上号中考数学2019答案
上号中考数学2019答案_2019-2020年山东中考数学试卷(含答案)
2019-2020 年山东中考数学试卷一.选择题（本大题共 20 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来， 每小题选对得 3 分，选错,不选或选出的答案超过 一个，均记零分）题号 123456789 10答案题号 11 12 13 14 45 16 17 18 19 20答案一、选择题：（本大题共 20 题，每小题 3 分，共 60 分.在每小题给出的代号为 ABCD 四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1． ? ?3 的值为A. 3B. －31C.D. － 1332．下列各图是选自历届世博会徽中的图案，其中是中心对称图形的是ABCD3．在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是 5×10 ?5 cm ， 2 ?103 个这样的细胞排成的细胞链的长是A．10?2 cmB．10?1 cmC．10?3 cmD．10?4 cm4．将右图所示的直角梯形绕直线 l 旋转一周，得到的立体图形是ABCD5．自上海世博会开幕以来,中国馆以其独特的造型吸引了世人的目光.据预测,在会展期间，参观中国馆的人次数估计可达到 14 900 000，此数用科学记数法表示是A.1.49 ?106B. 0.149?108C.14.9 ?107D.1.49 ?1071 6．下列运算正确的是A． a ? a2 ? a2B． (ab)3 ? ab3C． (a 2 )3 ? a 6D． a10 ? a2 ? a57．如图，将一副三角板按图中的方式叠放，则角? 等于A． 75B． 60C． 45D． 308．如果 a ? 3b ? ?3，那么代数式 5 ? a ? 3b 的值是A．0B．2C．5D．89．计算 (?3)2 的结果是A．3B． ?3C． ?3D．910．右图是由五个完全相同的小正方体组合成的一个立体图形，则它的俯．视．图．是11．不等式组? 3x ? 2 > 2x ???(x ? 4) ≥1的解集在数轴上表示正确的是12．方程 x(x ?5) ? x 的解是A． x ? 0B． x ? 0 或 x ? 5C． x ? 6D． x ? 0 或 x ? 613．如图，正六边形螺帽的边长是 2cm，这个扳手的开口 a 的值应是A． 2 3 cmB． 3 cmC． 2 3 cm 3D．1cm14．从 1－9 这九个自然数中任取一个，是 2 的倍数的概率是2 A． 2 9B． 4 9C． 5 9D． 2 315．已知反比例函数 y= 2 ，则下列点中在这个反比例函数图象的上的是 xA．（－2，1）B．（1，－2）C．（－2，－2）D．（1，2）16．如图，四边形 ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的 条件是A． AB ? CDB． AD ? BCC． AB ? BCD． AC ? BD17．在一次信息技术考试中，某兴趣小组 8 名同学的成绩(单位：分)分别是：7，10，9，8，7，9，9，8，则这组数据的众数是A．7B．8C．9D．1018．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装裱手工画.下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相同，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是ABCD19．右图是根据某班 40 名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图.那么关于该班 40 名同学一周参加体育锻炼时间 的说法错．误．的是A．极差是 3B．中位数为 8C．众数是 8D．锻炼时间超过 8 小时的有 21 人20．如右图是夜晚小亮从点 A 经过路灯 C 的正下方沿直线走到点 B，他的影长 y 随他与点 A 之间的距离 x 的变化而变化，那么表示 y 与 x 之间的函数关系的图像大致为3 二、填空题（每小题 3 分，满分 12 分请将答案直接填在题中横线上）21．已知抛物线 y ? x2 ? bx ? c 的对称轴为 x ? 2 ，点 A，B均在抛物线上，且 AB 与 x 轴平行，其中点 A 的坐标为（0，3），则点 B 的坐标为．22．如图，AB 切⊙O 于点 A，BO 交⊙O 于点 C，点 D 是 CmA 异于点 C、A 的一点，若∠ABO= 32°,则∠ADC 的度数是.23．