[妙用概率方法证明不等式]妙用糖水不等式证明

　　湖南师范大学数学与计算机科学学院 410081 　　 　　摘要：某些不等式运用常规数学方法进行证明比较困难， 但运用概率方法进行证明则较为简单. 如通过构造随机事件的概率、古典概型、离散型随机变量的概率分布， 并运用概率加法公式、数学期望、方差等概率知识对某些不等式加以证明.
　　关键词：概率思想; 不等式; 构造法
　　
　　不等式的证明方法灵活多样，常规方法有: 比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法、数学归纳法等. 某些不等式用这些常规方法证明很困难，本文介绍一种证明不等式的新方法――概率方法， 旨在拓宽解题思路、提高创新思维能力、追求最简捷的解决问题的方法. 下面举例说明如何利用概率论中的概念、定理、性质、结论等来证明不等式.
　　
　　[⇩]类比联想，概率合情
　　 概率的取值范围和概率加法公式是概率论中最基础的知识，它们在证明某些不等式时发挥着不同寻常的作用，使得证明思路自然，运算简单，且不需为这些不等式该如何变形而冥思苦想，绞尽脑汁.
　　例1 已知0≤a≤1，0≤b≤1，0≤c≤1. 求证：ab+bc+ca≤a+b+c+abc≤1+ab+bc+ca.
　　证明 由a，b，c的取值范围可联想到随机事件概率的取值范围， 且发现待证不等式符合概率加法公式的基本形式.
　　设随机事件A，B，C相互独立，且P（A）=a，P（B）=b，P（C）=c. 由概率的加法公式有：
　　P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）－P（AB）－P（BC）－P（CA）＋P（ABC）.
　　因为P（AB）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）・P（C），P（CA）=P（C）P（A），P（ABC）=P（A）・P（B）P（C），
　　所以P（A＋B＋C）＝a＋b＋c－ab－bc－ca＋abc.
　　又因为0≤P（A＋B＋C）≤1，
　　所以0≤a+b+c－ab－bc－ca+abc≤1，
　　即ab+bc+ca≤a+b+c+abc≤1+ab+bc+ca.
　　点评 利用概率加法公式证明不等式的关键在于合理地构造随机事件发生的概率，本题中构造了P（A）=a， P（B）=b，P（C）=c.
　　例2 证明：若0≤ai≤1（i=1，2，3），则a1a2a3≥a1+a2+a3－2.
　　证明 设事件A1，A2，A3相互独立，且P（A1）=a1，P（A2）=a2，P（A3）=a3.
　　因为P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）－P（A1A2）≤1，
　　所以P（A1A2）≥P（A1）+P（A2）－1.
　　又因为P（A1A2+A3）=P（A1A2）+P（A3）－P（A1A2A3）≤1，
　　所以P（A1A2A3）≥P（A1A2）+P（A3）－1，
　　故P（A1A2A3）≥P（A1）+P（A2）+P（A3）－2.
　　由于P（A1A2A3）=P（A1）P（A2）P（A3），
　　因此a1a2a3≥a1+a2+a3－2.
　　点评 类似可证明命题：若0≤ai≤1（i=1，2，…，n），则a1a2…an≥a1+a2+…+an－（n－1）.
　　
　　[⇩]式子生动，模型精彩
　　 含有排列数、组合数的式子很容易让人联想到摸彩票、掷骰子之类的随机试验，这时构造一个概率模型的思路就显得自然而然，水到渠成.
　　例3 已知：k，m，n是正整数，且11时，盒子的数量越多（即N越大），每个球单独放在一个盒子里的可能性（即概率）越大.
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