灵感【也谈数学解题中的“灵感”与引爆策略】

　　学习数学离不开解题，数学思维能力的培养主要是通过数学解题教学来完成的．故在数学解题教学过程中如何诱发学生的“灵感”，在数学教学或学习活动中有十分重要的意义．� 　　
　　1数学解题过程中的“灵感”�
　　
　　1．1数学“灵感”�
　　从心理学角度来说，数学解题中的“灵感”属于非逻辑思维范畴，是数学学习及研究到达一定程度时的“思维跃进”，是人们在从事数学活动中对所要解决或研究的对象进入沉思状态后突然产生的一种解决疑难问题的能力，显示出超乎寻常的个性的心理特征，是一种思维“火花”的突现．其具有“稍纵即逝”的特征．故而“灵感”闪现，具有理解能力的特征，但又不等于理解能力，它是一般能力的有机结合；又不等同于数学的特殊能力，而是获得特殊能力的一个重要条件．特别是在进行某些创造性认识活动中，数学“灵感”的闪现尤为重要．但需注意，“灵感”常呈现为非智力性具有“不完备性”和“新、奇”等特征．�
　　1．2数学解题思维活动中“灵感”的二重性�
　　当我们在解决某个数学问题时，浓厚的兴趣、高度的注意使得大脑皮层常呈现高度紧张状态，思维“因子”异常活跃，这种“超常性”活动打破的思维模式，使得思维和认识活动呈现跃进式推理．“可能含有这样的情况：一个学生想出一个异常好的念头，于是跳过所有的预备步骤，解答就脱颖而出了”见波利亚《怎样解题》，然后他又说：“如此幸运的念头当然是求之不得的．但是也可能发生很不如愿和很不走运的事：即学生通过解题过程中的四个阶段中任何一个阶段时都没有想出好的念头”．波利亚在这里所说的“念头”其实质就是“灵感和顿悟”．故而“灵感”具有超常性特征，同时也说明了“灵感”不是任何人在任何情景下就一定能有幸碰到的．�
　　“灵感”的产生必须具有一定的条件，首先人们自己对问题的关注及理解程度是能否产生“灵感”的先决条件，其次还与人们的思维敏锐性等有关．“笨头呆脑地干等某个念头的降临，而不去做任何事情去加速其到来是最糟糕的”．当然“灵感”并不都是有益的，“也许有些看起来并不错的念头会把你引入歧途”，因此应注意“灵感”的误导性．�
　　
　　2引爆“灵感”的策略�
　　
　　波利亚说“灵感”会给“你指出整个或部分解题途径，它或多或少地向你建议该怎么做”．鉴于“灵感”在数学解题过程的地位和重要作用，那么如何来诱导和引发“比较自然的帮助，促使他自己想出一个好的念头”呢？�
　　2．1变换问题，促使“灵感”产生�
　　例若实数x,y满足y=2x-1，试求y+1x的最大值．�
　　分析：本题的情景较陌生，是一个给定条件的二元函数求最值问题．如果直接把y=2x-1代入待求式中化成一元函数求最值，由于其结构较复杂，不易直接求解．现不妨变换问题背景：依据待求式y+1x的结构特征，把其看成动点(x,y)到定点（0，-1）连线的斜率．利用这一“念头”，于是所求问题便可以转化为“求曲线C:y=�2x-1�上的点P（x,y)与定点Q（0，-1）连线斜率的最大值”这样一个几何问题，把思维重心转移到探求直线PQ与半抛物线C的位置关系上来．进而就可以利用数形结合很容易地探求出所求的最大值为5+12．�
　　注：在数学解题过程中，当思维出现障碍，解题思路中断时，其主要原因是从习惯性的单一角度思考，往往限制了思维的开拓，阻碍了思维“灵感”的产生．因此转化问题背景，熟悉化，一般问题特殊化，复杂问题简单化，抽象问题具体化等等手段．�
　　2．2数学美是激发“灵感”的诱因�
　　依据问题条件或结论的特殊结构，以“美”启真，以“美”诱发灵感�
　　例设a＞b＞c＞0，求证：a��2a�b��2b�c��2c�＞a��b+c�b��a+c�c��a+b�．�
