作为文化的数学及其教学|数学文化试题及答案
一 无疑，从不同角度看，数学具有多重身份和角色：数学是一门工具、是一种语言、是一门科学、是一种文化……事实上，在过去的时间里，我们已经有意或无意地践行着作为工具的数学、作为语言的数学、作为思维模式的数学，等等。本文试图转变视角，从文化的视角重新观照并确认数学的本质，尝试在实践层面上给出一些肤浅的、更接近数学本意的表达。
从作为工具、语言、思维模式的数学，转而走向作为文化的数学，视角转换的背后折射出的是认识和理解的差异。所谓认识决定行动。因而，本文愿意首先对什么是“文化”，数学是否“作为一种文化”作一些简单探讨与说明。
二
2001年颁布的数学课程标准明确指出：数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。无疑，这一论述让我们对数学有了重新思考的可能，也给我们的数学教学实践提出了新的课题。随之而来的关于“数学文化”的热烈、持续的探讨，恰是一种必然的呼应。然而，令人遗憾的是，课程标准并没有对文化乃至数学文化给出明确的界定。并且，理论的缺席已经给实践带来消极影响，澄清认识似乎已成当务之急。否则，实践上必难有深入的跟进。
“文化”是我们十分熟悉而其内涵又颇为丰富、复杂的一个科学概念。在我国古代典籍中，“文化”指“文治教化”“礼乐典章制度”等，前者用作动词，后者为名词。现代意义上的“文化”，是由西方引进的。对于“什么是文化”这一问题，叶志良先生在《大众文化》中的如下表述极具代表性：“每个试图对文化作出界定的人，都可以在自己的学科视野、知识背景、学术立场、社会环境等基础上，对文化的定义提出自己的见解。20世纪60年代，著名文化学家阿尔弗雷德・克洛依伯克莱德・克勒克荷恩在《文化：概念和定义述评》中曾经列出160余种文化定义。”上述论断足以说明，文化正像钱钟书先生所讲的“你不说我还清楚，你越说我越糊涂”的那类概念。
尽管如此，如下对文化的广义定义，依然在国内得到了多数人的认同。“所谓文化，是指人类社会历史实践过程中所创造的物质财富和精神财富的总和。”撇开其中物质层面的文化不谈，与此相关的另一有关文化的定义，同样得到大众的广泛认可。即“所谓文化，是指一定社会群体创造、习得且共有的一切观念和行为”。
回到数学问题上来。数学“是人类社会历史实践过程中所创造的物质或精神财富”吗？进而，数学可以看作是“一定社会群体创造、习得且共有的观念和行为”吗？答案无疑是肯定的。至此，数学“作为一种文化”的身份得以确立：数学的确是一种文化。进而，为了区别于其他文化，我们把数学这一文化类别称作数学文化。这就是数学文化的由来。
明确了什么是文化，随之而来的问题是，与其他文化分支相比，数学文化的独特性及价值表现在哪儿？换言之，什么是数学文化，数学文化的价值又在哪里？对此，笔者十分赞同南京大学哲学系教授郑毓信给出的观点。“所谓数学文化，是指以数学家为主导的数学共同体（需要提及的是，在某种意义上，普通大众同样也是数学共同体重要的成员，他们在数学的创造、发展、进步等过程中，有着不可或缺的作用）所特有的行为、观念、态度和精神等，也即是指数学共同体所特有的生活或行为方式，或者说是特定的数学传统。”事实上，细心的读者一定已发现，这一对数学文化的界定，恰恰是上述文化定义的自然延伸与具体化，可谓是一脉相承。
乍一看，对数学文化的这一界定的确有点玄。事实上，笔者在与教师交流这一观点时，的确也从教师那儿获得了类似的反馈。但稍作深入思考后，问题似乎并不难理解。众所周知，数学不是纯客观的存在，而是人类思想领域的一种创造（尽管其原型或许来自于客观现实）。就像我们能看到1个人、1棵树、1朵花，却永远看不到抽象的数“1”；我们能找到像硬币、钟表、桌子、光盘等不计其数的具有圆形轮廓的物体，却永远不可能在现实世界中找到真正意义上抽象的平面图形“圆”，诸如此类。数学既然是一种创造物，那么，在其被创造的过程中，数学势必会印上其创造者（以数学家为代表的数学共同体）鲜明的烙印。他们的行为、观念、态度和精神势必会以一种独特的方式存在于数学之中，成为“投射”并“凝聚”于数学之中的重要因子。或许，呈现在我们面前的数学，通常只是些可视的、物态层面的内容（诸如数字、符号、公式、结论等），但凝聚于这些物态层面的数学背后的，正是那些以数学家为代表的数学共同体成员在从事数学创造、研究、学习、思考时所特有的思维方式、行为准则、精神气质、价值观念以及人格特征等。
