问题探究――中学数学实施创新教育的切入点:成长手册玩中学数学

　　创新活动正日益成为经济发展的重要推动力，增强自主创新能力，建立国家创新体系是适应国际经济竞争的需要。我们国家也提出了建设创新型国家的发展战略，开始注重创新型人才的培养。但创新型人才的成长是一个综合培养的过程，不可能一蹴而就，首先要从教育这个源头抓起。
　　数学教育能培养学生思维的创造性、敏捷性、广阔性等，这是数学学科的特点决定的。在当前素质教育的背景下，数学教育的核心目标开始转变为培养学生的创造性思维和创新精神。因此，在数学教学中进行学生创新思维能力培养的探索具有重要的现实意义。
　　一、对创新的认识
　　中学生的数学创新能力并不等同于数学家对数学原理的发现和创造，我们所说的创新实质上是对数学的一种再创造，只要把所学的数学原理和思想灵活地创造性地应用于解决不同问题的过程中就是一种创新活动。正如教育家刘佛年指出：“只要有点新意思、新思想、新观念、新设计、新意图、新做法、新方法、就称得上创造”。由于科学创造的方法和思维方式都有着广泛的共性，学生创新能力的提高不仅对数学本身而且对学生从事其它科学研究都有巨大的辐射推动作用。正因为如此，在数学教学中培养学生的创新能力，已成为培养二十一世纪人才的一个目标。其重要性也被越来越多的人所认识和关注。
　　二、对问题的认识
　　在数学中，什么是重要的？20世纪六七十年代，在很多国家都讨论了这个问题。大部分人的意见是：问题是关键。问题是思考的结果，是深入思考的开始，“有问题”也是创造的开始。
　　历史证明，提出问题、思考问题、解决问题是推进数学发展的一个重要途径。在数学上的发展过程中有的问题本身得到解决；有的问题的反面得到解决；有的问题虽然还不能解决，但在试图解决它的过程中发展出许多新的思想、方法。例如，由讨论一元五次或五次以上代数方程是否有根式解到伽罗瓦提出群论，由设法证明欧几里得第五公设到非欧几何的建立，希尔伯特在20世纪初提出的著名的23个问题，费马大定理的解决。甚至可以追溯到古希腊时代，为了解决几何三大问题，人们发明了穷竭法，发现了圆锥曲线。
　　从教学目的来讲，传统的经验认为，一切认识从问题出发，教学目的必须以“问题”为契机，到“问题”的圆满解决为终结，达到“教是为了不教”。但《高中课程新标准》中提倡：问题是探究的起点，一切数学活动都应该从问题出发，到一级更高层次问题的产生，没有问题的教学正是教育的失败。由解决问题到发现问题正是对教学本质的新认识。
　　三、培养学生创新能力的教学策略
　　数学教学中的创新教育如何开展？实施创新教育的切入点又在哪里呢？
　　笔者在多年的中学数学教学实践中，觉得问题探究是培养学生的创新能力的有效切入点。在我国的传统数学问题中，问题的正确答案是唯一的，可是当代社会的变革，人们正在接受“正确的答案可能不止一个”这样的现代理念，这就引发了下面的思考：
　　数学已渗透到现实社会中的各个方面，数学教育应当适应其需要。面对社会是基础教育阶段每一个学生将会遇到的问题，而不是只有数学程度好的学生会遇到，数学程度不好的学生就遇不到的问题，学习能力客观上的不平衡不应成为剥夺学生数学思考的权力，数学教育有责任为每一个能力层次上的学生提供学习资源。但令人遗憾是在等级观念下，教育者只为学生设计出A、B、C级的数学问题（实际上更多是练习题），人为假定（或仅以考试成绩作为唯一标准）某些学生做A级是适合的，某些学生是只能做C级的，忽视了学生发展的潜能。有时实际上更糟，数学程度不好（好）的学生往往在陪数学程度好（不好）学生学习。这种教育现象要么效率低下，要么在用数学这把“筛子”不断筛出“精英”，换个角度说，就是产生大量数学上的失败者，并没有体现数学教育“泵”的作用，受教育者没有享受到学业上的民主与平等，大众教育的思想也只能为一纸空文。改变这种面貌势在必行，笔者以为提倡有不同层次答案的非终结性问题是突破口之一。
　　1.在高中数学“研究性学习”中探索问题
　　高中数学“研究性学习”可辐射到数学的各分支，对数学的每一个问题都可以进行研究探讨，数学学科的“研究性学习”可以说无处不有，问题就在于我们的教师如何对教材内容进行挖掘、提炼、加工。其中教学内容问题化，教学过程探索化，是研究性学习在课堂教学中的两个最显著的特征。
　　课例1 从研究“城市垃圾加倍的周期”的社会性课题引入指数函数。
　　2000年10月18日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息“市政委员会今天宣布：本市垃圾的体积达到50000立方米”，副标题是“垃圾的体积每三年增加一倍”，教师在数学课上宣读当日这条新闻，并且利用该新闻引入指数函数的学习。
　　任务：如果把三年作为垃圾体积加倍的周期，要求学生通过填表，导出垃圾的体积V（立方米）与垃圾体积加倍的周期（三年）数n的关系公式。
　　城市垃圾的总体积
　　