如图，直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD = 2，将腰 CD 以 D 为中心逆时针旋转 90°至 DE，连接 AE、CE，△ ADE 的面积为 3，则 BC 的长为．24．端午节时，王老师用 72 元钱买了荷包和五彩绳共 20 个．其中荷包每个 4 元，五彩绳每个 3 元，设王老师购买荷包 x 个，五彩绳 y 个，根据题意，可列出的方程组应为．三、解答题（本大题共 5 个小题） 25．（本题满分 8 分）进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与 驻军工程指挥官的一段对话:你们是用 9 天完成 4800 米 长的大坝加固任务的?我们加固 600 米后,采用新的加固模 式,这样每天加固长度是原来的 2 倍．4 通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.26．（本题满分 10 分） 如图，在△ABC 中，D 是 BC 边的中点，E、F 分别在 AD 及其延长线上， CE∥BF，连接 BE、CF． (1)求证：△ BDF≌△CDE； (2)当△ABC 满足什么条件时，四边形 BFCE 是菱形？5 27．（本题满分 10 分） 某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用 35 座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用 55 座客车，则可以少租一辆，且余 45 个空座位．（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数； （2）已知 35 座客车的租金为每辆 320 元，55 座客车的租金为每辆 400 元．根据租车资金不超过 1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共 4 辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所 需车辆的租金．6 28．（本题满分 10 分） 如图 1，在 Rt△ ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点 D 在边 AB 上运动，DE 平分∠CDB 交边 BC 于点 E，EM⊥BD 垂足为 M，EN⊥CD 垂足为 N.（1）当 AD＝CD 时，求证 DE∥AC； （2）探究：AD 为何值时，以 B，M，E 为顶点的三角形与以 C，E，N 为顶点的三角形相似？7 29．（本题满分 10 分） 我市是世界有机蔬菜基地，数 10 种蔬菜在国际市场上颇具竞争力．某种有机蔬菜上市时，某经销商 按市场价格 10 元/千克在我市收购了 2000 千克某种蔬菜存放入冷库中．据预测，该种蔬菜的市场价格 每天每千克将上涨 0.5 元，但冷库存放这批蔬菜时每天需要支出各种费用合计 340 元，而且这种蔬菜 在冷库中最多保存 110 天，同时，平均每天将 会有 6 千克的蔬菜损坏不能出售．（1）若存放 x 天后，将这批蔬菜一次性出售，设这批蔬菜的销售总金额为 y 元，试写出 y 与 x 之间的 函数关系式．（2）经销商想获得利润 22500 元，需将这批蔬菜存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本 －各种费用）（3）经销商将这批蔬菜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？8 参考答案一、选择题：1－5 BCBCD 6－10 CADAD 11－15 BDABD 16－20 DCDBA 二、填空题：21.（4,3） 三、解答题22. 29°23.524.? x? ??4x ?y 3? 20, y ? 7225.解：设原来每天加固 x 米，根据题意，得600 ? 4800 ? 600 ? 9 ……………………………………………………4 分x2x去分母，得 1200+4200=18x（或 18x=5400）解得 x ? 300检验：当 x ? 300 时， 2x ? 0 （或分母不等于 0）．∴ x ? 300 是原方程的解． 答：该地驻军原来每天加固 300 米．………………………………………8 分26.