【灵活运用向量的“工具”性巧解题】怎样灵活运用词汇去解题

　　解题途径与方向，直接影响解题过程的繁与简、解题速度的快与慢。由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，其特殊的身份决定了其特殊的功能。灵活运用平面向量的“工具性”，可以使很多相关问题简单化，可以解决常规方法难以解决的问题，其方法独到、简捷、新颖、别致，开辟了广阔的思维空间，有利于我们寻找新的解题途径和创新思维的培养。因此在平时训练中，应在解题过程中注意思维调控，不断转化解题途径，使解题更加简捷。
　　一、以向量为载体求解函数、三角等相关问题
　　【例1】已知平面向量若存在实数k和t，便有x=a+(t2－3)b,y=－ka+tb，且x⊥y，试求函数的关系式k=f(t)。
　　分析：将向量a、b的坐标代入，利用x⊥y，即x・y=0的条件，便可寻求k和t之间的关系。
　　解：法一：由题意知x=(),y=（），
　　又x⊥y，故x・y=，整理得：，
　　即。
　　评注：两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的条件；二是直接利用向量垂直的条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）。
　　分析：（1）根据向量的基本运算进行化简，再借助辅助角公式将函数f(x)转化为正弦型函数y=Asin(ωx+φ) ，根据角的范围求出函数的值域。（2）将过程中出现的角2x进行合理配凑，得到角，根据两角和的正弦及已知角与特殊角的三角函数值，便可求出函数 的值。
　　评注：平面向量是求解三角函数综合问题的有效载体，在解决这类交汇问题时往往先根据向量的基本运算进行化简，最后就可转化成三角函数的问题，进行三角函数的求值、化简、证明。其解题的一般思路为：遇多元消元、遇差异联系、遇高次降次、遇特角求值等。
　　二、构造向量巧解题
　　由于向量可以将代数与几何有机联系起来，所以有一定几何背景的代数问题，可以考虑应用平面向量知识进行求解。
　　【例3】已知实数a、b、c、d，求函数的最小值。
　　分析：求解最值问题往往具有一定的几何意义，成立具有一定的条件约束，而向量既有“形”的一面又有“数”的一面，所以考虑构造向量，利用向量共线的条件和模的几何意义求解函数的最值。
　　解：构造向量，则原函数变为，
　　而
　　所以函数f(x)的最小值为。
　　评注：构造向量的形式要与函数求解问题的形式吻合，同时利用向量不等式 时注意等号成立的条件，即p与q同向时取到等号。
　　【例4】证明
　　分析：通过构造向量，利用向量的数量积的概念和余弦函数的取值范围，变等为不等，从而解决有关不等式的证明问题。
　　评注：平面向量的数量积中含有三角形式，而利用三角的有界性可建立不等式，为证明不等式问题提供了解题的依据，因此，有些不等式的证明问题可通过构造向量法求解，简单易行。
　　三、巧用向量解平面几何问题
　　把平面几何中的线段规定方向转化为向量，这样，有关线段的长度即转化为求向量的长度（模），射线的夹角即转化为向量的夹角，于是平面几何中的一些证明、计算就被向量的运算取代，这给许多问题带来了方便。向量融数形于一体的特征，既有代数的运算性质，又有几何的图形特征。因而向量成为中学数学知识的一个交汇点，为我们研究平面几何提供了一种新的思路。
　　评注：此题是重心的逆用，同时也告诉我们一个结论：点P为△ABC内一点，当AP2+BP2+CP2取最小值时，点P为三角形的重心。
　　另外，向量是既有大小，又有方向的量，物理中的很多量都是向量，如力、速度、加速度等。用向量解决物理问题的方法是把物理问题转化为数学问题，抽象成数学模型，对这个数学模型进行研究，进而解释相关物理现象。这里就不再举例赘述。
　　
　　（作者单位：江苏省东海高级中学）
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