事实上，如此情形也并非仅仅出现在数学这一文化现象身上。任何一种文化，在其被创造的过程中，势必都会凝聚其创造者（从更一般的角度看，则应是创造者共同体）的观念、态度、精神及气质，比如文学、艺术、历史等。只是，不同的文化，在其被文化主体缔造的过程中，所融入的思维方式、行为准则、精神气质、价值观念等不尽相同。比如，数学作为一种文化，其所折射出的精确、抽象、公理化的思维方式，务实求真的理性精神，不断超越及自我否定的创新气度，以及对简洁、对称、和谐、秩序等独特美感的敏锐洞察，等等，却是其他所有文化门类中所鲜有的。而这，正是数学所蕴涵着的更为丰富、广远的文化价值，也是我们的教学实践在彰显了数学的工具价值之后，更需着力开掘的文化宝藏。
三
明确了什么是数学文化，并探明数学文化的独特价值后，作为文化的数学及其教学只是具有了实现的可能。实践层面上，我们还需要着重并审慎提出的问题是，如何实现由“作为工具的数学”向“作为文化的数学”的切实转变？这才是最核心的问题，并真正关乎实践。
事实上，伴随着新一轮课程改革，尤其是随着课程标准对“数学是一种文化”的准确表述，实践层面对数学文化的探索十分密集，甚至曾一度达到“数学课堂言必称文化”的境地。问题也随之而来。
关于数学文化的探索与实践，发端于数学史在教学中的介入。无疑，这是一种有益的尝试。并且，由于数学史的介入给以“工具、推理、训练”为核心的数学课堂注入了活力，对数学发展历史的回顾也就改变、丰富了学生对数学的认识。数学原来并非只是一堆无意义的符号、数字、公式的堆砌，并非只是孤僻的数学家们闭门造车、无端臆想的结果，数学原来也关乎人性与道德、精神。数学在其发展历程中，也有着动人心魄的思想冲撞与对话。
当然，所有这一切得以实现的前提是，数学史料并不只是作为一种外在于数学的“趣闻轶事”附加到课堂上。数学史料的展开、还原、解密等，是数学史料之文化价值得以最大化实现的重要策略。在此，笔者愿意援引席争光老师“圆的周长”一课对数学史料的开掘作为例证，以说明上述问题。
通常，“祖冲之及其对圆周率研究至小数点后第七位”的史料，都会出现在本课教学中。但不同于其他教师简单呈现数学史料的方法，席老师的处理别具一格――
师：早在2000多年以前我国的一本数学专著《周髀算经》中就有“周三径一”的记载，（播放课件）周三径一，意思就是说，圆的周长总是直径的3倍，我们得出的结论是――
生：圆的周长和直径的比值是三点多。
师：很不简单嘛！这个结论在当时的生产生活中发生了巨大的作用。随着生产生活的不断进步，这个结论已经不能适应生产生活的需要了。为此，我国的数学家又用了新的方法来研究，同学们想了解一下吗？
生：想。
师：在这幅图中都有哪些图形？
生：圆和正6边形。
师：观察正6边形的边长和圆的半径的长度，你有什么发现？
生：正6边形的边长和圆的半径相等；正6边形的周长是半径的6倍、直径的3倍；圆的周长比直径的3倍多一些。
师：注意观察，（课件演示：在圆内接正6边形的基础上，出示圆内接正12边形）比较正12边形和圆的周长，你有什么发现？
生：正12边形的周长还是比圆的周长少，但比正六边形更接近圆的周长。
师：接着观察，（课件以类似方法呈现圆内接正24边形、正48边形）你又有什么新发现？
生答略。
师：如果再等分，又会是多少边形？
生：正96边形、正192边形……
师：就这样一直分下去，你有什么思考?
生：越往下分，多边形的周长就越接近圆的周长。正多边形的周长和“直径”的比值就越接近圆的周长和直径的比值。
师：这正是1700年前我国伟大的数学家刘徽提出的用“割圆术”求圆的周长和直径比值的方法。刘徽从正6边形入手，计算到正1536边形，得出圆的周长和直径的比值是3.1416。继刘徽之后，在南北朝时期，有一位伟大的数学家祖冲之，他更深入地进行了圆周长和直径比值的研究，并做出了杰出成就。现在我们一起来感受一下祖冲之研究的思路。在直径3.3333米的圆里，祖冲之一直分割到正12288边形，这时每条边的长度是0.852毫米。祖冲之没有停步，他继续分割得到正24576边形，这时每条边的长度大约是0.4毫米，不足半毫米，用针尖一点，它的长度大约就是半毫米。此时，多边形的周长和圆的周长相比会怎样？
生：已经非常接近。
生：几乎就可以当作圆的周长了。
生：这时求出的多边形的周长和直径的比值就会非常精确了。
师：同学们，祖冲之是我们民族的自豪和骄傲。正因为祖冲之的杰出成就，月球上有一座环形山命名为祖冲之山；宇宙中第1888号小行星也是以祖冲之的名字命名的。不过，圆的周长和直径的比值的研究还远没有结束。（课件播放近代圆周率的研究成果。教师板书：3.省略