方程思想_方程的思想是什么
解析几何的创立者笛卡尔有句名言：任何问题都可以转化为数学问题，任何数学问题都可以转化为代数问题，任何代数问题都可以转化为方程问题.此名言充分说明了方程在数学学习中的重要性.同学们在初中学习了方程与方程组，并用来解决许多现实生活中的问题.那么我们想一想，用方程或方程组来解决问题的本质是什么呢？其一，设未知量，将问题归结为求一个或者若干个未知量；其二，寻求未知量与已知量之间的等量关系，或者说，寻找变化过程中的某个不变量，用两种不同的方式来表示这个不变量；其三，建立与未知量个数相等的若干个方程.这些就是方程思想的本质内涵.这种极简单、极朴素的方程思想在后继学习中有着广泛的应用.
图1
例1 (2011吉林长春）如图1，在长为10 m,宽为8 m的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，如图1所示，求小矩形花圃的长和宽.
分析 由三个小矩形全等，可设小矩形的长为x m，宽为y m，列出方程组，解得小矩形花圃的长和宽分别为4 m, 2 m.
点评 此题考查用方程的思想解决实际应用问题.
例2 (2011甘肃天水)如图2，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6.将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，
图2
折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则CF的长为
（ ）
A 6B 4 C 2D 1
分析 由翻折变换中的不变性和矩形的性质可得在第三个图中△ABF∽△ECF，且AB=AD-BD=6-2=4，AD∥EC，BC=6，设CF=x，则BF=6-x，
根据相似三角形的对应边成比例ABEC=BFCF，解得x=2，即CF=2. 故选C.
点评 此题难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用.
例3 (2011 江西有删改)将抛物线c1：y=-3x2+3沿x轴翻折，得抛物线c2，如图3所示.现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.
图3
分析 由-3x2+3=0，得抛物线c1与x轴的两个交点坐标为（-1,0），（1,0）.
平移后交点坐标分别为A（-1-m，0），B（1-m，0）；D（-1+m，0），E（1+m，0）.
顶点坐标M（-m,3）,N（m,-3），
由于M，N关于原点O对称，可知四边形ANEM为平行四边形.
要使平行四边形ANEM为矩形，必须满足OM=OA,
即m2+(3)2=（-1-m）2，∴ m=1.
∴ 当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形.
点评 用平移单位m表示各点的坐标，利用平行四边形和矩形的判定方法构造关于m的等量关系，本题考查了方程思想的应用.
例4 (2011 上海)已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50.点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E.点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，sin∠EMP=1213.
图4
（1） 如图4，当点E在边AC上，且点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（2） 若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长.
分析 点E在边AC上运动实际是由点P在线段AB上运动带来的，点E的运动又带来点M、N的位置变化，所以BN的长度是以AP长度为自变量的函数，题中不变的条件有三角形相似即对应线段成比例.
解 （1） Rt△AEP～Rt△ABC，EPAP=BCAC，∴ EP=34x，sin∠EMP=1213，故ME=1316x.
∴ MP=516x＝PN，从而y=BN=AB-AP-PN=50-x-516x=50-2116x (0 （2） ① 当E在线段AC上时， EM=1316x=EN，AM=AP-MP=x-516x=1116x，
由题设△AME～△ENB，∴ AMEN=MENB1116x1316x=1316x50-2116x，解得x=22.
② 当E在线段BC上时，有sin∠EMP=1213，
设EM=y，则EP=1213y, ∴ MP=513y.
由题设△AME～△ENB得∠AEM=∠EBN.
∴ ∠AEC=∠EAB+∠EBN=∠EAB+∠AEM=∠EMP.
由Rt△ACE～Rt△EPM，故ACCE=EPPM，即40CE=1213x513x，∴ CE=503.…①
∵ AP=x，则PB=50-x，
由Rt△BEP～Rt△BAC得BEPB=BABC，即BE50-x=5030，∴ BE=53(50-x)，
∴ CE=BC-BE=30-53(50-x).…②
联立①②得503=30-53(50-x)，得x=42.
拓展训练 1张椅子排成一圈，现有n个人入座，满足如下坐法：当第n+1个人入座时，总与已入座的n个人中某一个相邻，则n的最小值为 .
分析 已入座的n个人中每两人之间可能有1个或2个空位，一个空位的越少，已入座的人数就越少，可设已入座的n个人中有x人的一侧有1个空位，y个人的一侧有2个空位，建立等量关系2x+3y=31，其方程整数解中满足n=x+y的n取最小值时x=2,y=9，所以n=11.