在平面直角坐标系xoy中 “平面直角坐标系”（第一课时）教学案例

　　一、教学背景 　　本节课的教学内容是苏教版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级上册第四章第三节第一课时内容，它是在研究了数量的变化、位置的变化的基础上提出来的，学生对实际生活中某个位置与有序实数对之间的对应关系有了一个初步的认识．由于教材浓缩了思维过程，给学生理解造成了一定的困难.为此，笔者在认真研究学情的基础上，对教材进行了加工和创新.
　　二、 教学过程
　　1．创设情景
　　（电脑显示）小明不会求图1中皇冠的面积，就打电话给他的哥哥，可他怎么也说不清，心中非常着急．热心的同学们，帮帮小明，好吗？
　　（学生欲言又止，想说又不知从何说起．）
　　师：相信通过本节课的学习，同学们一定会帮上这个忙．
　　2．构建模型
　　（电脑显示） 图2是某时刻拍摄的某地区的俯视图，此时汽车A、B、C、D、E、F离站台O的距离分别为200米、100米、100米、200米、150米、100米；音乐喷泉G距南北路100米，距东西路150米.
　　师：若把汽车、音乐喷泉、站台看成点，这两条路可以看成什么？
　　生：（齐答）直线．
　　师：你能用实数表示点A、B、O、C、D吗？谈谈你的想法．
　　生1：因为我们知道数轴上每一个点都可用实数表示，而这些点又都在同一水平线上，因此，只需把水平线转化为数轴就可以了．
　　师：说得很好，请继续．
　　生1：由于A、B、C、D都是以点O为参照，到点O的距离都是100的倍数，故以点O为原点，100米为一个单位，规定以向东为正方向，该水平线就变成了水平数轴，点A、B、O、C、D可分别用-200、-100、0、100、200表示．
　　（运用几何画板演示音乐喷泉、汽车、站台演变为点，东西路、南北路演变为直线，水平直线演变为数轴等过程，如图3所示．）
　　师：说得太好了．回忆一下，数轴上点与实数之间存在着怎样的对应关系？
　　生：（齐答）一一对应．
　　师：能用水平数轴来描述点E、F 吗？为什么？
　　生2：不能，因为点E、F不在这个数轴上．
　　师：很好！如何描述点E、F呢？谈谈你的想法．
　　生3：点E、F不在水平线上，但在竖直线上，模仿上面的方法，把竖直线转化为以点O为原点，100米为1个单位长度，向北为正方向的数轴，点E、F可分别表示为+150，-100．
　　（运用几何画板演示竖直线演变为数轴的过程，如图4所示．）
　　师：活学活用，很不简单．
　　3．引入概念
　　（1）平面直角坐标系.
　　师：如何给这两条数轴命名，方能凸显它们特殊的位置？
　　生4：一个是水平的，一个是竖直的，可分别称为水平轴、竖直轴．
　　生5：一个是横向的，一个是纵向的，可分别称为横轴、纵轴．
　　师：有创意，我们通常称水平方向的数轴为横轴或x轴；竖直方向的数轴为纵轴或y轴．
　　师：这两条数轴有何特殊的位置关系？
　　生6：相交于点O，且互相垂直．
　　师：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系．由于它是由伟大的科学家笛卡儿创立的，因此又称为笛卡儿坐标系．其中，公共原点O称为坐标原点，横轴和纵轴统称为坐标轴．
　　（2）象限.
　　师：坐标轴将平面分成的四个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．如图5坐标轴上的点（如点A、B、O、C、D、E、F）不属于任何象限．
　　（3）点的坐标.