解：（1）证明：∵D 是 BC 的中点，∴BD=CD ∵CE∥BF，∴∠DBF=∠DCE 又∵∠BDF=∠CDE，∴△BDF≌△CDE………………………………3 分（2）当△ABC 是等腰三角形，即 AB＝AC 时，四边形 BFCE 是菱形………4 分 证明：∵△CDE≌△BDF，∴DE=DF ∵ BD=CD，∴四边形 BFCE 是平行四边形…………………………………7 分 在△ABC 中，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，即 EF⊥BC∴四 边形 BFCE 是菱形……………………………………………………10 分 27.解：（1）设单独租用 35 座客车需 x 辆，由题意得：35x ? 55(x ?1) ? 45解得： x ? 5∴ 35x ? 35?5 ?175（人） 答：该校八年级参加社会实践活动的人数为 175 人．………4 分 （2）设租 35 座客车 y 辆，则租 55 座客车（ 4 ? y ）辆，由题意得：?35y ??320? 55(4 ? y) y ? 400(4 ?≥175, y) ≤1500………………………………………7分解这个不等式组，得11 ≤ y ≤2 1 ．44∵y 取正整数，∴y = 2.∴4－y = 4－2 = 2.∴320×2＋400×2 = 1440（元）.所以本次社会实践活动所需车辆的租金为 1440 元．………………10 分28.（1）证明：∵AD=CD ∴∠DAC=∠DCA∴∠BDC=2∠DAC又∵DE 是∠BDC 的平分线∴∠DAC=∠BDE∴DE∥AC…………………… …………………………………………3 分（2）解：分两种情况：①若△ BME∽△CNE，必有∠MBE=∠NCE此时 BD=DC9 ∵DE 平分∠BDC ∴DE⊥BC，BE=EC 又∠ACB＝90° ∴DE∥ACBE ? BD BD ? 1 AB ? 1 AC2 ? BC2 ? 5∴ BC AB 即22∴AD=5…………………………………………………………………7 分②若△ BME∽△ENC，必有∠EBM=∠CEN此时 NE∥MC∵CD⊥NE，∴CD⊥AB∴ AD ? AC ? cos A ? AC ? BC ? 6? 8 ? 4.8 AB 10∴当 AD＝5 或 AD＝4.8 时，以 B，M，E 为顶点的三角形与以 C，E，N 为顶点的三角形相 似…… ……………… ……………………………………………………10 分29.解：（1）由题意得 y 与 x 之间的函数关系式为y ＝ ?10 ? 0.5x??2000 ? 6x?＝ ?3x2 ? 940x ? 20000 （1≤ x ≤110）……………………………………3 分 （2）由题意得： ?3x2 ? 940x ? 20000 －10×2000－340 x =22500解方程得： x1 =50； x2 =150（不合题意，舍去） 经销商想获得利润 2250 元需将这批蔬菜存放 50 天后出售. ………………6 分（3）设最大利润为W ，由题意得 W = ?3x2 ? 940x ? 20000 －10 ×2000－340 x ? ?3(x ?100)2 ? 30000?当 x ?100 时，W最大＝30000100 天＜110 天 ?存放 100 天后出售这批香菇可获得最大利润 30000 元．………………10 分10
上号中考数学2019答案_【2019年中考数学】上海市黄浦区2019届中考二模数学试题及答案
黄浦区 2019 年九年级模拟考 数 学 试 卷（考试时间：100 分钟 总分：150 分）2019 年 4 月一、选择题： （本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】 1．下列实数中，介于2 3 与 之间的是（ ） 3 2（B） 3 ； （C）（A） 2 ；22 ； 7（D） ? ．2．下列方程中没有实数根的是（ ）2 （A） x ? x ? 1 ? 0 ； 2 （B） x ? x ? 1 ? 0 ；2 （C） x ? 1 ? 0 ；2 （D） x ? x ? 0 ．3．一个反比例函数与一个一次函数在同一坐标平面内的图像如图示，如果其中的反比例函数解析式为y?k ，那么该一次函数可能的解析式是（ ） x（B） y ? kx ? k ；（A） y ? kx ? k ；（C） y ? ?kx ? k ；（D） y ? ?kx ? k ．4．一个民营企业 10 名员工的月平均工资如下表，则能较好反映这些员工月平均工资水平的是（ ） 人次 工资 1 30 1 3 1 2 2 1.5 1 1.2 1 2 3 0.9 （工资单位： 万元） （A）平均数； （B）中位数； （C）众数； （D）标准差． 5．计算： AB ? BA ? （ ）（A） AB ；（B） BA ； ）（C） 0 ；（D）0．