课堂中建立数学模型的方法:建立数学模型的方法

　　数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作出的一个抽象的、简化的数学结构。在小学阶段建立清晰的数学模型有利于学生自觉检验、巩固所学的数学知识，促进知识的深化、发展，有利于提高学生解决问题的能力，有利于培养学生的创造性思维能力。因此，在教学过程中，有意识地培养学生的建模意识，能培养学生运用数学建模解决实际问题的能力，让学生积极参与数学模型的创建过程，从而促进学生思维能力的发展。下面就谈谈在教学中建立数学模型的几点做法。
　　一、在分析与比较中建立数学模型
　　学生在日常生活中已经积累了一定的比较与分类的知识。作为数学教师，要善于利用学生这种已有的认识基础，把生活中的分析、比较、分类迁移到数学中来，在教学中利用分析与比较来建立数学模型，从而培养学生的建模意识。
　　例如，在教学《质数和合数》时，有的教师可能会出示两三个自然数，让学生找出它们的因数，然后出示课本上的概念。只通过几个例子就出示概念，这样的处理过于简单，学生对于质数、合数的概念只是机械地接受，并非自主建构，对概念的运用自然有限。其实在本课教学中，可以先增加一些有生活背景的实际问题：让学生根据自己的座位号写出各自的因数，然后让部分学生汇报自己座位号因数的情况，接着让学生比较这些数的因数个数的特点，从而根据这些数的因数的多少进行自主分类。在这样的教学中，学生的主体作用得到了充分的发挥，他们的分析、比较、归纳、概括能力和自学能力也得到了有效地培养，学生处于学习的主体地位，他们自觉去认识和理解质数和合数的概念及本质特征，也能自主建构质数和合数这两个概念的模型。
　　在这一数学概念模型形成过程中，分析、比较的作用较大，观察、比较“一些数的因数个数的特点”花的时间不多，但却是新知与旧知的“生成点”，起着承上启下的作用，目的是使学生发现有的数只有1和它本身两个因数，有的数除了1和它本身还有其他的因数。其实学生在比较的过程就已经发现了这些数的因数个数的特点，从而能够正确地进行分析并进行合理的分类，而质数和合数这两个概念的数学模型也在学生的分析和比较中自然而然地形成了。
　　又如在教学“锐角三角形、直角三角形、钝角三角形”时，教师就可以充分运用分析和对比的方法来帮助学生自主建构模型：让学生观察若干个三角形，通过比较这些三角形角的特点，抓住角的特征进行分类，从而顺利构建数学模型。
　　学习数学的价值在于它能有效地解决现实世界向我们提出的各种问题，而数学模型正是联系数学与现实世界的桥梁。作为数学教师，要善于挖掘教材中蕴含的数学建模思想，根据教学内容的特点引导学生利用分析和比较的方法建立数学模型，进而获得对数学的理解。
　　二、在抽象与概括中建立数学模型
　　数学教学说到底就是告诉学生前人已经给我们构建的一个个数学模型和怎样构建模型的思想方法，以使学生能运用数学模型解决数学问题和实际问题。也就是要不断地引导学生用数学的眼光去观察、分析和表示各种事物之间的关系，从纷繁复杂的具体问题中抽象出熟悉的数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题，使数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯。
　　高度的抽象性是数学最本质的特点，抽象和概括构成了数学的实质，数学的思维是抽象概括的思维。因此，抽象概括能力构成了数学思维能力的第一要素，是形成概念、得出规律的关键性手段，也是建立数学模型的重要方法。
