对偶规则的应用 神奇的对偶，广泛的应用

　　湖南怀化职业技术学院418000湖南怀化洪江一中418200 　　 　　摘要：本文论述了什么是对偶以及对偶的神奇性,如何用对偶来进行创造，对偶原理以及对偶与开放题，对偶在求导与求积分中的应用.
　　关键词：对偶式；类比;创造；对偶原理；先猜后证；开放题
　　
　　[⇩]从一个例子谈起
　　如果把某一个角的三角函数用其同角的余函数来替换，所得出的新命题我们把它叫做原命题的对偶类比猜想题，合情推理就是猜想，那么对偶类比猜想新命题可能正确，也可能错误. G・波利亚说：“如果把这种猜测的似真性当作肯定性，那将是愚蠢的，但是忽视这种似真的猜测将同样愚蠢甚至更为愚蠢.”
　　如证明原型题：tan2α－sin2α=tan2αsin2α.
　　其证明如下：右边=tan2α（1-cos2α）=tan2α－tan2αcos2α=tan2α－sin2α=左边.
　　什么是对偶公式？某些三角公式，若用其同角的余函数来替换，所得公式还是正确的，则这两个公式叫做两个对偶公式. 如tanx=与cotx=；sin2x+cos2x=1与其自身是对偶公式（自对偶）；1+tan2x=sec2x与1+cot2x=csc2x也是对偶公式. 读者注意，原型题的证明公式与下面的对偶类比的变式题所用到的公式也互为对偶式. 构造上面的正确命题的三角对偶类比猜想的命题（对偶类比变式题）：cot2α-cos2α=cot2αcos2α，可以证明它同样是正确的. 其证明如下:
　　右边=cot2α（1－sin2α）=cot2α－cot2α・sin2α=cot2α－cos2α .
　　但某些三角公式的sin2x=2sinxcosx，若替换成同角的余函数时，则所得命题是错误的.
　　
　　[⇩]对偶与创造
　　1. 有趣的对偶为什么神奇
　　例1在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则△ABC的形状是（）
　　A. 等腰直角三角形
　　B. 直角三角形
　　C. 等腰三角形
　　D. 等边三角形
　　解析cos2=⇒1+cos［π－（B＋C）］=1－cos（B＋C）=1－cosBcosC+sinBsinC=2sinBsinC⇒cos（B－C）=1⇒B－C=0⇒B=C. 所以选C.
　　创造性地构造例1的对偶类比的选择题例1′，可猜想它仍然正确.
　　例1′ 在△ABC中，若方程x2－xcosBcosC+sin2=0的两根之和等于两根之积，则△ABC的形状是（）
　　A. 等腰直角三角形
　　B. 直角三角形
　　C . 等腰三角形
　　D. 等边三角形
　　（证明留给读者）
　　将例1的对偶类比题构造出来是一种创造性的工作，若能证明是正确的，则非常神奇.
　　古希腊哲学家亚里士多德说：“我们的思维是从与正在寻求的事物相类似的事物、相反的事物，或者相接近的事物开始的，以后，便追寻与它相关联的事物，由此产生联想.” 联想是客观事物普遍联系的规律和大脑的联结功能在心理思维的反映. 想象伴随着联想，联想是想象的初级阶段，而联想唤起对公式的记忆，并触发灵感. 联想分为有意联想与无意联想，前者是有意志，有目的的联想；后者则相反. 联想又是以观察为基础，以想象为翅膀，以记忆为保证，以思维为核心的重要方法. 联想例1，创造性地得出例2 .
　　例2在△ABC中，若方程x2－xcosB・cosC+sin2=0的两根之和等于两根之积，则△ABC的形状是（）
　　A. 等腰直角三角形
　　B. 直角三角形
　　C. 等腰三角形
　　D. 等边三角形
　　学生写出如下的解答过程：
　　x1+x2=cosBcosC，x1x2=sin2=⇒2cosBcosC=1－cosA，
　　1－cosA=1－cos［π－（B＋C）］=1+cos（B＋C）=1+cosBcosC－sinBsinC⇒cos（B－C）=1⇒B－C=0⇒B=C. 所以选C.
