交、并集思想在实际中的应用_分层思想在实际中的应用

　　交、并集是集合的运算。准确把握交、并集思想；恰当运用交、并集的运算方法是培养从日常生活中的问题抽取到用数学符号表示的抽象、归纳的思维能力，也是培养从感性到理性的认识能力。以下就交、并集思想在实际中的应用作些探讨。
　　准确理解交、并集的定义从而直接解题
　　例1 已知集合，，求，。
　　分析：利用数形结合的思想，将满足条件的集合在数轴上一一表示出来，从而求集合的交集与并集。
　　解 利用数轴工具，画出集合A、B的示意图（图1），即可以得到，。
　　例2 [06江苏高考]设A、B、C为三个集合，。则一定有：
　　（A）（B）（C）（D）
　　解 根据交、并集的定义与Venn图，选择A.
　　评 这种利用数轴或Venn图等数形结合的方式，既简单又直观，是解决这类问题的基本方法。
　　利用交、并集的性质确定参数的取值或取值范围
　　例3 设，函数，求使：1）A∩B=B的实数a的取值范围；2）使A∪B=B的实数a的值。
　　分析：交、并集性质：1）若A∩B=B，则；2）若A∪B=B，则。
　　解 1）由，得。∵A={0,-4}，故：①当时，，解得；②当B={0}或B={-4}时，解得，此时B={0}，满足；③当B={0,-4}时,，解得。
　　综上所述，实数a的取值范围是或 。
　　2）由A∪B=B，得。∵A={0,-4}，故B={0,-4}，
　　即，解得。
　　评 利用交、并集的性质，把交、并集的运算转化为集合与集合之间的子集关系的运算。
　　利用交、并集的思想解决实际生活中的问题
　　例4 高一（1）班学生期终考试成绩表明：1）36人数学成绩不低于80分；2）20人物理成绩不低于80分；3）15人的人数学、物理成绩不低于80分。问：有多少人这两科成绩至少有一科不低于80分？
　　分析 利用Venn图表示数学、物理不低于80分的人数的直观图，实质上是求的元素的个数，从而利用方程的思想解出题中的问题。
　　解 设数学、物理不低于80分的人数的集合分别是A、B，并用2个圆分别表示，如图2所示，则重叠的部分表示同时不低于80分的人数的集合。则A有36个元素，B有20个元素，有15个元素，由定义知，的元素有3部分：
　　1）属于A但不属于B的元素有（36-15）个；2）属于B但不属于A的元素有（20-15）个；3）属于A，B的公共元素有15个，故的有（36-15）+（20-15）+15=41个元素。
　　评 先转化为集合语言，再用Venn图的直观性是解决实际问题中交、并集有关知识的重要手段。
　　交、并集性质的拓宽应用
　　例5 某班共有学生50名，其中参加数学课外小组的学生有22名，参加物理课外小组的学生有18名，他们中同时参加数学、物理课外小组的学生有13人。问至少参加数学与物理两个课外小组中一个的学生有多少名？数学和物理两个课外小组都不参加的学生有多少名？
　　分析 用card(P)表示P中元素的个数，则有：①card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)；②card(CSA∩CSB)=card(S)-card(A)-card(B)+card(A∩B)；③card(A∪B∪C)=card(A)+ card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)。
　　解 设全集U={该班学生}，A={该班参加数学课外小组的学生}，B={该班参加物理课外小组的学生}。U，A，B集合中的元素个数分别为card(U),card(A), card(B),则有card(U)=50，card(A)=22，card(B)=18，card(A∩B)=13，至少参加数学与物理两个课外小组中一个的学生的人数card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=22+18-13=27。数学和物理两个课外小组都不参加的学生有：card(U)-card(A∪B)=50-27=23。
　　评 掌握交、并集中元素个数的性质对解决比较复杂的交、并集的问题起到快速、简洁的效果。
　　（作者单位：河北省滦南县职教中心）
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