　　如在教学体积这一概念时，我们发现课本上对于体积概念是这样概括的：“物体所占空间的大小，叫做物体的体积。”在这里，“空间”一词比较抽象，可以进行这样的设计：利用课件出示学生熟悉的故事——《乌鸦喝水》，把它作为新知识的载体，将新知识寓于故事情境之中，让学生在课件的演示中发现石头占了瓶子的空间，从而水面上升，初步理解空间这一概念。为了让学生更好地建立体积这一数学模型，还可以让学生把书包从桌内拿出，用手摸一摸桌内，然后再将书包放入后用手摸一摸桌内。通过这样的亲自感受、对比，学生对于体积这一概念就能理解了。从一个脍炙人口的故事情境和一个拿、放书包的简单动作中，学生很自然就抽象出体积的概念，而这个学习过程，正是一个以抽象概括方式建立数学模型的过程。
　　新课标注重学生经历从实际背景中抽象出数学模型、从现实的生活空间中抽象出几何图形的过程。对于教材中对一些空间图形的概念，如长方体、正方体、圆柱、圆锥等模型的建立，我们就可以先提供一些具体的几何图形的实物，引导学生观察，让学生通过观察再进行抽象概括，从而正确建构数学模型。
　　三、在观察与实验中建立数学模型
　　数学探索能力是在抽象概括、推理、判断能力基础上发展起来的制造性思维能力。探索的过程实质上是一个不断提出设想、验证设想，并修正和发展的过程。实验操作活动是多种感官协调参与的学习活动,是最基本也是最重要的学习方法之一。 要培养学生的数学建模意识和能力,需要将学生的主动学习贯穿于整个数学课堂教学之中，让他们在观察与实验中建立数学模型。
　　例如《圆柱的认识》这一课的教学目的是让学生理解并抽象出“圆柱的侧面积＝底面周长×高”这一数学模型。对于这样的模型，学生很难得出。其实解决这个问题的关键在于让学生理解圆柱的侧面展开图中长方形的长、宽和圆柱之间的关系，与“圆柱的高＝展开后长方形的宽，圆柱的底面周长＝展开后长方形的长”这两个小模型的建立。在教学中我们可充分利用学生的合作意识，交给各小组活动任务，让学生动手制作一个圆柱体。学生在实际的制作过程中，发现制作出来的圆柱的底面有的太大，有的太小，这样就激发了学生主动探究的积极性。通过小组的观察、讨论、研究，他们发现底面圆的周长要等于侧面展开图中长方形的长，这样做出来的圆柱才正确、美观。让学生在实验中不断地观察、反思，从而在实验操作去发现、总结问题，比教师直接的讲述更让人印象深刻。
　　“手是意识的伟大培育者，又是智慧的创造者。”学生在观察、实验活动中既动眼、动脑又动手，可以使他们手脑结合，心灵手巧。在学生学习圆柱、圆锥的体积后，还可以安排一节让学生动手测量不规则物体的体积的实践课。先把学生分成小组，让每组准备一个长方体、正方体或圆柱体的容器，水，不规则物体（如石块、马铃薯、灯泡等）。让学生观察各自准备的容器，说出其特征和计算其体积的方法。接着让学生观察不规则物体，想一想如何计算它们的体积。让学生思考并展开讨论，然后让他们分组实验。通过教师的诱导点拨，反复实验、观察，学生体会到不规则物体占有一定的空间，总结出 “不规则物体的体积＝上升的水的体积”这一数学模型。
　　根据学生的生活经验创设生活化的情景教学，既能调动学生学习的积极性,又能引发学生的数学思考，促使学生对同一个生活原型进行观察和提炼，在观察和实验中建立数学模型。
　　由于数学建模体现了解决实际问题真实、全面的过程，所以它在数学教育中的作用是十分明显的。数学建模不仅真正训练了学生把现实问题抽象为数学问题、求解数学问题的数学思维，而且把学生实践能力的培养真正落到实处，还可以让学生感受到“在现实中学数学，在做中学数学”。
　　数学模型建立过程的本质是数学思维的活动，模型的建立常常是多种数学思维方法的综合运用。在我们的数学课堂中，教师要经常渗透建模意识，这样通过教师的潜移默化，学生可以从大量的建模问题中逐步领悟到数学建模的广泛应用，从而激发学生去研究数学建模的兴趣，提高他们运用数学知识进行建模的能力。让数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯，从而提高学生分析问题和解决问题的能力，促进学生思维的发展。
　　（责编　金　铃）