[数学教学的容量控制艺术] 控制计划和fmea的关系
一些教师在数学教学中存在一种倾向：在课堂教学中大容量灌输，布置学生作业时也采取大量训练的方式，弄得学生疲于应付，严重影响数学教学质量的提高和人才的成长．根据这一情况，就数学教学的容量问题，我作如下策略．
一、暴露思维过程，留思考余地
在教学中经常会碰到这样的事：有些习题课堂上讲过，或学生作业时做过，但是如果考试时出现相同或类似的题目，仍有学生出错，甚至束手无策．这说明我们的教学工作没有落到实处，教授的知识和技能没有真正被学生掌握．因此，在数学教学工作中必须根据学生的实际情况，把自己解决问题的思维过程暴露给学生，使他们不仅知其然，而且知其所以然，逐步提高分析问题、解决问题的能力．同时，还须注意让学生参与思维过程．因此，在教学过程中必须留给学生尽可能多的自由思考的余地，促使他们在独立的思维活动中去探索知识、解决问题，有效地提高应变能力．比如，求经过两条曲线x2+y2+3x-y=0…（1）和3x2+3y2+2x+y=0…（2）交点的直线的方程．
解：（1）×3 －（2）得7x-4y=0 …（3）这就是所求的直线方程．
这题的讲解过程十分简捷，但学生会感到难以理解，既不知道这样做的依据，更不知道这种方法的广泛用途，教学效果事倍功半．而如果顺应学生的思维规律，拟设两曲线的交点为P1（x1，y1）、P2（x2，y2），进而启发学生完成下一步，学生会很自然地想到由（1）（2）联立求得交点，再由两点式便可得到直线方程．这时教师可诘问学生：题中交点是否一定要求出来？你能不求交点而得到直线方程吗？这样将有力地调动学生思维的积极性，拓广思维空间．他们就会在“不求交点”处找到入口，即P1点坐标满足（1）和（2）的同时必满足（3），于是有7x1-4y1=0；同样，P2点坐标也会满足（3），即7x2-4y2=0成立．
这说明点P1、P2的坐标满足方程7x-4y=0…（3），又（3）是二元一次方程，此函数图像是一条直线，所以经过两条曲线交点的直线方程是7x-4y=0．
这种解题思路是解析几何中的重要解题技巧，常称之为“设而不求”．采用这种方法，可以避免许多冗长的计算，使一类问题得到迅速的解决．
这样的教学过程不片面追求教学容量，而十分重视双边活动，注重思维过程的暴露，注重学生自身的思维活动，让学生在自己的思考探索过程中掌握解题的技能、 技巧，易使教学收到事半功倍的效果．
二、精讲例题，以少胜多
有些教师往往存在多多益善，唯恐高考出漏子的心理，因而例题讲解时力求面面俱到，容量不断加码，结果学生囫囵吞枣、食而不化．兵法上有“兵不在多而在精”之语，这个道理很适用于我们数学教学实践．如例题分析时，教师要充分挖掘题目中潜在的知识因素和技能因素，引导学生积极开展思维活动，加强知识之间的相互沟通，提高综合运用知识的技能．例如：F为抛物线y=2Px的焦点，弦P1P2过F且与对称轴所成角为θ，求证：P1P2=．
分析：先让学生自己阐述思路，他们则习惯从最直观处入手，采用设点，运算过程较为复杂，在解答中可引导学生对这条思路进行修正．如利用抛物线的焦半径公式、利用极坐标等，使学生逐步寻找更合理的证法．在探索各种证法以后，教师如再追击一步，效果将明显扩大．
设问：（1）不改变命题条件，你会证明P1F+P2F= 吗？
（3）若将抛物线改为椭圆，结论又能成立吗？应作如何改变？结论又将变得如何？
这样进行例题讲解，题量不多，知识覆盖面广，思维训练充分，技能掌握也会比较扎实．
