整式的认识 [素质教育观下的整式教学认识]

　　本文将探讨如何以数学新课标教材内容为线索，以数学知识为明线，以学生通过教与学的活动，从中获得数学经验，掌握数学方法为暗线，使学生能在获取知识与素质发展上达到双丰收，从而获得初中数学教与学的高效益．
　　
　　1 从算术到代数的跨越
　　
　　关于“整式”这一单元的具体内容，不同的课标新教材，在安排方式上不尽相同（内容分散或集中，前后位置安排等）．但作为本单元的主要内容之间的关系还是相同的，大致如下所示：
　　
　　“数学课程标准”［1］对本单元的要求是：理解字母表示数的意义，能用代数式表示简单的数量关系，会求代数式的值．了解整式的概念，会进行简单的整式加、减、乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式相乘），会推导乘法公式．
　　整式及其运算是本单元的主体内容，理解字母表示数的意义，是本单元最早遇到的问题．用字母表示数，使得数学具有更简洁的语言，能更普遍、更清晰地反映出数量之间的关系．用字母表示未知数，能使看不见摸不着的未知数变得具体，探讨问题就有了着手的地方．一百多年前，清代数学家李善兰译出“Algebra”为代数学．这是西方近代代数学的第一个中文翻译本．李善兰认为这门学科的特点是：“以字代数，或不定数，或未知已定数……恒用之已知数或因太繁，亦以字代．”［2］这就是说，代数学从一开始就是以“字母代数”为基础的．有了字母代数，代数式才能从算术式中脱颖而出；有了字母代数，作为“数学模型”的方程式，才有机会“闪亮登场”，为大众所接受；有了字母代数，这才在真正意义下，完成了从算术到代数的跨越．
　　那么，对于算术与代数的认识，过去常以小学阶段所学的数学称为算术，进入中学所学的称为代数．也有人以引进负数作为标志来区分算术与代数．其实，我们可以站得更高一点来看，即从思维形式上看，“算术主要是由程序思维来刻画的，算术程序思维的核心是获取一个正确的答案，以及获取这个正确答案与验证这个答案是否正确的方法；而代数思维的核心则是由关系思维来描述的，代数关系思维的目的是发现一般化的关系，明确结构，并把它们联结起来．”［3］当学生升入中学，就数学学科而言，学生思维方式应从“算术思维”进入“代数思维”，而实现这一跨越的，从某种意义上来说，很大程度上应该归功于“字母代数”的作用．
　　让学生在实际情景中理解字母表示数的意义，首先需要让学生了解字母代数的优越性，并通过实际应用，在应用中弄清字母代数时应注意的地方．当字母代数在反复应用中被学生接受，接下来的就应该是代数式了，作为“一般性的算式”，它就是字母代数的一种表现形式．而求代数式的值，更能体现字母代数，表明这时的字母表示的就是一个具体的数，用这个数来代替式中的字母，通过运算得到代数式的值．
　　注意到字母代数不仅能代表具体的作为“个体”的数，还能代表一般的作为“整体”的式．特别是后一种代表，它极大地拓展了字母代数的空间．例如，在解决问题的过程中，有时会采用一种被称为“整体代入”的方法．教师在向学生介绍用“整体代入”的方法解题时，常常夸大了它的作用和技巧．其实不过就是用字母代表式子的一种拓展而已．
　　看看下面的例子：
　　
　　以上两例都是求代数式的值，只不过没有按通常的方法，将字母的值代入，然后化简求值．而是根据实际情况，采用“整体代入”或巧妙地将已知代数式变形后的值，再整体代入，从而获得所求代数式的值．教师有目的地介绍或与学生共同探讨，通过不同形式的代换求值的范例，提高学生学习兴趣，真正达到“会求代数式的值”的目的．
　　
　　2 记住“回到定义中去”的提示
　　
　　我们在关注学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程，注重培养学生能力时，往往容易忽加重对学生基础知识和基本技能的要求．著名数学教育家G・波利亚，写过一本关于解题方法的书［4］，这本书的第三部分是“探索法小词典”，其中谈到“定义”时说：“你是否已经考虑了问题中所包含的所有基本概念？你是怎样利用这个概念的？你是否利用过它的意义，它的定义？你是否利用了它的基本事实，有关它的已知定理？”G・波利亚在书中，举了一个关于“对称”的例子，并提出要解决这个问题，“我们必须回到对称的定义中去”，弄清对称的意义，再考虑如何利用对称这个概念．也就是说，在解决问题时，或在解决问题遇到困难时，请记住“回到定义中去”的提示．
　　在整式这个单元里，有很多重要的概念．例如，代数式、代数式的值；单项式、多项式，以及系数、次数；整式、同类项、合并同类项等等．要掌握整式及其运算的知识，首先要弄清定义所揭示这些概念的内涵，掌握定义所反映的对象所共有的本质属性，才能在解决问题的过程中，充分发挥熟悉这些概念的优势．其实，我们在教学中，每当遇到新的概念时，总是提醒学生要弄清概念，明确这个新概念和与它相关的概念的区别和联系．事实上，过去通常要求数学教师，要讲清概念，学生要掌握概念，特别是那些重要的基本概念．在提倡情景创设，合作互动，情感交流，以及加强学生能力培养的今天，是否发生有忽略概念教学的倾向？还是有必要重提一下这个问题，重提“回到定义中去”的口号，既是为了在解决实际问题中，作为一种被G・波利亚称为的解题方法加以应用，同时也是为了在数学教学中，作为要重视数学概念教学的提醒．