　　研究：（1）设想城市垃圾的体积每三年继续加倍，则24年后本市垃圾的体积是多少？
　　（2）根据报纸所述的信息，你估计三年前垃圾的体积是多少？
　　（3）如果n=-2，这时的n，V表示什么信息？
　　（4）写出n与V的函数关系式，并画出函数图象。
　　（5）曲线可能与横轴相交吗？为什么？
　　学生们从具体问题的研究出发，逐步探讨指数函数的意义、它的一般形式y=�・2x、它的图象及其性质。在数学学习的同时，学生从垃圾体积的指数增长的严峻情况联系到生态环境保护问题、废物利用问题等。数学课本上有不少素材，如果我们能对其进行挖掘、加工、引申与改造，就会得到一些综合性强、能力要求高、符合创新精神的新命题。这样不仅能激发学生的学习兴趣，而且对学生思维水平、应用能力的提高会起到事半功倍的作用，也是高中数学教学中探究性学习的一种行之有效的方法。
　　课例2 研究性课题：杨辉三角
　　杨辉三角，它是由二项式定理中各项系数组合而成的，具有极为丰富的内涵，有许多有趣的数字规律。在传统的教学中，教师都是一提而过，没有详细地引导学生探索，而在新课程、新课标的理念下，应提倡研究性学习，开放式教学，用建构主义观点指导教学。由于杨辉三角中的算式较多，学生看都来不及细看，记也感到吃力，教师的主导作用、策划作用就在于引导学生发挥他们的主体作用。怎样才能使得在这节课上学生获得主动呢？采用课前预习、自学辅导，还是学生讨论或读、议、讲、练或目标教学，还是设置发现情境？这些办法遇到真正困难时都会无能为力，因为这些方法都无法改变算式的冗长，证法的呆板，课堂上的新情境与学生的认知结构中的图式不协调的事实。瑞士的著名心理学家皮亚杰一再强调“认识起因于主客体之间的相互作用”，只有客体的形式与学生主体认知结构中的图式取得某种一致的时候，才能完成认识的主动建构，也就是学生获得真正的理解，应该遵循“兴趣与能力的同步发展规律”和“教、学、研互相促进的规律”，可引导学生在杨辉三角中，研究行的规律、斜线的规律，以及研究三项展开式等。
　　2.在教材的一些法则、定理等结论的证明中探索问题
　　中学数学教材十分重视知识叙述的严谨性，强调逻辑顺序，环环相扣、层层递进，但稍加留意，我们便可以发现书本中一些“非严谨之处”，这些“非严谨之处”常有一些“标志性语言”特征，如“不难发现”、“容易得出”、“同理可证”、“用类似的方法”等，用这些“模糊语言”表述的地方有的内容本身比较简单，无须多言，有的是教材为了回避某些知识点而轻描淡写，一笔过渡，这种地方往往就是数学问题的栖身之地。还有一些地方直接给出公式、定理等结论的证明过程，而没有说明为什么这样证明？
　　如教材《高中数学选修2-3》有这样一段话。“容易证明，D（aξ+b）=�2Dξ.如果ξ～B（n，p），那么Dξ=npq，这里q=1-p.”
　　在学习数学期望时，我们证明E（�ξ+b）=�Eξ+b，引导学生进行猜想，是否有D（�ξ+b）=�Dξ+b？然后教师与学生共同进行研究，找出问题所在。教师进一步指出：类比的思想方法在科学发现中有着十分重要的作用，这一点是不可撼动的。但我们要知道事物是一分为二的，类比固然可以引导我们走向成功，但有时候也会捉弄我们，把我们领向歧途，本题就是一个事实。所以我们既要学习类比与猜想，又要学会严密的证明，这样才能使我们的思维品质更加优秀，更加具有辨证性。
　　但命题“如果ξ～B（n，p），那么Dξ=npq，这里q=1-p.”的证明有一定的难度，引导学生课后进行探究。
　　【问题引申】一个质点从平面上某点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向游动，每次游动的距离为1，求经过2n次游动后质点回到出发点的概率。
　　3.从解答习题后的再思考中探索问题
　　学习数学，求解数学题，不能只满足于求得解答。阅读完或求解完一道题后，若就此了结，往往会失去更为有用的宝贵的东西。若能对解法加以回顾，总结其规律，或对解题错误加以剖析和联想，或通过反复的推敲和总结，寻找更好、更自然的解题方法……这样不仅可提高学生的数学修养，同时也因能把潜藏于题目之中的基本原理、基本思路发掘出来，而常会得到意想不到的结论或成果，从中让学生感受到学习数学的无穷乐趣。布鲁纳说过：“发现不限于寻求人类尚未知晓的事物，确切地说，它包括用自己的头脑亲自获得知识的一切方法。”不少同学容易忽略题后的总结，认为解答完了就大功告成。其实，这时还是有不少事情可以做的。所谓从习题中提取规律，就是通过对一道习题或一类习题（这些习题通常是零散出现的）的解答后，善于进行综合、归纳，形成对某一类问题尽可能全面的、规律性的认识.正如一位美国学者所说的：“从混乱状态中抽出规律性来，这是几千年来数学的根本标志，从欧几里得的几何公里到牛顿的万有引力和运动定律，再到爱因斯坦的相对论，都是如此。”
　　
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