【利用法向量解立体几何中的几个常见问题】立体几何中的向量方法

　　摘 要：要在短时间内做好立体几何题，向量法是一种好的解题方法，本文就此展开了论述。 　　关键词：立体几何 解题 法向量 赋值法 　　 　　今年高考结束后，我班一名平时数学成绩较好的学生对我说:“立体几何题用了20分钟都没有做出。”听了她的话，我的第一反应是：完了，今年数学考砸了。我马上问其他学生，回答却恰好相反(几分钟就完成任务)。我再次详细了解，才知道，前者用的是传统方法，后者用的是向量方法。比较两种方法，不难发现，向量方法解题，不需添加辅助线，思路清楚，思维简单，而传统方法却不然。可见，要在短时间内做好立体几何题，向量的确是一种好的方法。下面是我在教学中的一点体会。
　　
　　一、确定好点的坐标是关键
　　
　　建立三维空间坐标系,确定好点的坐标,是做好立体几何题的关键。例如建立三维空间坐标系O-xyz,求A点的坐标,可设A(x,y,z)。则x→到平面yz的距离
　　y→到平面xz的距离
　　z→到平面xy的距离
　　特殊的:x轴上的点,y=z=0,y轴上的点,x=z=0，z轴上的点x=y=0。
　　解出法向量是理论基础。
　　1. 和平面α垂直的向量叫平面α的法向量。
　　
　　利用赋值法求出法向量。
　　
　　二、利用法向量求下列问题
　　
　　1． 点到平面的距离
　　方法:设P是平面α外一点, A是平面α内一点, 是平面α的一个法向量,则P到平面α的距离:
　　d= 。
　　
　　
　　意义：P到平面α的距离等于 乘以法向量的单位向量，
　　即d= 。
　　注: （1）距离非负，分子加绝对值是为了防止由向量方向所产生的负值。
　　（2）与法向量的大小无关。
　　2.异面直线的距离
　　
　　例1. P是边长为2的正方形ABCD外一点， PA⊥平面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB。
　　求：(1)D点到平面PCE的距离。
　　(2)异面直线PD，CE的距离。
　　解:以A点为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系A-xyz,则有P(0,0,2),D(0,2,0)，C(2,2,0),E(1,0,0)，
　　
　　3. 二面角的大小
　　方法:设 1， 2分别是平面α，β的法向量四边形ABCD对角互补。
　　即θ+A=π，则|cosθ|=|cos(π-A)|=|cosA|= 。
　　例2(2007陕西卷第2问)在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90° ，PA⊥面ABCD，PA=3，AD=2，AB=2 ，BC=6。
　　求：二面角P-BD-A的大小。
　　
　　4. 直线l与平面α所成角θ
　　方法: 为平面α的法向量,M为l与α的交点, P为l上不同于M的任一点，则sinθ＝ 。
　　例3.(2007天津卷)在四棱锥P-ABCD中, PA⊥底ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC中点。
　　(1)求PB和面PAD所成角α。
　　(2)求二面角A-PD-C的大小β。
　　解：以A为坐标原点，建立如图所示空间坐标系A-xyz，设PA=AB=BC=2，则AC=2，AD= ，B（0，2，0），C（ ，
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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