【从“美学”角度解读高考数学试题】 从美学角度分析电影

　　重庆丰都中学408200 　　 　　摘要：本文以数学中体现的各种美为主线，不仅从美的角度解读各类高考试题，还从本质上探讨了高考数学试题的优美之处． 　　关键字：数学美；和谐美；统一美；简洁美；简约美；残缺美；极限美；奇异美；创新美
　　
　　1. 数学美概说
　　数学美是一种真实的美，是美的高级形式，是理论思维与审美意识交互的产物． 数学美的含义是丰富的，如数学概念的简单性、统一性，结构系统的协调性、对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性等． 数学美在中学课本里均有体现，例如在解析几何中，不同的圆锥曲线、椭圆、双曲线和抛物线可以用一个统一的定义，即平面上到定点和到定直线的距离的比为常数的动点的轨迹． 如此和谐统一，让人不得不赞叹数学的美妙！在数学教学中我们要充分挖掘教材中美的因素，让学生领略数学中的美丽风景． 数学的美学思维就是从美学的角度观察、思考和分析数学问题,从而达到解决问题的目的．
　　
　　2. 从“美学”角度解读高考题
　　2.1 用数学的和谐美、统一美探寻高考数学的解题思路
　　数学是和谐美的殿堂，数学是一个严密的科学体系，各部分知识间有机联系和高度完善，无论形式还是本质都是和谐的，所以我们说数学是和谐的殿堂． 由于数学的和谐性，形成了数学各部分知识的交汇点、网络点、联结点． 而高考数学正是从学科整体意义和这些知识的交汇点来设计试题的． 因此，高考数学考查的是考生的系统化的、相互联系的、和谐的数学知识． 那种一知半解，没理解数学本质，只知支离破碎的、零散的数学知识的考生在数学高考中是不能取得好的成绩的．
　　一个严谨的高考试题是一个有机的整体，其各个部分之间具有和谐性，但是这些和谐关系的外部表现形式可以是多种多样的，有的甚至是繁杂的，包括试题中条件与结论的和谐、数与形的和谐、数学思想与思维的和谐、解题方法与思维策略的和谐等． 另一方面，数学中的矛盾,如正与负、等与不等、数与形、有理数与无理数、常量与变量、逻辑思维与非逻辑思维等和谐共生，实现对立统一和相互转化．
　　例1（2006重庆）若a，b，c>0，且a（a+b+c）+bc=4-2，则2a+b+c的最小值为（）
　　A．－1B． +1
　　C． 2+2D． 2－2
　　解析我们发现条件式a（a+b+c）+bc和结论式2a+b+c都有不和谐的地方，这样我们就要消除不和谐因素，以达到和谐一致之目的. 式子2a+b+c变形为（a+b）+（a+c），从而找到了条件与结论的联系，即（a+b）（a+c）=a2+ac+ab+bc=a（a+b+c）+bc，结合均值不等式即得解题思路. 所以2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=2=2・=2－2.
　　2.2 用数学简洁美、简约美获取高考数学的解题佳径
　　简洁美是数学美的本质体现，无论是数学语言还是数学证明（解答），处处体现着数学的简洁美． 就数学语言的简洁性，我们从爱因斯坦的质能方程E=mc2就可见一斑，这一公式表达了深刻而复杂的理论，换用其他诗的语言、散文的语言、通俗的大白话都不能很好地或者很准确地表述． 又如欧拉公式eiπ+1=0． 这个公式把数学里既富有魅力又具备霸权的三个量（e是自然对数的底，i是虚数单位，而π是众所周知的圆周率）居然统一在如此简洁的一个明晰爽朗的式子里，这个公式让e，i，π，1，0五朵金花并立，更令其显得玉立娉婷！
　　例2已知椭圆方程为+y2=1，过D（0，2）的直线与椭圆交于不同的两点M，N，且M在D，N之间，设=λ，求λ的取值范围．
　　[x][y][D][M][N][O]
　　图1
　　解析本题作为解答题较难，若利用直线与圆锥曲线的位置关系进行求解，则有一定的计算量；若从数形结合的角度思考，则可得简捷的解答． 如图1直线MN是过点D的直线系，当直线MN与x轴垂直时，|DM|最小而|DN|最大，这时得到λ的最小值为，当直线MN与椭圆相切时，这时M，N重合，λ=1，又|DM|P2>P1B． P3>P2=P1
　　C． P3=P2>P1D． P3=P2=P1