追求课堂“多而全”是我们青年教师的通病之一．一节课，仅仅四十五分钟，要想把什么问题都说透，怎能办到？在一个既定的时间之内，要想说明的问题越多，则每个问题分配的时间越少，这就势必造成了蜻蜓点水式的教学．如此面面俱到地讲课，学生怎能得其要领，抓住“精”之所在呢？窃以为，师者，传道授业、解惑之谓也，言不在多，点道则明．如此说来，变“多而全”为“少而精”之老调又重弹了．事实上，每堂课讲都有其“牵一发而动全身”的“焦点”、“中心”，教师的主导作用就在于把这些关乎课文主旨的“焦点”问题，“中心”问题揭示出来，然后让学生自己去揣度，自己去联想，自己去生发，从教师教的这一个“焦点”，一个“中心”去理会出其他相关的问题来．为此，在数学教学的过程中须有以下三个“招数”．
1. 以斑窥豹
大家都知道，单调的阿拉伯数字，以其特有的组合方式，就能构成无穷无尽的让人们终其一生都研究不完的数字，但变化再多，这里总要有一个不变的恒数作基础，这个不变的恒数就是“全豹”身上的一个“斑纹”；三十二颗棋子，在一张简单的棋盘上，就可以演出变幻莫测的、让象棋手殚精竭虑都揣摩不完的招数，但变化再多，这里面总有一个“走日、走田、直路、翻山”的规则作准绳，这个不变的规则就是“全豹”身上的一个“斑纹”．有经验的教师在讲课时总能悉心地从中找出“恒数”或“规则”，即从“全豹”身上找出一个典型的“斑纹”来，并让学生从这“一斑”上窥见豹子的全身那数不清的“斑斑点点”来．例如对于等积式“ad=bc”的证明，虽然形式复杂多变，但它们也有一般的规律可循．因此，我们在教学时，应当从举一反三的要求之下只点出“全豹”的“一斑”，如“ad=bc”证明的一般思路：
然后给出相应的题目，这样，就可以使学生的思维由浑浊走向有序，虽然教师只提供了“一斑”，但是，学生的解题思路却豁然开朗，没费多大周折便柳暗花明又一村．
2. 以少总多
十九世纪拉丁美洲的革命诗人何塞・马蒂说过“写作的艺术，不就是凝练的艺术吗？”推论一下数学教学，同样需要这种凝练的艺术．课堂教学最忌讳平庸拖沓，它要求强烈、紧凑、概括、集中，一句话，要求艺术那样的凝练，这种凝练的艺术，表现为用“少少许”胜“多多许”的艺术，“以少总多”，“以简驭繁”的艺术．
3. 以失求得
“聪明人接触各种知识，但他只从精通一种来认识世界”．这句丹麦谚语反映了一个“得”与“失”的辨证观点．为此，一句英国谚语说得也很真切：“不打破鸡蛋，就做不出荷包蛋”．做事情如此，我们授课也是这样．古人研究兵法时，提出“地有所不争，途有所不取，城有所不攻”的原则，教学的道理也与此相通．“少则得，多则惑”，教师授课，按照课程标准的要求，总要“失”掉一些次要的,非本质的东西，从而去芜存菁，由表及里，发掘并“得”到更为主要的，反映本质和规律的东西，这就是我们讲课艺术中的“重其所当重，轻其所当轻，取其所当取，弃其所当弃”，让知识由点到面，由线成片．从而使学生可以联类而及，闻一知十，触类旁通．“以失求得”确实是数学教学的一条有效门径．
总而言之，数学教学贵在引导，妙在开窍．这就需要我们在变“多而全”为“少而精”上下功夫，也就是力求做到教师教得“少”一点，引得“巧”一点，学生学得“精”一点，领悟“深”一点，进而使学生在思维活动上得到启迪，在知识上得到教益，在能力上得到提高．这当成为我们数学教学追求的一种新境界．
责任编辑 罗 峰
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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