　　为了培养学生的观察、分析、理解和类比联想的能力，还可以引导学生一题多解，把三角函数通过正、余弦定理转化为边的关系，再判断三角形的形状，让学生感受到“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的思维情境.
　　2. 用对偶方法进行创造
　　例3在△ABC中，如果==，那么△ABC的形状是（）
　　A. 等腰直角三角形
　　B. 直角三角形
　　C. 等腰三角形
　　D. 等边三角形
　　解析由正弦定理，==⇒==⇒sin=sin=sin⇒==，所以A=B=C，即△ABC是等边三角形. 所以选D.
　　用对偶类比进行创造，可得出崭新的数学题.
　　例3′ 在△ABC中，若==，则△ABC的形状是（）
　　A. 等腰直角三角形
　　B. 直角三角形
　　C. 等腰三角形
　　D. 等边三角形
　　用同样的方法，请读者自己完成证明. 我们用类比联想的方法不但构造了对偶类比联想题（这是合情推理的猜想），而且还用论证推理证明了它的正确性. G・波利亚说：“在求解所提出问题的过程中，我们经常可以利用一个较简单的类比问题的解答. 我们可能利用它的方法，可能利用它的结果，还可能三者同时利用.”
　　3. 三角函数题的先猜后证
　　例4求证：8coscoscos=1.
　　分析联想到1987年理科高考题:“求sin10°sin30°sin50°sin70°的值”是一种类比对偶联想. 它是角度成等差数列的4个正弦值的乘积，而例4是3个角度成等比数列的余弦值的乘积，高考题的几种解题方法可以移植到这里来证明例4.
　　这种“等式无穷，人生有限”为反对“题海战术” 提供了依据，同时，每一道题用众多的方法证明. 前者反映出了思维的广泛性，后者反映出了思维的深刻性.
　　[⇩]对偶原理
　　什么是对偶原理？
　　三角对偶类比题的创造是一种数学规律，它既然是类比，所得规律有偶然性，如果能判定我们构造的三角对偶类比题何时正确，何时不正确，那么，这种数学创造意义将更为重大. 使我们在创造性的工作中“知其然，又知其所以然”. 布鲁纳说：“探索是数学教学的生命线.” 众所周知，所有三角证明题都是运用三角公式――同角三角函数的平方关系，商的关系，倒数关系，诱导公式，和、差、倍、半公式与和积互化公式、万能公式来进行逻辑推演，而这些公式中，一些属于对偶类比，而另一些公式不具有对偶类比的性质. 可以假设，在用对偶类比的公式进行逻辑推演时，而又证明是正确的命题，可猜想它的三角对偶类比题也正确；相反，用非对偶类比公式进行逻辑推理证明其正确性的三角证明题，可猜想它的三角对偶类比题必然不正确. 这样，三角公式与三角证明题都分成两类：对偶类比的三角公式有三个平方关系（sin2x+cos2x=1，tan2x+1=sec2x，cot2x+1=csc2x），商的关系（tanx=，cotx=），倒数关系（sinx=，cosx=，tanx=）. 这些公式都有对偶式，正如前面说有些公式没有对偶式，如sin2x=2sinxcosx，原因是cos2x≠2sinxcosx. 为了判断对偶类比命题是否正确，我们可以从数理逻辑的相关知识去寻找理论根据，数理逻辑是用数学方法研究推理形式的科学.
　　美国计算机科学家麦卡锡说：“我们有理由希望，到了下世纪，逻辑和计算机的关系将和上一世纪数学分析和物理学的关系那样富有成果.” 数理逻辑不但可以用于计算机科学，而且可以用于激活本文，请看下面的对偶定理.
