线性代数与解析几何答案 线性代数第2版答案解析
姓名： 学号： 院系： 级 班
大 连 理 工 大 学
课 程 名 称： 线性代数与解析几何A卷 考试形式： 闭卷 授课院 (系)： 数学科学学院 考试日期：2013年11月18日 试卷共 6 页
标准分 得 分
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
一、填空题（每小题4分，共40分）
装 订 线
⎡11⎤
⎡33⎤T ⎢⎥1. 设A =1−1, 则A A =⎢⎥ ⎢⎥311⎣⎦13⎢⎥⎣⎦
⎡214⎤
T T T 3029
2. 设a =[1, −1,2], b =[2,1,4], 则(ab ) =9⎢−2−1−4⎥
⎢⎥⎢⎣428⎥⎦
⎡1
⎢0
3. 设A =⎢
⎢0⎢⎣k
⎡3
k 1001⎤
0k 10
0⎤0⎥
⎥, 则A =1−k 4 k ⎥⎥1⎦
4. 设A =⎢⎥, AB =B +3E , 则B =−12⎣⎦
3
5. 设A 为三阶矩阵，将A 的第1行加到第2行得到B ，再对调B 的2,3行得到E ，则
⎡100⎤A =⎢−101⎥
⎢⎥⎢⎣010⎥⎦
6. 已知a 1, a 2, a 3为三元列向量，a 1, a 2, a 3=1，则a 1+a 2, −a 3, a 1+4a 2=∗−1
7. 设A 为三阶方阵，A =2，则A +2A =
32
8. 已知在空间直角坐标系下a =2i +j −k , b =2i +j −3k , 则a ⋅b = a ×b =−2i +4j .
⎡120⎤⎡−12−2⎤⎢⎥则A −1=⎢1−11⎥
9. 设A =111，
⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣001⎥⎦⎣001⎥⎦
8,
10. 点(1,2,−1) 到平面2x +2y −z =−5的距离为4二、单项选择题（每小题2分，共10分）
1. 设A 为n 阶方阵，则（ 2 ）不是对称矩阵
(1)A +A T (2)A −A T (3)AA T (4)A T A
2. 设A 和B 都是n 阶方阵，下列选项正确的是（ 4 ）
（1）若A =E , 则A =E 或A =−E . （2）若A =O , 则A =O . （3）(A +B ) =A +2AB +B . . （4）(A +E ) =A +2A +E . . 3. 设A 和B 都是n 阶方阵，下列选项正确的是（ 2 ） （1）A +B =A +B . （2）AB =BA .
2
2
2
2
2
22
（3）−A =−A . （4）
A B 22
=A −B
B A
∗
⎡O A ⎤
4. 设A 和B 都是n 阶矩阵，A =2, B =3, 则⎢⎥=(B O ⎣⎦
3)
⎡O 3B ∗⎤（1）⎢∗⎥ （2）
O ⎦⎣2A ⎡O 3A ∗⎤
⎢∗⎥
O ⎦⎣2B
⎡O 2B ∗⎤⎡O 2A ∗⎤
（3）⎢∗⎥ ⎥ （4）⎢∗
A O B O 33⎣⎦⎣⎦
5. 设A 和B 为矩阵，下列选项正确的是（ 1 ） （1）若A 和B 等价，且A 可逆，则B 也可逆. （2）(A +B ) （3）若AB 可逆，则A 和B 都可逆. （4）(AB ) 三、（8分）计算行列式
−1−1
=A −1+B −1.
=A −1B −1
+a b b b b
b a b b b b b a b b b b b a b b b
b =(a +3b )(a −b ) 2+(a +4b )(a −b ) 3=(a 2+3ab −b 2+a +3b )(a −b ) 2b a
四、（8分）设A 为n 阶可逆矩阵，α为n 元列向量，P =⎢T ∗
⎣−αA
⎡
E
0⎤，A ⎥⎦
⎡A
M =⎢T
⎣αα⎤，（1）计算并化简PM . （2）证明：M 可逆的充要条件是αT A −1α≠k . ⎥k ⎦
⎡A
解：（1）PM =⎢
⎣0
2
⎤
4分
A (k −αT A −1α) ⎥⎦
α
（2）PM =A (k −αT A −1α) ，P =A ≠0，
M 可逆⇔M =A (k −αT A −1α) ≠0⇔αT A −1α≠k . 4分 ⎡211⎤
−1∗⎢⎥五、（9分）设A =022，B =A B +A ，求B .
⎢⎥⎢⎣−202⎥⎦8−8⎤⎡−8
⎢⎥解：B =32−2416 ⎢⎥⎢⎣−1616−8⎥⎦
⎧x =5−t
x −2y z −1⎪
，直线L 2的方程为⎨y =2t ，六、（12分）已知直线L 1的方程为==
112⎪z =1+2t
⎩
（1）证明：L 1和L 2为异面直线. （2）求经过直线L 1并平行于直线L 2的平面的方程。 （1）证：P 1(2,0,1),P 2(5,0,1),s 1=[1,1,2], s 2=[−1,2,2]
T
T
300
12=−6≠0, ∴L 1和L 2为异面直线. 6分 ∵(PP 12, s 1, s 2) =1
−122
（2）2x +4y −3z =1 8分
七、（8分）设n >1，α为n 元列向量，αα=1, A =ααT ，证明：A 不可逆，A +E 可逆。
（1）证法1：因为A 的1,2行成比例，A =0, 所以A 不可逆 3分 方法2： 设β与α垂直，A β=0, 方程组Ax =0有非零解，所以A 不可逆 （2）A =(αα)(αα) =α(αα) α=αα=A , A −A =0，
2
T
T
T
T
T
T
2
(A +E )(A −2E ) =−2E , 所以A +E 可逆。 3分
八、（5分）设n 1, n 2, n 3分别为三个平面的法向量，n 1+n 2, n 2+n 3, n 3不共面，证明：
这三个平面相交于唯一点。
证：记A =[n 1, n 2, n 3], 这三个平面的系数矩阵的行列式的转置为A ，由
n 1+n 2, n 2+n 3, n 3不共面可知A ≠0, 所以这三个平面相交于唯一点。