　　分析：此题直接证明难以入手，解题思维活动因而受阻．但通过观察待证式的结构特征，发现并利用其题设中所含字母所具有的“对称性”的不等式．于是便可收到出奇制胜的效果：因为 a＞b＞0，所以 ab＞1，a-b＞0，从而得 (ab)��a-b�＞1，即 a�ab�b＞a�bb�a．同理可证 a�ac�c＞a�cc�a, b�bc�c＞b�cc�b．现只需把三个式子按不等式的相同方向相乘即可得到结论．�
　　注：这道题看起来是一道比较复杂的问题，然就是在数学美的启迪下，诱发“灵感”，即依据待证式中字母的对称关系，把不等式分解为三个简单的结构.在证明时体现了奇异美和简洁美，不仅使人赏心悦目，而且还从中获得优美的启迪.�
　　2．3“联想和迁移”是产生“灵感”的翅膀�
　　例设x,y,z满足x+y+z=5,xy+yz+xz=3的实数，试求z的最大值．�
　　分析：乍看起来这道题似乎有无从下手之感，但通过仔细分析条件发现有：x+y+z=5�x+y=2×5-z2．从此结构可以联想到数列知识：即x,5-z2,y成等差数列，从而产生“灵感”利用等差数列的有关性质求解如下：设公差为d，则 x=5-z2-d, y=5-z2+d，将x,y代入另一个条件xy+yz+zx=3中得3z�2-10z-13=-4d�2≤0，解得-1≤z≤133．又当z=133,x=y=13时满足条件，所以 z���max��=133．�
　　注：本题求解的关键是将条件转化后，通过联想数列问题，迁移数列性质，从而产生解题“灵感”，得到了关于z的不等式，利用不等式取等号的条件，巧妙使问题获解．显示了联想和迁移在解本题中诱发“灵感”的威力和作用．�
　　2．4直觉猜想，启迪思维，产生“灵感”�
　　例已知�Rt�△ABC的面积为1，求其内切圆半径的最大值．�
　　解析：不妨设直角三角形两直角边分别为a,b，则ab=2．易求出其内切圆半径r=a+b-a�2-b�22．利用不等式成立时取等号的条件，我们可以直接猜想出当a=b=2时，r���max��=2-1．从而明确了解题方向，给人以“顿悟”之感．现下面只需证明r=a+b-a�2+b�22≤2-1即可．事实上只要证明a+b+2≤a�2+b�2+22即可．对此式两边平方即得a+b≤2(a�2+b�2)，即只需证a�2+b�2≥2ab，此式显然成立．以上各步可逆．所以圆内切半径的最大值为2-1．�
　　注：“思维，真正可贵的因素是直觉”这是爱因斯坦对直觉猜想的高度评价．本题就是不依据固定的逻辑推理，直接地对问题作出判断或猜想，以此产生解题“灵感”或解题“顿悟”．降低了解题难度．�
　　2．5寻找问题原型，建立问题模型，诱发“灵感”�
　　例已知函数y=f(x)的图像关于直线�x=a�与x=b (a＜b)对称，求证f(x)是周期函数．�
　　解析：要证f(x)是周期函数，只需找到一个不为0的常数T，使函数f(x+T)=f(x)成立．但此常数为何值，这是问题的关键，也是问题的难点．但如果能为问题建立一个模型函数y=�sin�x，此函数其中有两条相邻的对称轴x=π2和x=3π2，而y=�sin�x的周期为：2(3π2-π2)=2π．由此可以产生“顿悟”，诱发“灵感”：f(x)的周期为2(b-a)．于是问题就变为了证明f［x+2(b-a)］=f(x)成立了．又由条件知：x=a,x=b为y=f(x)的对称轴，所以 f(2a-x)=f(x), f(2b-x)=f(x).
　　所以 f［x+2(b-a)］=f［2b-(2a-x)］=f(2a-x)=f(x)，所以 y=f(x)是周期函数，且易知2(b-a)是它的一个周期．�
　　注：在数学中许多命题都含有与其性质相似的“原形”模型，如果在解题时我们能认真分析其结构特征和性质特点，找到相关的模型，化陌生为熟悉，启迪思维，诱发灵感，常常可以简化解题思维，顺利完成解题过程，收到事半功倍之效．
　　
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