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　　证明任取真值赋值v，令v′是与v相反的真值赋值. 因为A⇔B⇒v′（A）＝v′（B），所以v（A*）＝v′[⇩]对偶的广泛应用
　　1. 用对偶构造开放命题
　　所谓开放命题是指那些答案不唯一，并在设问的方式上要求学生进行多方位、多角度、多层次探索的数学题. 开放命题又分为条件开放命题、结论开放命题、条件与结论都开放以及策略开放命题等.
　　例5（2005上海）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）
　　A. 等腰直角三角形
　　B. 直角三角形
　　C. 等腰三角形
　　D. 等边三角形
　　解析因为三角形的内角和为π，由题设知道2cosBsinA=sinC⇒2cosBsinA=sinC=sin［π－（A＋B）］=sin（A＋B）=sinAcosB+cosAsinB⇒sinAcosB－cosAsinB=sin（A－B）=0⇒－π　　故选C.
　　例6在△ABC中，若方程x2－xsinA・cosB+sinC=0的两根之和等于两根之积的一半，试判定此三角形的形状.
　　分析相对于例5来说，例6是一个开放命题，而且是一个条件开放命题. 由韦达定理可知，方程的两根之和与两根之积分别为x1+x2=sinAcosB，x1x2=sinC. 依题意有cosBsinA=sinC.
　　剩下的证明与例5一致，请读者自己完成.
　　2. 对偶猜想在求导中的运用
　　对比求下列两个对偶类比三角函数的导数：y′=3cos
　　请读者自己证明对偶类比猜想是完全正确的.
　　例7 对比求下列两个对偶类比三角函数的导数：y=；f（x）=.
　　解析y′======・. 是否可以猜想f ′（x）=・？（读者自证）
　　这种三角函数的求导规律，对于数学教师批改作业，学生熟悉三角求导公式的运算，师生创造性的思维都是有好处的. 它的理论基础是本文前面论述的对偶原理. 不定积分也同样有这一创新思维的一般规律.
　　3. 对偶猜想在求积分中的应用
　　sinxdx=－cosx+c，cosxdx=sinx+c. 比较猜想得出secxtanxdx=secx+c，cscxcotxdx=－cscx+c的公式.
　　证明secxtanxdx=・・dx=dx=dcosx=secx+c.
　　cscxcotxdx=・dx=dx=－cscx+c.
　　例8计算secx（secx＋tanx）dx，并依此猜想cscx（cscx＋cotx）dx.
　　解析原式=sec2xdx+secxtanxdx=tanx+secx+c，猜想cscx（cscx+cotx）dx= -cotx-cscx+c.
　　事实上，cscx（cscx＋cotx）dx=csc2xdx+cscxcotxdx=-cotx-cscx+c，故猜想正确.
　　例9计算cos3xcos2xdx，并依此猜想sin3xsin2xdx.
　　解析因为cosAcosB=［cos（A－B）＋cos（A＋B）］⇒cos3xcos2x=（cosx＋cos5x）.
　　cos3xcos2xdx=（cosx＋cos5x）dx=（cosx＋cos5x）dx=cosxdx+・cos5xd（5x）⇒cos3xcos2xdx=・sinx+sin5x+c，而猜想sin3xsin2xdx=cosx+cos5x+c是错误的. 事实上，sin3xsin2x=（cosx－cos5x）⇒sin3xsin2xdx=（cosx－cos5x）dx=sinx-sin5x+c.
　　例9′ （全日制普通高中数学第三册选修ⅡP157例5）求不定积分dx，再猜想dx.
　　解析dx =dx=（cosx＋sinx）dx=sinx－cosx+c. 若猜想dx=cosx－sinx+c是错误的. 原因是对偶原理不满足.
　　不定积分与求导数一样，对偶类比策略发现的求导、求不定积分的规律，有时正确，有时错误，其原因是它们的理论基础――对偶原理不一定正确. 凡符合对偶原理的求导、求不定积分的数学题，其猜想是正确的，而不符合对偶原理的求导、求不定积分的数学题，其猜想是错误的.
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