6．下列命题中，假命题是（（A）如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦； （B）如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦； （C）如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦； （D）如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧． 二、填空题： （本大题共 12 题，每题 4 分，满分 49 分）9．化简：1 = 2 ?1．9．因式分解： x 2 ? x ? 12 ?．9．方程 x ? 1 ? 2 x ? 5 的解是．1 ? 2x ? ? 0 ? ? 3 10．不等式组 ? 的解集是 ?1 x ? 3 ? 0 ? ?2.11．已知点 P 位于第三象限内，且点 P 到两坐标轴的距离分别为 2 和 4，若反比例函数图像经过点 P， 则该反比例函数的解析式为 ． ．12．如果一次函数的图像经过第一、二、四象限，那么其函数值 y 随自变量 x 的值的增大而 （填“增大”或“减小”）13．女生小琳所在班级共有 40 名学生，其中女生占 60%.现学校组织部分女生去市三女中参观，需要从 小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，那么小琳被抽到的概率是 14．已知平行四边形相邻两个内角相差 40° ，则该平行四边形中较小内角的度数是 15．半径为 1 的圆的内接正三角形的边长为 ． ． ． 16． 如图， 点 D、 E 分别为△ABC 边 CA、 CB 上的点， 已知 DE∥AB， 且 DE 经过△ABC 的重心， 设 CA ? a ， ，则 DE ? C B? b ． （用 a 、 b 表示）19．如图，在四边形 ABCD 中， ?ABC ? ?ADC ? 90?，AC ? 26，BD ? 24 ，M、N 分别是 AC、BD 的中点，则线段 MN 的长为 ．（第 16 题）（第 19 题）（第 19 题）19．如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 翻折到点 E 处，如果 DE∶AC=1∶3， 那么 AD∶AB= ．三、解答题： （本大题共 9 题，满分 99 分） 19． （本题满分 10 分） 计算： 2 ? 22?1 3 2? ??2018 ? 2018 ? 3 ? 2 3 .?020． （本题满分 10 分）解方程组： ?? x 2 ? 2 xy ? y 2 ? 9 ? . 2 2 ? ?x ? y ? 5 21． （本题满分 10 分） 如图，AH 是△ABC 的高，D 是边 AB 上一点，CD 与 AH 交于点 E.已知 AB=AC=6，cosB= AD∶DB=1∶2. （1）求△ABC 的面积； （2）求 CE∶DE.2 ， 322． （本题满分 10 分） 今年 1 月 25 日，上海地区下了一场大雪.这天早上王大爷去买菜，他先去了超市，发现蔬菜普遍涨 价了， 青菜、 花菜和大白菜这两天的价格如下表.王大爷觉得超市的菜不够新鲜， 所以他又去了菜市场， 他花了 30 元买了一些新鲜菠菜， 他跟卖菜阿姨说： “你今天的菠菜比昨天涨了 5 元/斤。
”卖菜阿姨说： “下雪天从地里弄菜不容易啊，所以你花这些钱要比昨天少买 1 斤了。”王大爷回答道：“应该的，你 们也真的辛苦。” 青菜 1 月 24 日 1 月 25 日 2 元/斤 2.5 元/斤 花菜 5 元/斤 9 元/斤 大白菜 1 元/斤 1.5 元/斤（1）请问超市三种蔬菜中哪种涨幅最大？并计算其涨幅； （2）请你根据王大爷和卖菜阿姨的对话，来算算，这天王大爷买了几斤菠菜？ 23． （本题满分 12 分） 如图，点 E、F 分别为菱形 ABCD 边 AD、CD 的中点. （1）求证：BE=BF； （2）当△BEF 为等边三角形时，求证：∠D=2∠A.24． （本题满分 12 分） 已知抛物线 y ? x ? bx ? c 经过点 A（1,0）和 B（0,3） ，其顶点为 D.2（1）求此抛物线的表达式； （2）求△ABD 的面积； （3）设 P 为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴 右侧，作 PH⊥对称轴，垂足为 H，若△DPH 与△AOB 相 似，求点 P 的坐标. 25． （本题满分 14 分） 如图，四边形 ABCD 中，∠BCD=∠D=90° ，E 是边 AB 的中点.