[培养发散性思维――浅谈中学数学中的开放题]如何培养发散性思维

　　【摘 要】数学开放题已成为当前数学学习研究的热点，认真研究开放题，对转变观念，激发兴趣，加强数学思维能力的培养有十分积极的意义。本文从中学数学的开放题入手，介绍了数学开放题的概念、特点，并深入阐述了数学开放题的分类。通过了解这些，能使我们对于数学开放题有更全面的认识，从而为今后更好地学习数学打下良好的基础。
　　【关键词】中学数学 开放题 发散性思维
　　
　　开放题是数学学习中的一种新题型，它是相对于传统的封闭题而言的。开放题的核心是培养学生的逻辑思维、推理演绎和不断探索的能力，激发学生独立思考和创新的意识。
　　
　　一、数学开放题的概念及其特点
　　
　　“数学开放题”是相对于条件明确、结论唯一的封闭题而言的，是指那些答案不固定或者是条件不完备的，能引起学生发散性思维的一种数学习题。
　　数学开放题一般具有以下特点：
　　1.常常与实际问题相联系，解答时要求学生用数学语言将其数学化，也就是建立数学模型。
　　2.没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是在求解过程中，往往需要从多个角度进行思考和探索。
　　3.在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般，更有概括性的结论。
　　4.有些问题的答案是不确定的，但重要的不是答案本身的多样性，而是解答过程中主体认知结构的重建。
　　
　　二、数学开放题的分类
　　
　　（一）按数学命题中的未知要素分类
　　数学命题一般可以根据思维形式分成“假设―推理―判断”三部分。
　　1.未知要素是假设，则为条件开放题。
　　例1.命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。命题A的等价命题是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥。
　　分析：这是一道需要补全条件的条件开放题。根据题中给定的结论和要求，从不同角度去思考，最终补全条件，得出答案。
　　2.未知要素是推理，则为策略开放题。
　　例2.除了通分外，还可用什么方法比较47和511的大小？
　　分析：题目给出了条件，而怎样去推断结论的策略是未知的。
　　3.未知要素是判断，则为结论开放题。
　　例3.某数的平方可表示为四个连续的奇数的乘积，求所有具有这种性质的数。
　　分析：此题给出了一定的条件，满足条件的结论可以是多种，要仔细分析，全面思考，灵活运用数量运算的关系，才能得出答案。
　　4.有的问题只给出一定的情境，其条件、解题策略与结论都要求在情境中自行设定与寻找，这类题目可称为综合开放题。
　　例4.在一个50米长，30米宽的矩形荒地上，欲开辟出一部分作为花坛，要是花坛的面积为矩形面积的一半，请给出你的设计。
　　分析：题中要求矩形花坛，要根据条件自己寻求假设。因此，可以尽情发挥想象力和创造力进行设计，给出自己的创意。
　　（二）按问题答案的结构类型分类
　　1.有限可穷举型，即问题的答案可以一一列举。
　　例1.请设计三种不同的分法，将直角三角形分成4个小三角形，使得每个小三角形与原直角三角形都相似。
　　分析：此题的切入点较低，有多种解题策略，其答案有10种。
　　2.有限混沌型。问题的答案理论上可以肯定是有限的，但或者是限于现有的认识水平难以将其答案一一穷举，或者是人们觉得穷举这一工作不太有意义，其答案结构暂时是混沌的(例题略)。
　　3.无限离散型。对此型题的解答通常是将其答案作适当的分类，对每类答案列出典型的解法。
　　例2.甲乙两同学做“投球进筐游戏”，商定：每人玩5局，每局在指定线外将一个皮球投往筐中，一次未进可再投第二次，以此类推。但最多只能投6次，当投进后，该局结束，并记下投球次数；当6次都未投进时，该局也结束，并记为“*”，两人5局投球情况如下：
　　（1）为计算得分，双方约定记“*”的该局得0分，其他局得分的计算方法要满足两个条件：①投球次数越多得分越低。②得分为正数。请按约定的要求，用公式、表格、语言叙述等方式，选取一种写出一个将其他局的投球次数N换算成得分M的具体方案。（2）根据上述约定和你写出的方案，计算甲乙两人的每局得分，填入表格，并从平均分角度来判断谁投得好。
　　分析：此题的答案理论上是无限的，但有意义的答案并不是很多。这道题是让学生体会统计数据的相对性：甲乙二人的胜败不但依赖其实际表现，还依赖于评分的标准，不同的数据处理方式可以导致不同的评价结果。
　　4.无限连续型。问题的答案分布在一些实数区间内，或是一些可以连续变化的几何图形。描述这种变化的数学手法通常是引进参数表示。
　　例3.请先化简x�3-x�2x�2-x-1-x�2x+1，再选取一个使原式有意义的数代入求值。
　　分析：此为考查基础知识的开放题。考查知识点为：代数式的化简和代数式有意义的条件。在化简后，只要代入的数不为０，-１和１即可。
　　（三）按目标的操作模式分类
　　1.规律探索型。这是一类寻找规律的题型。在既定条件或关系下探讨多种结论。
　　例1.计算(1+13)(1+18)(1+115)…(1+199)
　　分析：观察题目，可看出，算式是一些1加上一个单位分数的乘积的形式，而且单位分数的分母分别是3，8，15…… 99，即：1×3=3，2×4=8，3×5=15，由此规律，可猜得下一个为4×6=24……9×11=99。
　　2.量化设计型。是将一般问题数值化为数学应用中常见问题的一类题型。
　　例2.同例3。
　　分析：此题既为综合开放题，也是量化设计题。是涉及图形设计以及有关量化计算的量化设计题。
　　3.分类讨论型。
　　例3.某校长暑假带领该校三好学生去北京旅游，甲旅行社说：若校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠。乙旅行社说：包括校长在内全部按全票的6折优惠。若全票为240元。①设学生数为ｘ，甲旅行社收费为ｙ��甲�，乙旅行社收费为ｙ��乙�，分别计算旅行社的收费。②当学生数为多少时，两家的收费一样多？③就学生数ｘ讨论哪家旅行社更优惠。
　　分析：分类是一种基本的数学方法。此题按甲乙两个旅行社进行分类，根据题意，讨论他们之间的关系，从而得到所求。
　　4.数学建模型。数学建模培养了学生的数学应用意识，而这正是数学学习的重要组成部分。
　　例4.某工厂有甲种原料360�，乙种原料290�。计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9�，乙种原料3�，可获利700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4�，乙种原料10�，可获利1200元。按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来。
　　分析：这道题集运筹、方案设计和数学建模于一身，方案不止一套，但应选最佳的。
　　
　　三、结束语
　　
　　总之，对数学开放题分类的讨论，有助于我们深刻理解开放题的概念，把握问题的开放度，同时，也有利于学生把握数学开放题是否适用于课堂教学，有利于学生改变开放题的设问方式，以帮助课堂学习。数学开放题体现数
　　学研究的思想方法，体现数学问题的形成过程。它为学生个别探索和准确认识自己提供了时间和空间。
　　
　　参考文献：
　　[1]张同君等.中学数学解题研究.长春:东北师范大学出版社.
　　[2]俞求是.中学数学教科书中的开放题.中学数学教学参考.
　　[3]曹沐斌.开放性数学题型及解法研究.中学数学教与学.
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