　　师：以y轴为参照，如何描述点G的位置？
　　生7：点G在y轴的左边．
　　师：能再具体一点吗？
　　生8：点G在y轴的左边100米处．
　　师：以x轴为参照，如何描述点G的位置？
　　生9：点G在x轴的上面150米处．
　　师：他们的描述能确定点G的位置吗？
　　（全班讨论，教师总结.）
　　师：要确定点G的位置，既要以y轴为参照，又要以x轴为参照；既要指明方向，又要知道距离．
　　（运用几何画板演示一条竖直虚线从y轴出发，向左移动100；一条水平虚线从x轴出发，向上移动150；两条线交于点G．）
　　师：我们把这种通过平移确定点的方法命名为“平移定点法”．
　　师：在实际生活中描述一个点的位置需要几个数据？举例说明．
　　生10：通常需要两个数据，如地球上的点由经度和纬度两个数据确定，我们的座位由列和行两个数据确定……
　　师：在直角坐标系中，能用两个数据描述点G的位置吗？如何描述？
　　生11：以向右为正，y轴左边100米可记为-100；以向上为正，x轴上方150米可记为+150．按先横（左、右）后竖（上、下）的书写顺序，点G的位置可用一对实数（-100，150）表示．
　　师：说得好！能指出（150，-100）所表示点的位置吗？是点G吗？
　　生12：（150， -100）所表示的点应在y轴的右边150米， x轴的下面100米处．该点在第四象限，不是点G．
　　师：可见，若规定了书写顺序，顺序不同的实数对所对应的点不同，我们把这样的实数对叫做有序实数对．探索中我们发现：在直角坐标系中，一对有序实数确定一个点的位置，一个点的位置可以用一对有序实数表示．把这样的有序实数对叫做点的坐标．其中横向（左、右）移动所对应的数叫横坐标，写在前面；纵向（上、下）移动所对应的数叫纵坐标，写在后面；它们之间用逗号隔开，并用括号把它们括起来.点的坐标通常与表示该点的大写字母写在一起，如G（-100，150）．
　　4．组织游戏
　　（电脑显示.）
　　①打击罪犯：你在监控中心监视屏（含有网格的平面直角坐标系）上发现有10名歹徒（在格点），请在1分钟内向伏击的警察准确通报这些人的位置（坐标），以便一网打尽．
　　[学生先写在纸上，1分钟后，同桌对调批改，教师用几何画板演示如何用竖直线（初始位置在y轴）、水平线（初始位置在x轴）给歹徒定位.根据移动的方向和距离显示坐标．统计全对的人数，给予表扬．]
　　②捉迷藏：有10个人隐藏在某个区域（平面直角坐标系），现有这些人的地址（坐标），你能在1分钟内把他们全部找出来吗？
　　[学生在网格纸上完成，1分钟后，同桌对调批改，教师用几何画板根据横坐标的符号和绝对值，将一竖直虚线（初始位置在y轴）横向（负左、正右、0不动）平移一段距离（横坐标的绝对值）；再根据纵坐标的符号和绝对值，将一水平虚线（初始位置在x轴）纵向（负下、正上、0不动）平移一段距离（纵坐标的绝对值）；两虚线的交点为对应点．统计全对的人数，给予表扬．]
　　师：从游戏中我们深刻体会到直角坐标系中的点与其坐标之间存在怎样的对应关系？
　　生：（齐答）一一对应．
　　师：横（纵）坐标由符号和绝对值组成．符号、绝对值有怎样的几何意义？
　　生13：符号表示方向，绝对值表示距离．
　　师：精妙绝伦！
　　5．小试牛刀
　　（电脑显示.）
　　（1）找出错误的语句，并加以纠正．
　　①原点的坐标为0；②直角坐标系中的点都在象限内；③（2，-1）与（-1，2）是同一个点；④直角坐标系中的点与有序实数对一一对应；⑤（0，2）在x轴上．
　　（2）在平面直角坐标系（图6）中，写出点A、B、C、D、E、F的坐标；描出坐标（-3，6）、（0，6）、（3，6）、（3，3）、（3，-3）、（-3，-3）、（-1，0）、（-3，3）所对应的点G、H、I、J、K、L、M、N．
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 　　（学生独立完成，电脑显示答案，同桌互批．）
　　6．探究规律
　　探究1：（电脑显示）观察图6中各点的坐标，思考下列问题．
　　①第一象限点的横、纵坐标符号有何特征？
　　②第二象限点的横、纵坐标符号有何特征？
　　③第三象限点的横、纵坐标符号有何特征？
　　④第四象限点的横、纵坐标符号有何特征？
　　⑤x轴上点的坐标有何特征？
　　⑥y轴上点的坐标有何特征？
　　（小组讨论后，由代表发言，相互补充，教师总结．）
　　师：设点A的坐标为（a，b）．若a＞0，b＞0,则点A在第一象限；若a＜0，b＞0,则点A在第二象限；若a＜0，b＜0,则点A在第三象限；若a＞0，b＜0,则点A在第四象限；若a=0，则点A在y轴上，若b=0，则点A在x轴上.
　　探究2：
　　师：说出图6中的点到x轴、y轴的距离.