已知 AD=1，AB=2. （1）设 BC=x，CD=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域； （2）当∠B=90° 时，求∠AEC 的度数； （3）当△ACE 为直角三角形时，求边 BC 的长.黄浦区 2019 年九年级学业考试模拟考评分标准参考一、选择题（本大题 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 1.A ； 2.B ； 3.B； 4.B； 5.C； 6.C.二、填空题： （本大题共 12 题，每题 4 分，满分 49 分） 9． 2 ? 1 ；9． ? x ? 3?? x ? 4? ；9．2；10．1 ? x?6； 611． y ?8 ； x12．减小；13．1 ； 2414．90；15． 3 ；16.2 2 b? a． ； 3 319．5；19． 2 ∶1．三、解答题： （本大题共 9 题，满分 99 分） 19．解：原式= 12 ? 1 ? 2 3 ? 3 —————————————————————（6 分）??= 2 3 ? 1 ? 2 3 ? 3 ————————————————————————（2 分） =4————————————————————————————————（2 分） 20. 解：由（1）得： x ? y ? ?3 ——————————————————————（3 分）代入（2）得： y 2 ? 3 y ? 2 ? 0 ———————————————————（3 分） 解得： y1 ? ?1， y2 ? ?2 ， y3 ? 1 ， y4 ? 2 —————————————（2 分）所以方程组的解为： ?? x3 ? ?2 ? x4 ? ?1 ? x1 ? 2 ? x2 ? 1 ，? ，? ，? ————（2 分） ? y1 ? ?1 ? y2 ? ?2 ? y3 ? 1 ? y4 ? 221. 解： （1）由 AB=AC=6，AH⊥BC， 得 BC=2BH.—————————————————————————（2 分） 在△ABH 中，AB=6，cosB=2 ，∠AHB=90°， 3得 BH=2 ? 6 ? 4 ，AH= 62 ? 42 ? 2 5 ，————————————（2 分） 3则 BC=9， 所以△ABC 面积=1 ? 2 5 ? 8 ? 8 5 .——————————————（1 分） 2（2）过 D 作 BC 的平行线交 AH 于点 F，———————————————（1 分） 由 AD∶DB=1∶2，得 AD∶AB=1∶3， 则CE CH BH AB 3 ? ? ? ? . DE DF DF AD 1——————————————（4 分）22. 解： （1） ?1.5 ?1? ?1 ? 50%.—————————————————————（2 分） 答：大白菜涨幅最大，为 50%. —————————————————————（1 分） （2）设买了 x 斤菠菜，———————————————————————（1 分） 则30 30 ? ? 5 ，——————————————————————（3 分） x x ?1化简得： x 2 ? x ? 6 ? 0 ——————————————————————（1 分） 解得： x1 ? 2 ， x2 ? ?3 （不合题意，舍去）—————————————（1 分） 答：这天王大爷买了 2 斤菠菜. —————————————————————（1 分） 23. 证： （1）∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AB=BC=AD=CD，∠A=∠C，——————————————————（2 分） 又 E、F 是边的中点， ∴AE=CF，——————————————————————————（1 分） ∴△ABE≌△CBF———————————————————————（2 分） ∴BE=BF. ——————————————————————————（1 分） （2）联结 AC、BD，AC 交 BE、BD 于点 G、O. ——————————（1 分） ∵△BEF 是等边三角形, ∴EB=EF， 又∵E、F 是两边中点， ∴AO=1 AC=EF=BE.