　　
　　① ② ③
　　图2
　　解析 该题以民房的建筑形式为背景，把立体几何与住房建筑形式结合起来，情景新颖真实，是数学大众化、平民化和生活化的典范． 本题也常规思维是用立体几何二面角公式cosθ=来思考，可得P3=P2=P1=，选D． 本题可以用极限思想来思考，若θ无限接近0，则得P3=P2=P1． 这一方法打破常规思路，另辟蹊径，得到简捷解法．
　　2.4 用数学的奇异美、创新美破解高考数学压轴题
　　数学的奇异美是指数学中原有的习惯法则和统一格局被新的事物（思想、方法、理论）所突破． 它显示出客观世界的多样性，是数学思想的独创性和数学方法新颖性的具体体现． 它常常给人一种新颖、新奇的美感． 它往往打破常规思维，另辟蹊径、别出心裁，从意想不到的角度出发得到一些简捷的妙解． 压轴题多数要用奇异美、创新美思维解决问题． 这种题更多地要使用逆向思维、极限思维、由特殊到一般思维、猜想证明思维、数形结合等思维，或妙用公式定理破解高考难题．
　　例4（2005重庆）有一个塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图3所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（）
　　A． 4B． 5C． 6D． 7
　　
　　图3
　　解析本题考查空间想象能力，若直接把每个正方体的表面积算出，然后相加，运算量大，容易出错． 利用空间想象思维，所有正方体上底面在底面的射影恰为一个最大正方体的一个底面，现只须考虑各正方体的侧面积和最大正方体的底面积． 从下到上各个正方体的边长依次为a1=2，a2=，a3=1，a4=，a5=，…侧面积依次为b1=16，b2=8，b3=4，b4=2，b5=1，…所以各层塔形的表面积为侧面积之和加8. 这样可分别求出k层塔形的表面积分别为S1=24，S2=32，S3=36，S4=38，S5=39，所以该塔形中正方体的个数至少是6层，选C. 本题创造性地利用射影的相关知识，给人一种清新、新奇的感觉，它常能激发学生的好奇心和求知欲，它突破了常规思维，将有效地培养学生的创新意识和创新能力．
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 　　2.5 用数学的自然美、自由美思考解答高考数学题
　　人类是自然的一部分，自然美是美之最． 数学教育作为一种社会现象，也就有希望依傍自然，适应人的自然性，借助自然的伟大力量去得到美好的现实． 因而我们的数学教育如果依托自然之力，就会势如破竹，左右逢源，当前数学教育的许多问题将会一顺百顺，进而人的数学素养就会自然形成． 自由在于根据对自然界的必然性的认识来支配我们自己和外部自然界，因此它必然是历史发展的产物. 对高考数学解题规律掌握后，我们就获得了数学解题的自由，这时就给我们一种海阔凭鱼跃，天高任鸟飞的感觉． 对解高考数学题来说，我们也可从不同的角度来理解高考数学题，用不同的方法来分析高考数学题．
　　例5 （2004全国Ⅰ）从1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）
　　解析本题是排列组合和概率问题． 但它既不用分类计数与分步计数原理，又不用排列与组合的知识，而是回到最原始、最自然的直排方法，达到解决问题的目的． 按首位为1，2，3，4，5分类，如图4所示满足条件的三位数分别有3，4，5，4，3，共有19种． 所以所求概率为．
　　例6 （2007重庆）设b是1-a和1+a的等比中项，则a+3b的最大值为（）
　　A． 1B． 2C． 3D． 4
　　解析 本题的背景是等比数列，但本题可从多角度理解和分析其解题思路. 只要你用能想到的知识，就都有可能成功. 思考解答本题可使思维自由驰骋，思想得到大解放，掌握不同知识的人都有机会获得成功． 由题意得a2+3b2=1，本题可从三角知识出发思考；从构造一元二次方程，利用判别式思考；从平面向量知识思考；从不等式一章中练习题结论思考（柯西不等式）（a1b1+a2b2）2≤（a+a）（b+b）；从导数的知识思考． 选B.