　　（学生逐一回答.）
　　师：P（x，y） 到x轴、y轴的距离呢？
　　生14：P（x，y）到x轴的距离为y, 到y轴的距离为x.
　　师：赞同的举手.
　　（多数学生举手表示赞同，只有少数学生没有举手.）
　　师：有不同意见的举手？
　　（少数学生举手，其他学生开始进行反思，不一会儿，越来越多的学生举起了手.）
　　生15：x，y可以为负，但距离不能为负， P（x，y） 到x轴的距离应该是, 到y轴的距离应该是.
　　生16：我是这样理解的：x，y是由符号和绝对值组成，符号表示方向，绝对值表示距离，所以P（x，y） 到x轴、y轴的距离分别为｜x｜、｜y｜.
　　师：两位同学说得都很棒！
　　7．勇夺桂冠
　　师：你想成为今天的冠军吗？
　　生：（齐声）想.
　　（学生情绪激昂.）
　　师：（几何画板演示）小虫在含有网格的直角坐标系中跳动（5秒钟跳一次），依次说出它的位置、坐标、到y轴及x轴的距离．先同桌，再小组、最后全班，两人轮流说，来不及回答或出现错误就被淘汰，速度快且完全正确者获胜．
　　（先做热身训练，再正式比赛．比赛结束后，给冠军颁发荣誉证书．）
　　8．攻克难关
　　师：把图6中的点G、H、I、J、B、E、C、K、F、L、D、M、A、N、G顺次连接，欣赏一下你的杰作．
　　生：（惊呼）奖杯！
　　（教师用几何画板将以上各点顺次连接，并将其内部填上黄色，如图7所示．）
　　师：能向朋友描绘你的杰作吗？
　　生17：能，只需向朋友提供各点的坐标，让他根据坐标描点，并将点G、H、I、J、B、E、C、K、F、L、D、M、A、N、G顺次连接即可．
　　师：好主意，现在你们能帮小明吗？
　　（学生举手争着要回答．）
　　生18：能，只需在图1中添上一个直角坐标系，然后告诉他哥哥各点的坐标，让他哥哥根据坐标描点，并将点A、B、C、、D、E、F、G、A顺次连接即可．
　　师：很有创意，了不起！我替小明感谢你．
　　9．畅所欲言
　　本节课你学到了哪些知识？学会了哪些本领？掌握了哪些数学思想方法？还有哪些困惑？
　　（学生很踊跃，先组内交流，后代表发言，教师补充．）
　　10．结束语
　　师：同学们今天的表现非常出色，愿你们在人生这个坐标系中，以勤劳为横轴，以智慧为纵轴，用勤劳和智慧描绘出一个个光彩夺目的点，创造美好的人生．
　　11．作业
　　（1）必做题：P130．T1、T3、T4；
　　（2）选做题：在图1中建立一个适当的平面直角坐标系，写出点A、B、C、D、E、F、G的坐标；
　　（3）挑战题：在平面直角坐标系中，点O（0，0），点 A（3，-4），点B在坐标轴上，若△OAB是等腰三角形，求点B的坐标．
　　三、教学反思
　　1.教学环节环环紧扣，层层推进，前后呼应，相得益彰，符合学生的认知规律.在概念的引入上，力求由自然到必然，设置了“构建模型”、“引入概念”等环节，以数轴为“生长点”，经过几次演变，将实际图形自然转化为直角坐标系，然后自然引出有关概念；在知识的落实上，力求“寓教于乐”，设置了“组织游戏”、 “小试牛刀”、“勇夺桂冠”等环节，大大激发了学生的学习兴趣和潜能，使学生对知识理解得以提高和升华；在能力的培养上，设置了“探究规律”、“攻克难关”、“畅所欲言”等环节，培养了学生语言表达能力、探究能力和创造力．
　　2.在组织教学上，抓住学生的心理特点，营造和谐的教学氛围．通过语言激励，激发学生的学习热情；通过适时提问，让课堂成为师生交流的平台,成为学生自主探索、合作交流、展示才华的舞台．
　　3.在教学过程中，注重思想方法的渗透．数学思想方法是数学的灵魂，在“构建模型”过程中，渗透了建模思想、类比思想；在“引入概念”过程中，渗透了对应思想、坐标思想；在“组织游戏”过程中，渗透了数形结合的思想等．
　　4.创造性地使用 “平移定点法”，形象直观，易操作，对理解坐标与距离之间的关系有很大的帮助，从而化解了教学难点．
　　5.省略
　　编辑/张烨
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