[圆锥曲线定长弦的中点问题及推广]圆锥曲线中点弦公式

　　〔关键词〕 圆锥曲线；定长弦的中点；轨迹方程； 　　 二次曲线 　　〔中图分类号〕 G633.63〔文献标识码〕 C 　　〔文章编号〕 1004―0463（2008）09（B）―0026―01
　　
　　 [题目]椭圆■+■=1中，过点P（1，1）的弦被点P平分，求此弦的长.
　　 解：设过点P（1，1）的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，有■+■=1，■+■=1，两式相减得■（x1-x2）（x1+x2）+■（y1-y2）（y1+y2）=0.
　　 ∵P为AB的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=2.
　　 ∴■=-■=-■，∴kAB=-■，∴弦所在直线方程为x+2y-3=0.联立椭圆与直线的方程■+■=1，x+2y-3=0.消去y得3x2-6x+1=0.设3x2-6x+1=0的两根分别为x1，x2，即|AB|=■■=■・■=■.
　　 此题用设而不求的方法使解法简便易行.但是如果已知圆锥曲线方程，求弦长为定值的弦的中点的轨迹方程就感觉很难下手，也很难求解.下面就圆锥曲线的一般形式的定长弦的中点轨迹问题进行讨论.
　　 [推广] 设圆锥曲线C： f（x，y） = Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0， P1（x1，y1）、 P2（x2，y2）为曲线C上的点， 且
　　|P1P2|=2l，求动弦P1P2的中点M（x，y）的轨迹方程.
　　 解析： ∵ M是P1P2的中点，∴ x1+x2=2x， ①
　　 y1+y2=2y.②
　　 设直线P1P2的斜率为k，则y1-y2=k（x1-x2）. ③
　　 由|P1P2|=2l得（x1-x2）2+（y1-y2）2=4l2 . ④
　　 由③、④得（x1-x2）2=■， ⑤
　　 （y1-y2）2=■. ⑥
　　 由P1、P2是曲线C上的点得
　　 f（x1，y1）=Ax12+Cy12+2Dx1+2Ey1+F=0，⑦
　　 f（x2，y2）=Ax22+Cy22+2Dx2+2Ey2+F=0.⑧
　　 将①、②、③式分别代入⑦-⑧中得到
　　k=-■，⑨
　　 再将①、②、③、⑤、⑥式分别代入⑦+⑧中得
　　（1+k2）f（x，y）+（A+Ck2）・l2=0，⑩
　　 再将⑨式代入⑩式，并经化简可得到动弦P1P2的中点M的轨迹方程为[（Ax+D）2+（Cy+E）2+AC・l2]・f（x，y）+（AE2+CD2-ACF）・l2=0.因此，我们有如下的定理.
　　 [定理1]已知圆锥曲线C： f（x，y） = Ax2+Cy2+ 2Dx+2Ey+F=0，P1、P2为曲线C上的点，且|P1P2|=2l，那么动弦P1P2的中点M的轨迹方程为[（Ax+D）2+（Cy+E）2+AC・l2]・f（x，y）+（AE2+CD2-ACF）・l2=0.
　　 对定理1推广到二次曲线得到如下定理.
　　 [定理2]已知二次曲线C：f（x，y） = Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，P1、P2为曲线C上的点，且|P1P2|=2l，那么动弦P1P2的中点M的轨迹方程为[（Ax+By+D）2+（Bx+Cy+E）2 -（B2-AC）・l2 ]・ f（x，y）+（AE2+CD2-2BDE+B2F-ACF）・l2=0.
　　 例1已知椭圆方程为x2-2xy+3y2-2x-1=0,点M（1，1）为椭圆内一点，P1P2为以M为中心的椭圆的一条弦，求此弦长.
　　 解:将A=1，B=-1，C=3，D=-1，E=0，F=-1，x=1，y=1代入式子[（Ax+By+D）2+（Bx+Cy+E）2-（B2-AC）・l2]・
　　f（x，y） +（AE2+CD2-2BDE+B2F-ACF）・l2=0中，得l=■，则可得|P1P2|=2l=2■.
　　 例2已知二次曲线C：x2-xy+2y2-2x-y-1=0，试求曲线C中，弦长为定值2的动弦的中点的轨迹方程.
　　 解：因为A=1， B=-■， C=2， D=-1，E=-■，F=-1，l=1，所以由定理2得到（5x2-12xy+17y2-6x-4y+12）・（x2-xy+2y2-2x-y-1）+18=0，这就是所求的轨迹方程.
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