　　下面，我们将通过两个例子，来表明“回到定义中去”的提示有多么的重要．
　　
　　这个表实际上就是使用最早，最著名的二项式（a+b)的n次方展开式的系数表（按a的降幂排列）．
　　在不同的初中数学课本（课标本或非课标本）里，这个表通常都是作为阅读材料，附在多项式乘法内容之后，作为“数学文化”的一种形式，提供给学生自学之用．“数学课程标准”中明确指出：“教材中要注重体现数学的文化价值，在对数学内容的学习过程中，教材可以在适当的地方插入一些有关数学发现与数学史的知识，丰富学生对数学发展的整体认识，对后续学习起到一定的激励作用．”事实上，好的阅读材料能发挥重要的教育作用，能使学生对数学的发生和发展过程有所了解，能激发学生学习数学的兴趣．如“负数的发现”、“杨辉三角”、“无理数的发现”等，让学生了解我国数学文化传统，认识世界数学发展历史等，其教育作用是别的内容所无法取代的．
　　但是，对阅读材料的处理方式，据我们了解，有“不理不睬的”，因阅读材料对付“应试”的确没多大用处，不过是白白浪费时间而已；有“过分渲染的”，有意或无意地扩大介绍范围，有意或无意地夸大历史人物或史事的作用．脱离与所学的数学知识基础，往往会适得其反．最好的处理方式，应该是建议学生认真阅读，注意和所学数学知识的联系，适当组织讨论自由发表意见，教师也可介绍相关的背景材料或相关联的书籍（或网站），满足学有余力的学生好奇之心．
　　另外，关于数学课程中的数学文化，通常认为就是那些介绍中外数学史料，或中外数学家简史，以及一些有趣的数学轶闻趣事．但有学者认为［5］，数学文化的呈现并不局限于这些史料的介绍上，“数学的文化性要求我们必须教学具有开放的、多元的、动态联系的数学．”因此，“必须拓宽对数学课程中有关数学文化的理解，认识数学文化中所具有的丰富联系……主要指与学生学习数学过程中所处的文化背景的联系，以及与学生的‘数学现实’（学生所接触的数学规律、概念以及相关的数学知识结构）的联系；还指与学生学习的其他学科的联系，其中又始终贯穿着数学与思维领域的丰富联系．”总之，在更广泛意义下理解数学文化，当我们在数学课程中更加重视数学文化，重视数学文化对学生的熏陶与感染，将有利于学生通过数学课的学习，不仅仅学到一些孤立的数学知识（一些公式、法则，以及一些计算方法），重要的是使学生在思维能力、情感态度与价值观等多方面，得到和谐发展．
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　　4 尝试“分离系数法”
　　
　　华东师大版新课标教材［6］七年级（上）第三章整式的加减，安排有一个阅读材料“用分离系数法进行加减运算”．它给我们提供了一个很有意思的算法，即对整式的四则运算，改变为对整式中各项的系数进行运算．事实上，我们知道整式的加、减就是在做“并项”．而并项的方法，是把同类项的系数相加减，作为并项后的系数，字母与字母的指数保持不变．
　　例如
　　
　　上例中参加运算的整式，先按同一字母降幂排列后，将系数从各项中分离出来，按原顺序以竖式对齐，凡缺项可留出空位或添零，计算出结果后，再把字母和相应的指数补充上去．这种简化计算的方法，我们称为分离系数法．
　　
　　注意到算式中最下面的一行，前两个数是商式的系数，末尾一个数是余数．这种除式为x-a时的整式除法的简化计算，通常称为综合除法．计算过程为：（1） 在第一行写被除式的系数3，-7，10；（2） 把除式的常数项-2改变符号后，写在左侧；（3） 移下被除式的首项系数3，然后用3×2=6作为下一步的加数，写在被除式第二项系数-7的下面，-7+6=-1是商式中的常数项，末尾的一个数8是余数．
　　这里我们并不想详细地叙述综合除法，而只是在分析整式乘、除法的简化运算方法时，通过介绍分离系数法，而引起对另外一种数学中的重要方法（综合除法）产生兴趣．我们需要通过分离系数法得到一条重要的启示：即只要对事物细心观察，抓住实质进行探索，或许就会有所新的发现．数学课堂教学应该重视学生观察、猜想，以及发现和创新思维能力的培养，而教师应该注意将它落实到数学教学内容，以及这些内容的拓展上．
　　
　　参考文献
　　1 中华人民共和国教育部．全日制义务教育数学课程标准（实验稿）．北京师范大学出版社，2001
　　2 李俨，杜石然．中国古代数学简史．中华书局出版，1964
　　3 徐文彬，杨玉东．“本原性问题”及其在数学课堂教学中的应用．数学教育学报，2005［14(3)］
　　4 G・波利亚（美）．怎样解题．阎有苏译．科学出版社，1982
　　5 傅赢芳，张维中．对数学课程中有关数学文化的思考．数学教学学报，2005［14(3)］
　　6 王建磐．义务教育课程标准实验教科书七年级（ 上）．华东师范大学出版社，2002
　　7 陈重穆，宋乃庆．新编初中代数第一册．西南师范大学出版社，1987
　　
　　“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
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