　　2.6用数学的含蓄美、蒙胧美发现高考数学题的隐含条件
　　与文学艺术一样，数学也有含蓄美、蒙胧美，这是由数学的抽象性决定的. 数学概念、公式和定理都有其深刻的几何意义、数的意义、生活意义、物理意义等． 在高考数学中，我们要善于发现数学背后的深层含义，挖掘隐藏在概念、公式和定理中的本质．
　　例7（2006重庆）已知函数f（x）=（x2+bx+c）ex，其中b，c∈R为常数.
　　（1）若b2>4（c－1），讨论函数f（x）的单调性；（2）若b2≤4（c－1）且＝4，试证:－6≤b≤2.
　　解析（1）观察题目所给出的条件，发现条件形式与一元二次判别式相近，联想一元二次方程根的判别式，由导数与单调性的关系得解．
　　（2）由于所给出条件是极限形式，而导数定义就是极限给出的，经过联想和变形发现这一条件隐含着的是导数的知识． ==f ′（0）=4，即f ′（0）=b+c=4，结合b2≤4（c－1）得b2+4b－12≤0，解得－6≤b≤2． 在高考考试中，要十分重视一些题中的深层含义，挖掘隐含条件．
　　2.7用数学的严谨美、理性美完备高考数学解题过程
　　严谨是数学的一种独特之美，利用数学的严谨美、理性美，可以完善解题过程．
　　例8 （1994全国）已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），则cotθ的值为．
　　解析sinθ+cosθ=⇒1+2sinθcosθ=⇒sinθcosθ=－⇒=－，所以
　　=－⇒cotθ=－或cotθ=－． 本解答初看没什么问题，但仔细分析其答案是错误的，错误原因就是过程不严谨，没有挖掘题中隐含条件，合理取舍． 由sinθ+cosθ=，sinθcosθ=－知sinθ，cosθ是方程x2－x－=0的两根，解方程得x1=，x2=－，因为0[D][B][C][A]
　　图5
　　解析圆锥曲线是最优美的曲线，它们对称、统一、简明，给人无穷的想象空间． 因菱形既是轴对称图形也是中心对称图形，平行四边形是中心对称，而抛物线是轴对称，所以选项①④不可作，选项②③易作，在抛物线上任找两点A，B作线段AB的中垂线交抛物线于C，D两点，则∠DAC=∠DBC，所以⑤可作．
　　2.9用数学的秩序美、顺序美找寻解高考数学的有效方法
　　自然数的顺序性是数学秩序美的基础，因为数学中一切序的规律都可以同自然数的子集建立一一对应的关系． 自然数序列何其简单，但在简单中却蕴含着征服人心的力量和神韵，自然数的序关系使自然数具有可比性、无限性、后继性；奇数与偶数的交替变化赋予它鲜明的节奏；各种进制表示使它显示出风格各异的周期性．秩序美是众多数学方法的灵魂． 逻辑推理方法及公理推理方法，其本质就是顺序关系． 顺序性使递推法、迭代法、数学归纳法等数学方法在数学解题中显得优美、简洁而富有成效．
　　例10（2007四川）已知函数f（x）=x2－4，设曲线y=f（x）在点（xn，f（x））处的切线与x轴的交点为（xn，0）（n∈N*），其中x1为正实数.
　　（1）用xn表示xn+1；（2）求证：对一切正整数n，xn+1≤xn的充要条件是x1≥2；（3）若x1=4，求数列｛xn｝的通项公式.
　　解析本题是函数、导数、数列和不等式的综合题． 字数寥寥，题意叙述简洁明了，体现了数学简约之美． （1）容易得xn+1=+；（2）本问由于涉及顺序问题，结合（1）的结论，可用数学归纳法和基本不等式证；（3）这一问没有现成的公式或方法可用，只有对（1）这一递推式进行探究，摸着石头过河． 但我们可以一步一步由未知向已知转化．
　　xn+1=+==－2⇒xn+1+2=.
　　同理xn+1－2=，所以=
　　2，令an=⇒an+1=a，由（2）an>0，
　　lgan+1=2lgan⇒=2. 从而转化为等比数列的问题. 给人赏心悦目的感觉． 求比， 取对数都是不容易想到的方法，体现数学解题的奇异之美．
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