【如何判断函数的单调性】判断单调性的5种方法
河北秦皇岛山海关一中066200 摘要：函数的单调性是函数的一条重要性质，因此是历年高考的重要内容，而且所占分值有逐年增大的趋势. 为此，本文概括、总结了用定义法、探索法、图象法、复合法、求导法等八种方法判断函数的单调性. 同时对每种方法的特点及适用范围、注意事项以举例的方式作了具体的介绍，这样有助于学生更好地理解和掌握这些方法，从而解决有关函数单调性的问题.
关键词：高中数学；函数；单调性；判断方法
函数的单调性是函数的一条重要性质，反映了函数值的变化规律. 在高考中历考弥新，考查的深度远远高于课本，所占分值也有逐年增大的趋势.
在讨论函数单调性时必须在其定义域内进行，因此要研究函数的单调性就必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集. 接下来就如何判断函数的单调性归纳为以下几种方法.
[⇩]定义法
用函数单调性的定义来判断函数的单调性，它是判断函数单调性的最基本、最常用的方法. 对于较复杂的函数，一般要在函数的定义域内任设x10，即f（x1）>（x2）.
所以函数y=－x3+1在（－∞，＋∞）上为减函数.
错因在证明中，化简不到位是应用定义判断函数单调性常出现的问题，本题直接利用函数y=x3在（－∞，＋∞）上的单调性则失去了原题考查的意义了.
证明任设x1，x2∈（－∞，＋∞）且x10. 又x1+
x22+x>0，
所以f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f （x2）.
所以函数y=－x3+1在（－∞，＋∞）上为减函数.
[⇩]探求法确定函数单调性
探求法确定函数单调区间是指通过定义法判断单调性过程中无法直接确定所求因式的符号，必须分区间研究而又无法判断区间端点的情况下，利用解不等式的方式求得单调区间，从而作为推理证明的一种补充手段，它对于学生而言比较容易接受，而且不改变思维的延续性与整体性.
例2已知函数f（x）=x3－3x，x∈R.
（1）判断函数的单调性并证明；
（2）求f（x）在［－2，2］上的最大值，并指出何时取得最大值.
解析（1）设x10时，af（x）为增（减）函数；当a 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 故原函数在（－∞，－1），（0，1）上是增函数，在［－1，0］，［1，+ ∞）上是减函数.
在复合函数y=f（g（x））中，y=f（u）的自变量取值是u=g（x）的函数值，因此考虑单调性，不仅要注意u=g（x）的单调性，还要注意x在某区间内取值时，u值是否在y=f（u）的单调区间内.
[⇩]利用函数求导
一般地，对于高次函数（一般为三次），设函数y=f（x）在某区间内可导，如果f ′（x）＞0，则f（x）为增函数；如果f ′（x）＜0，则f（x）为减函数.
例4（2005北京）已知函数f（x）=－x3+3x2+9x+a.
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）在区间［－2，2］上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
解析（1）f ′（x）=－3x2+6x+9，令f ′（x）＜0，解得x＜－1或x＞3. 所以函数f（x）的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）.
（2）因为f（－2）=8+12－18+a=2+a， f（2）=－8+12+18+a=22+a，所以f（2）＞f（－2）.
因为f（x）在（－1，3）上f ′（x）＞0，所以f（x）在［－1，2］上单调递增.
又因为f（x）在［－2，－1］上单调递减，所以f（2）与f（－1）分别是f（x）在区间［－2，2］上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=－2.
故f（x）=－x3+3x2+9x－2.
所以f（－1）=1+3－9－2=－7，
即函数f（x）在区间［－2，2］上的最小值为－7.
评注本题是考查三次函数的单调性及最值，运用导数解决单调减区间，只需解不等式f ′（x）＜0即可，而求最小值应先求a.
同类题
1. （2005广东）函数f（x）=x3－3x2+1是减函数的区间为（）
A. （2，＋∞） B. （－∞，2）
C. （－∞，0） D. （0，2）
2 . （2005江苏）曲线y=x3+x+1在点（1，3）处的切线方程是 .
3. （2005山东）已知x=1是函数f（x）=mx3－3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0.
（1）求m与n的关系表达式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）当x∈［-1，1］时，若函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.
答案：1. D 2. 4x－y－1=0
3. （1）n=3m＋6 （2）当m＜0时，f（x）在－∞，1+
单调递减，在1+
，1单调递增，在（1，＋∞）单调递减（3）－＜m＜0
掌握了如何判断函数单调性的方法之后，比较函数值的大小，求函数的值域、最大值、最小值，研究函数图象，判断反函数单调性，解函数不等式，解函数方程，求参数取值范围，求解恒成立等问题都能得以解决.
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