计算n阶行列式典型例题【构造三阶行列式 研究国内外试题】
江苏姜堰励才实验学校225500 摘 要：本文通过构造三阶行列式，运用“三元齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式为零”的定理，对部分国内外数学竞赛试题进行研究，并探索出一些新颖且富有创意的解法.
关键词：构造；三元齐次线性方程组；三阶行列式
[⇩]解代数问题
例1（第8届美国数学邀请赛试题）若实数a，b，x，y满足ax+by=3，ax2+by2=7，ax3+by3=16，ax4+by4=42，求ax5+by5的值.
解析 记Sn=axn+byn（n∈N+），知S1=3，S2=7，S3=16，S4=42. 由于axn+2+byn+2=（x+y）・（axn+1+byn+1）－xy・（axn+byn），因此Sn+2=（x+y）・Sn+1－xySn. 取n=1，2，3得
（x＋y）S2－xyS1－S3=0，
（x＋y）S3－xyS2－S4=0，
（x＋y）S4－xyS3－S5=0.
上述关于x+y，－xy，－1的三元齐次线性方程组有非零解，因此
D=S2S1S3
S3S2S4
S4S3S5=0，
即7 3 16
167 42
4216S5=0.
展开后，解得S5=20. 所以ax5+by5=20.
例2 （2006湖北天门高中数学竞赛题）已知：log157=a，log215=b，log353=c. 求证：ab+bc+ca+2abc=1.
证明因为log157=a，所以由对数换底公式，得=a. 所以lg7=alg（5×3）.
即有 alg3+alg5－lg7=0.①
同理可得blg3－lg5+blg7=0，②
lg3－clg5－clg7=0.③
把①②③看做是关于lg3，lg5，lg7的三元齐次线性方程组ax+ay－z=0，
bx－y+bz=0，
x－cy－cz=0.
故其有非零解，其中x=lg3，y=lg5，z=lg7. 所以a a －1
b －1b
1 －c－c=0.
展开即得ab+bc+ca+2abc=1.
[⇩]解“牛顿公牛吃草”问题
例3 有三片牧场，场上的草是一样的密，而且长得一样快. 它们的面积分别是3公顷、10公顷和24公顷. 第一片牧场饲养12头牛可以维持4星期；第二片牧场饲养21头牛可以维持9星期. 在第三片牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18个星期？（这是17世纪美国著名数学家、科学家牛顿在他的名著《普通算术》中提出的问题）
解析设每公顷原有草x千克，每星期每公顷生长新草y千克，第三片牧场可饲养z头牛，每头牛每星期吃草a千克，则依题意得方程组
3
x+3×4y=12a×4，
10x+10×9y=21a×9，
24x+24×18y=18az，
化简整理得10x+40y－144a=0，
10x+90y－189a=0，
4x+72y－3za=0.
这是一个关于x，y，a为未知数的三元齐次性线方程组，因为它有非零解，所以系数行列式D=10 40 －144
10 90 －189
472 －3z=0，
展开即得z=36. 故在第三片牧场上饲养36头牛恰好可以维持18个星期.
[⇩]解三角问题
例4 （第33届俄罗斯数学奥林匹克十年级试题）若a=b・cosC+c・cosB，
b=a・cosC+c・cosA，
c=a・cosB+b・cosA（a，b，c不同时为0），求证：cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1.
证明将已知的三个等式变形为
a－b・cosC－c・cosB=0，
－a・cosC+b－c・cosA=0，
－a・cosB－b・cosA+c=0.
由方程根的定义可知a，b，c（不同时为0）是三元齐次线性方程组
x－y・cosC－z・cosB=0，
－x・cosC+y－z・cosA=0，
－x・cosB-y・cosA+z=0的一组非零的解. 于是有
D=1 －cosC －cosB
－cosC 1 －cosA
－cosB －cosA 1=0，
展开即得cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1.
[⇩]解几何问题
例5 （1978辽宁中学数学竞赛题）设AM是△ABC中BC边上的中线，任作一直线分别交AB，AC，AM于点P，Q，N.
求证：，，成等差数列.
证明如图1，由于线段AB，AM，AC中的两条分别是△ABM，△ACM和△ABC的两条边；线段AP，AN，AQ中的两条分别是△APN，△AQN和△APQ的两条边，而且S△ABC=S△ABM+S△ACM，S△APQ=S△APN+S△AQN，S△ABM=S△AMC .
[A][P][B][M][C][N][Q]
图1
故利用三角形面积公式，并通过构造三元齐次线性方程组，可得到巧妙证明如下.
设∠BAM=α，∠CAM=β，AB=c，AC=b，AP=p，AQ=q，AM=m，AN=n.由于MB=MC，故利用三角形面积公式可得到
pqsin（α＋β）-pnsinα－qnsinβ=0，
bcsin（α＋β）-cmsinα－bmsinβ=0，
csinα－bsinβ=0.
则sin（α＋β），sinα，sinβ是三元齐次线性方程组
pqx－pny－qnz=0，
bcx－cmy－bmz=0，
cy－bz=0的一组非零解，
故其系数行列式等于0. 因此
D=pq －pn －qn
bc －cm －bm
0 c －b=0，
展开后整理得bc（2pqm－cqn－bpn）=0. 因为bcpqn≠0，所以两边同除以bcpqn，得+=，即+=. 因而，，成等差数列.
综上所述可知：应用上述定理，解证国内外数学竞赛题的关键在于根据题设条件列出关于三个未知数的三个线性方程，然后根据未知数的系数写出三阶行列式，最后展开行列式，求得结果. 此法新颖别致，颇有规律，值得介绍.
依据新课程改革的理念要求，平时的教学过程中，注意对国内外试题的研究，对帮助学生理解课本内容、提高解题水平、启迪思维、拓宽视野，颇有益处. 这样的专题研究，既有利于引导学生系统灵活地掌握学过的知识，提高学习效率，又有利于提高学生数学思维的能力和综合运用所学知识解决实际问题的能力，对培养学生的探索精神和创新意识也会起到很好的作用.
总之，笔者认为：在数学教学过程中，认真学习和研究国内外的数学试题是每一位中学数学教师必须探讨和研究的一个课题，值得提倡. 我们相信，只要每位教师的研究方法恰当、研究措施得力、研究计划到位，就能有效地提高教师的素质，使课程改革中关于对试题的研究理念得到进一步升华.
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