公平的评卷系统_公务员考试评卷公平吗
摘 要：本文针对数学建模竞赛这一特殊考试的评判问题，进行了多个数学模型的建立。对评委优化分组问题，确定各组评委名额时，提出了应用新Q值法来解决。在解决评委分配问题时，建立了0―1整数规划模型，应用匈牙利算法求解。对于试卷的评判采取逐轮淘汰的评判方法，在一定的置信概率下制定了一个淘汰规则，使公平性和经济性在一定的置信概率下得到保证。
关键词：竞赛评判 分配 Q值法
1 评委题组的分配模型
1.1 各题组名额的分配
由于每个题组试卷份数不同，为了使分配公平合理，一个简单的分配方案就是按试卷份数比例分配［１－４］原则。具体操作如下：
1.2 评委题组的分配
1.2.1 基本假设
(1) 每个参赛队只能选一题；
(2) 每个评委只能评一个题组的题，不允许跨题组评卷。
1.2.2 模型的建立
模型 (1)是使总的概率指标之和最小；(2)是约束每个评委只能分配到一个题组；(3)是每个题组的人数限制；(4)为变量类型。此模型用匈牙利方法求解。
2 试卷的分配
2.1 问题分析
我们的任务是设计一种择优方案，满足两条原则：
P1 (公正性原则)最终的W份优胜试卷必须包含在“最好的”2W份试卷中。
P2(经济性原则)每一位评委评阅的试卷越少越好。
在每个评委没有阅读所有试卷的情形下，我们不能绝对保证公正性的实现，而只能在一定的置信概率下保证公正性原则的实现。设E=P（W份优胜试卷是最好的试卷），若置信概率L已给定，则我们建模的目标为：
在保证E≥L的条件下，每个评委评阅的试卷尽可能地少。
模型假设
A1. 每个评委独立进行评阅。
A2. 存在一个所有评委能够同意地绝对排序。排在最前面地2W份试卷称为“最好的试卷”。
A3. 评委均具有丰富的评阅经验，他们对同一份试卷地评阅具有较高的一致性。
2.2 模型建立
(1) 评分规则
等级制是一种较为粗略的打分制，具有一定的可比性，且标准比较容易为评委掌握，故我们采取等级制作为评分方法。分别记为一�二�三等。
(2) 误判概率与一致性指标
据假设A2，存在一个对所有试卷的绝对排序。因此当评分规则给定后，每份试卷存在一个能够得到所有评委同意的“绝对等级”。当一份试卷的评阅等级与其绝对等级不相符时，称为误判。现补充两个假设如下：
A4. 2W份最好的试卷是一等试卷；
A5. 对同一等级的试卷，其误判概率相同。
(3) 评选过程
整个评选过程分为两个阶段。
第一阶段：根据淘汰规则逐轮淘汰。
首先，将P份试卷按照前面的试卷分配结果分配给J个评委。每个评委评阅一组试卷，对每一份试卷给出一个等级。一轮评阅结束后，按照淘汰规则淘汰一部分试卷，然后将第i组试卷中保留下来的试卷传给第i+1个评委进行下一轮评阅(N0.J+1=N0.1)，如此重复进行直到第J轮评阅结束，此时尚未被淘汰的试卷被称为“保留试卷”。
第二阶段：选择优胜试卷。
经过第一阶段的评阅与筛选，每一份保留试卷均经过所有J个评委的评阅，将每一份保留试卷的J个等级分加权平均，得分最高的W份试卷即为优胜试卷。
2.3 模型的求解
(1) 淘汰规则CRR
一份试卷在评选过程中所处的状态可以用一个三维向量表示：
(i，j≥0，i+j≤r)
其中i，j，r-i-j分别表示该份试卷被评为一�二�三等的次数，r表示该份试卷已经过r(0≤r≤J)位评委评阅。
下面制定淘汰规则，其出发点仍是在保证E≥L的条件下使每个评委评阅的试卷尽量少。
以P=100，J=8，W=3为例，其余情形可类似讨论。设一份一等试卷经过8轮评阅后被保留下来的概率为q，则据A4，一份最好的试卷被保留下来的概率不会小于q，q的大小与淘汰规则有关。q越大，则公正性原则能够更好地实现，但工作量将变大。据A1及Bernoulli试验中成功次数的概率知，至少有W份最好的试卷被保留下来的概率
从而公正性原则在置信概率为0.995的意义下得到了实现。
根据上面推导出的6种保留状态，得到了以下淘汰规则
R{：“k=2”或“j=4”或“j=3，k=1”}
如果∈R，则淘汰该份试卷。
由淘汰规则及(12)�(7)两式，我们得到E≥0.9987，
即大约有9份试卷得到保留，其中每一份均由所有8个评委评阅过，得到8个等级分，令y 表示评委i给试卷j的评分，n表示保留试卷数目：
综合得分最高的W份试卷是最好的试卷，取为优胜试卷。
参考文献：
［1］刘来福，曾文艺.数学模型与数学建模.北京师范大学出版社，1997.
［2］施政，杨辉，曹翰.会议分组的优化.数学的实践与认识，1998.27，(4)：335-347.
［3］M. A. Ball. Mathematics in the Social and Life Sciences. Ellis Horwood Limited，1995.
［4］张建勋.席位分配问题的数学模型.数学的实践与认识，2002.32，(4)：54l-548.
［5］岳林.关于Q值法的一种新定义.系统工程，1995.13，(4)：70-72.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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