[教育“无痕”，精彩“有迹”] 鸟归沙有迹帆过水无痕

　　无痕教育是指“把教育意图与目的隐蔽起来，通过间接、暗示或迂回的方式，给学生以教育的一种教育方式”（卢克谦语）。无痕教育的提出，虽来源于德育领域，但其所彰显出来的人性化和科学性光辉，足以指导一切学科的教学行为。小学数学属于初等数学的范畴，它揭示的是现实世界中最简单的数量关系和几何形体等知识。小学数学课程在内容的呈现上具有由浅入深、由易到难、循序渐进和螺旋上升的特点。小学数学的学科特征为数学教学中实施无痕教育提供了充分可能。“数学教学是数学思维活动的教学”（斯托利亚尔语）。儿童学习数学的过程是数学思维活动的过程。儿童思维的发展经历着从低级到高级、从不完善到完善的发展过程。数学思维是一种隐性活动，且各种思维方式之间的彼此相连、融会贯通和发展变化本身就是一种无痕的状态。
　　可见，小学数学教学过程应该遵循儿童学习数学的思维规律和小学数学学科的基本特性，通过教师的智慧，把作为科学的数学转化为作为学科的数学，把作为文本的数学转化为作为过程的数学，从而把“学术形态的数学”转化为“教育形态的数学”，把“冰冷的美丽”转化为“火热的思考”，引导学生在无痕中学习数学和发展能力，获得丰富的情智体验。那么，数学教学中如何体现无痕的境界呢？本文试以“数与代数”领域第一、二学段的教学实践为例略作分析。
　　一、不知不觉中开始学习
　　让学生在不知不觉中开始学习，是无痕教育追寻的基本境界。实施无痕教育的前提是教师对所教内容的整体把握。因为小学数学学科的教学内容具有整体性和系统性，每册教科书、每个教学单元、每一个课时、每一个知识点的内容之间都有着内在的联系。优秀的教师总是能够瞻前顾后，迁移渗透，把握所教内容与以前所学内容以及将来要学习的内容之间的实质性联系，为学生选准合适的认知起点，让学生在不知不觉中开始新知的学习。
　　案例一：《认识乘法》的新知引入片段。
　　师：今天我们到动物学校去参观，大家开心吗？
　　生：开心！
　　师：在这块场地上你发现有几种动物？
　　生：有两种动物，是鸡和兔。
　　师：这些鸡和兔，它们今天是怎样排列的？
　　生1：它们是分散排列的。
　　生2：它们是一堆一堆的。
　　生3：我发现兔总是2只靠在一起。
　　生4：我发现鸡总是3只围在一起。
　　师：大家观察得真仔细！我们想知道有几只兔，有几只鸡，该怎么办呢？
　　生1：我数一数，1、2、3、4、5、6，有6只兔。
　　生2：我这样数，2、4、6，有6只兔。
　　师：你为什么可以这样数呀？
　　生2：因为兔子是2只2只在一起的。
　　师：是啊！2只2只地数，还可以这样数呢——1个2，2个2，3个2。（图像对应闪烁）
　　生：我还可以算出来呢！2＋2＋2＝6。
　　师：是啊！在这道连加算式里我们也可以2个2个地数。（引导学生看算式数）
　　上述教学片段中，通过一幅情景图，让学生不知不觉中再现了已有旧知（同数相加），不知不觉中激活了生活经验（每份同样多），不知不觉中生发了所学新知（求几个相同加数还可以用乘法算），不知不觉中走向了数学本质（乘法的本质即是几个几）。
　　在不知不觉中开始，从教育心理学的角度看，是合适的学习起点，即明确学生“现在在哪里”。有了对教学内容的整体把握，就有了对学生原有认知与学习状态的准确了解，就有了对学生生活经验与思维体验的适度掌握。有了这样的教学前提，就能够进一步明确把学生“将要带向哪里”以及“如何走向那里”，从而无痕地将学生引向新知的边缘，让学生油然而生对新知学习的需求。
　　二、不露痕迹中理解新知
　　课堂的本体是儿童的学习，有效的数学学习必然建立在对儿童学习心理深度洞察的基础之上。小学阶段儿童的认知水平属于皮亚杰指出的“具体运算思维”阶段，其最大的特点是思维离不开具体事物的支持，这也导致小学儿童的感知、观察力和记忆均处于初步发展水平，其学习数学的动机和兴趣很不稳定。在这样的前提之下，儿童学习数学的过程，需要充分借助形象直观的教学手段，充分利用新旧知识的相互作用，以顺应儿童的学习心理，让儿童在不露痕迹中理解新知的意义。
　　案例二：《一位数乘两位数》的新知学习片段。
　　出示例题情境图让学生列式后，通过以下三个步骤，结合直观活动让学生探索一位数乘两位数的算理。
　　第一步，让学生观察直观图，让学生先分别计算右边筐里桃的个数（4×2=8）和左边筐里桃的个数（10×2=20），然后直观理解要把右边筐里的和左边筐里的桃相加，就可以算出一共有桃多少个（8＋20=28）。
　　第二步，让学生操作小棒，每个学生在动手活动中经历分别相乘再相加的算理。
　　第三步，结合学生的观察、操作和对照活动，逐步形成如下初始竖式（如下图）。
　　教学至此，如果按照一般惯例，直接由老师引导学生把上述初始竖式缩减为简化竖式的话，学生也是能够接受并模仿运算的，但是这却失去了一次帮助学生探索抽象算法、体验思维过程、积累活动经验的良好机会。因此，笔者教学时又做了如下三步设计。
　　第一步，让学生运用刚建立的竖式模型进行模仿计算（题目如下）。
　　第二步，组织学生观察例题的竖式和模仿的竖式，并提问：“这些算式有什么共同的地方？”有学生说：“它们都是两位数和一位数乘。”有学生说：“第一次乘下来都得一位数，第二次乘下来都得整十数。”有学生说：“得数个位上的数就是第一次乘得的数，十位上的数就是第二次乘的数。”有学生说：“相加时个位上0加一个数还得这个数，十位上的数也写了两次。”还有学生说：“这样写有点烦，有些地方好像不要写两次的。”……
　　第三步，在学生充分体验了竖式计算的过程之后，教师提出：“那怎样书写就可以更简便一些呢？”让学生讨论并由老师动态演示例题从初始竖式到简化竖式的过程，得到简化竖式（如上面的右图），并让学生自己动手，把刚才计算的三道初始竖式改写成简化竖式。