数的整除思维导图 数的整除

　　在中学数学竞赛中，由于整数问题解法灵活多变，需要独特的技巧，所以关于整数问题经常出现，这对于培养、提高解题能力非常有益。 　　 　　一、整除、约数和倍数的意义
　　
　　定义：设有两个整数a，b(b≠0)，若有另一个整数q，使得a=bq，则称a被b整除（或b能整除a），记作b｜a。
　　例如：4|28，3|36。
　　定义：如果b｜a，那么a叫做b的倍数，b叫做a的约数。
　　例如：7|21，故21是7的倍数，7是21的约数。
　　说明：正整数a的约数的个数是有限的；
　　正整数a的倍数的个数是无限的。
　　如果整数a不能被自然数b整除，记作b×a，这时，a不是b的倍数，b不是a的约数。
　　
　　二、整除的性质
　　
　　根据整除的定义，容易得到以下一些性质：
　　（1）a｜b，b｜c?圯a｜c（传递性）
　　（2）a｜b，a｜c?圯a｜(b±c)
　　
　　（5）a｜b且b｜a?圯a=b或a=-b
　　（6）n个连续整数中，必有一个能被n整除
　　如：11、12、13中有3|12，41、42、43、44中有4|44，77、78、79、80、81中有5|80。
　　
　　三、数的整除特征
　　
　　如果具有某个条件的数都能被正整数d整除，反之，能被d整除的数都具有这个条件，那么这个条件就叫做能被d整除的数的特征。
　　（1）能被2整除的数：个位数字是偶数
　　（2）能被5整除的数：个位数字是0或5
　　（3）能被4整除的数：末两位数能被4整除
　　能被25整除的数：末两位数能被25整除
　　（4）能被8整除的数：末三位数能被8整除
　　能被125整除的数：末三位数能被125整除
　　（5）能被3整除的数：各位数字之和能被3整除
　　能被9整除的数：各位数学之和能被9整除
　　（6）能被11整除的数：奇位数字的和与偶位数字的和之差能被11整除
　　（7）能被7或11或13整除的数：这个数的末三位数与末三位以前的数学所组成的数之差能被7或11或13整除。
　　想一想：能被6整除的数会怎样？
　　能被12整除的数会怎样？
　　判断1005928能否被7、11整除。
　　为了表达方便，我们经常在用字母表示的多位数上面加一条横线，以避免和乘法混淆，例如 就表示一个五位数。
　　
　　因为连续两个数之积必为2的倍数，连续三个整数之积必为3的倍数，所以6|n(n+1)(n+2)，
　　
　　显然，通过上式知，当n-1=4时，即n=5时，6 -1是25的倍数，并且是满足条件的最小的正整数n。
　　例7：一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b，如果a恰好是b的3倍，我们称a是一个“希望数”。
　　（1）举例说明：“希望数”一定存在。
　　（2）请你证明：如果a、b都是“希望数”，则ab一定是729的倍数。
　　解：（1）由于428571=3×142857，所以428571是一个“希望数”。
　　（2）设a、b都是“希望数”，由“希望数”定义可知：
　　a=3b，其中a的数学和等于b的数字和，可知q|b，进而27|3b，于是27|a，即a是27的倍数。
　　同理b也是27的倍数。
　　
　　∴k一定是3的倍数，
　　设k=3k，
　　
　　“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文