实最为均匀。然而，能否确保在任何情况下，只要以众数作为选择标准，所选队员的身高就都是最均匀的呢？
为弄清这个问题，我们不妨将上例中的数据稍加改变，让这20个候选队员的身高情况（单位：m）如下：
1.321.331.341.371.381.391.441.44
1.451.451.461.46
1.471.471.481.48
1.511.521.521.52
在这组数据中，众数仍是1.52。但若依此标准选择队员，则这10个队员的身高（单位：m）应为1.521.521.521.511.481.481.471.471.461.46。极差为0.06，不算最均匀。还不如选择身高（单位：m）依次为1.481.481.471.471.461.461.451.451.441.44的10个队员。这组数据的极差仅为0.省略
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