【一类轴对称问题参数范围的求法】 轴对称

　　【摘要】本文探究圆锥曲线上两点关于某直线对称求参数的取值范围问题，得出三个定理，完美简捷地解决这类对称问题参数范围的公式解法，并举例说明其定理的应用。　　【关键词】对称 范围 定理 应用
　　圆锥曲线上存在两点关于与坐标轴不平行的直线对称，求参数的取值范围，是平面解析几何中的一类难点问题。其解法繁杂、过程冗长。本文给出这类问题的几个结论，并举例说明它们的应用。
　　定理1 （i）椭圆〖SX(〗x2〖〗a2〖SX)〗+〖SX(〗y2〖〗b2〖SX)〗=1(a＞b＞0) 上存在两点A、B关于与坐标不平行的直线y=kx+m对称的条件是：m2(a2+k2b2)＜k2(a2-b2)2 。
　　（ii）椭圆〖SX(〗x2〖〗b2〖SX)〗+〖SX(〗y2〖〗a2〖SX)〗=1上存在两点A、B关于与坐标轴不平行的直线y=kx+m对称的条件是：m2(k2a2+b2)＜k2(a2-b2) 2
　　证明：（i）设A(x1,y1) ，B(x2,y2) ，则AB的中点为M(〖SX(〗x1+x2〖〗2〖SX)〗,〖SX(〗y1+y2〖〗2〖SX)〗) ，
　　依题设k≠0，x1≠x2,y1≠y2,且〖SX(〗x21〖〗a2〖SX)〗+〖SX(〗y21〖〗b2〖SX)〗 =1，〖SX(〗x22〖〗a2〖SX)〗 +〖SX(〗y22〖〗b2〖SX)〗=1
　　两式相减，得
　　〖SX(〗(x1+x2)(x1-x2)〖〗a2〖SX)〗+〖SX(〗(y1+y2)(y1-y2)〖〗b2〖SX)〗=0 ①
　　因为点A、B关于直线y=kx+m 对称，且AB的中点M在此直线上，所以
　　〖JB({〗〖SX(〗y2-y1〖〗x2-x1〖SX)〗·k=-1
　　〖SX(〗y1+y2〖〗2〖SX)〗=k·〖SX(〗x1+x2〖〗2〖SX)〗+m〖JB)〗
　　即〖JB({〗x1-x2=k(y2-y1) ②
　　k(x1+x2)=y1+y2-2m ③〖JB)〗
　　把②、③代入①，得
　　〖SX(〗k(y2-y1)(y1+y2-2m)〖〗a2〖SX)〗+〖SX(〗k(y1+y2)(y1-y2)〖〗b2〖SX)〗=0
　　即(b2-a2)(y1+y2)=2mb2
　　所以〖SX(〗y1+y2〖〗2〖SX)〗=-〖SX(〗mb2〖〗a2-b2〖SX)〗 ④
　　由③、④得 〖SX(〗x1+x2〖〗2〖SX)〗=-〖SX(〗ma2〖〗k(a2-b2)〖SX)〗
　　所以M点的坐标为(-〖SX(〗ma2〖〗k(a2-b2)〖SX)〗,-〖SX(〗mb2〖〗a2-b2〖SX)〗)
　　因为点M在椭圆内，所以〖SX(〗〖SX(〗m2a4〖〗k2(a2-b2)2〖SX)〗〖〗a2〖SX)〗 +〖SX(〗〖SX(〗m2b4〖〗(a2-b2)2〖SX)〗〖〗b2〖SX)〗＜1，
　　即m2(a2+k2b2)＜k2(a2-b2)2
　　（ii）证明同（i），在此略。
　　定理2 （i）双曲线〖SX(〗x2〖〗a2〖SX)〗-〖SX(〗y2〖〗b2〖SX)〗=1(a＞0，b＞0) 上存在两点A、B关于与坐标轴不平行的直线y=kx+m对称的条件
　　（1）当A、B两点在双曲线的同一支上时是： a2-k2b2＞0且 m2(a2-k2b2)＞k2(a2+b2)2
　　（2）当A、B两点在双曲线的相异两支上时是： a2-k2b2＜0且 m2(a2-k2b2)＜k2(a2+b2)2
　　(ii) 双曲线〖SX(〗x2〖〗a2〖SX)〗-〖SX(〗y2〖〗b2〖SX)〗=1(a＞0，b＞0) 上存在两点A、B关于与坐标轴不平行的直线y=kx+m对称的条件
　　（1）当A、B两点在双曲线的同一支上时是：k2a2-b2＞0 且m2(k2a2-b2)＞k2(a2+b2)2
　　（2）当A、B两点在双曲线的相异两支上时是：k2a2-b2＜0 且 m2(k2a2-b2)＜k2(a2+b2)2
　　定理3 （i）抛物线y2=2px(p≠0) 上存在两点A、B关于与坐标轴不平行的直线y=kx+m对称的条件
　　（1）当pk＞0 时是：pk(2+k2)+2m＜0 ；
　　（2）当pk＜0 时是：pk(2+k2)+2m＞0 。
　　（ii）抛物线x2=2py(p≠0)上存在两点A、B关于与坐标轴不平行的直线y=kx+m对称的条件
　　（1）当p＞0时是：2(m-p)k2＞p
　　（2）当p＜0时是： 2(m-p)k2＜p
　　定理2和定理3的证明同定理1在此不再赘述。
　　下面举例说明定理的应用。
　　例1:已知椭圆C：〖SX(〗x2〖〗2〖SX)〗+〖SX(〗y2〖〗3〖SX)〗=1 ，确定实数 的取值范围，使C上有两个不同的点关于直线y=4x+m对称。
　　解：因为a2=3,b2=2,k=4 ，由定理1(ii)得 m2(42×3+2)＜16×1
　　解得 -〖SX(〗2〖KF(〗2〖KF)〗〖〗5〖SX)〗＜m＜ 〖SX(〗2〖KF(〗2〖KF)〗〖〗5〖SX)〗
　　例2:若双曲线C：〖SX(〗x2〖〗4〖SX)〗-y2=1上存在两点关于直线y=k(x+3)(k≠0)对称，求实数k的取值范围。
　　解：因为a2=4,b2=1,m=3k，根据定理2(i)得