——————————————————————（1 分） 2又△ABD 中，BE、AO 均为中线，则 G 为△ABD 的重心， ∴ OG ?1 1 AO ? BE ? GE , 3 3∴AG=BG，——————————————————————————（1 分） 又∠AGE=∠BGO， ∴△AGE≌△BGO，———— ——————————————————（1 分） ∴AE=BO，则 AD=BD， ∴△ABD 是等边三角形，—— —————————————————（1 分） 所以∠BAD=60°，则∠ADC=120°， 即∠ADC=2∠BAD. ——— ——————————————————（1 分）24. 解： （1）由题意得： ??0 ? 1 ? b ? c ，———————————————————（2 分） ?3 ? c解得： ??b ? ?4 ，—————————————————————————（1 分） ?c ? 3所以抛物线的表达式为 y ? x2 ? 4x ? 3 . ——————————————（1 分） （2）由（1）得 D（2，﹣1） ，———————————————————（1 分） 作 DT⊥y 轴于点 T, 则△ABD 的面积=1 1 1 ? 2 ? 4 ? ?1? 3 ? ? ?1 ? 2 ? ?1 ? 1 .————————（3 分） 2 2 22 （3）令 P p, p ? 4 p ? 3?? ? p ? 2 ? .————————————————（1 分）由△DPH 与△AOB 相似，易知∠AOB=∠PHD=90°，所以p2 ? 4 p ? 3 ? 1 p2 ? 4 p ? 3 ? 1 1 ?3或 ? ，————————————（2 分） p?2 p?2 37 ， 3解得： p ? 5 或 p ?所以点 P 的坐标为（5,9） ，??7 8? , ? ? .————————————————（1 分） ?3 9? 25. 解： （1）过 A 作 AH⊥BC 于 H，————————————————————（1 分） 由∠D=∠BCD=90°，得四边形 ADCH 为矩形. 在△BAH 中，AB=2，∠BHA=90°，AH=y，HB= x ? 1 ，22 2 所以 2 ? y ? x ? 1 ，——————————————————————（1 分）则y?? x2 ? 2x ? 3? 0 ? x ? 3? .———————————————（2 分）（2）取 CD 中点 T，联结 TE，————————————————————（1 分） 则 TE 是梯形中位线，得 ET∥AD，ET⊥CD. ∴∠AET=∠B=90°. ———————————————————————（1 分） 又 AD=AE=1， ∴∠AED=∠ADE=∠DET=35°. ——————————————————（1 分） 由 ET 垂直平分 CD，得∠CET=∠DET=35°，————————————（1 分） 所以∠AEC=90°＋35°=105°. ——————————————————（1 分） （3）当∠AEC=90°时， 易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30°， 则在△ABH 中，∠B=60°，∠AHB=90°，AB=2， 得 BH=1，于是 BC=2. ——————————————————————（2 分） 当∠CAE=90°时， 易知△CDA∽△BCA，又 AC ?BC2 ? AB2 ? x2 ? 4 ，则AD CA 1 ? ? ? AC CB x2 ? 4x2 ? 4 1 ? 17 （舍负）—————（2 分） ?x? x 2易知∠ACE<90°.所以边 BC 的长为 2 或1 ? 17 .——————————————————（1 分） 2
上号中考数学2019答案_2019年上海市静安区中考数学一模试卷
2019 年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分） 1． （4 分）化简（﹣x ） 的结果是（ A．﹣x6 3 2） C．x6B．﹣x5D ．x ）252． （4 分）下列抛物线中，顶点坐标为（2，1）的是（ A．y＝（x+2） +12B．y＝（x﹣2） +12C．y＝（x+2） ﹣1D．y＝（x﹣2） ﹣1 ）23． （4 分）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝3，那么 AC 等于（ A．3sinα B．3cosα C． D．4． （4 分）点 P 把线段 AB 分割成 AP 和 PB 两段，如果 AP 是 PB 和 AB 的比例中项，那么 下列式子成立的是（ A． ＝ ） B． ＝ C． ＝ D． ＝5． （4 分）如图，点 D、E 分别在△ABC 的边 AB、AC 上，且 DE 与 BC 不平行．下列条件 中，能判定△ADE 与△ACB 相似的是（ ）A．＝B．＝ ）C．＝D．＝6． （4 分）下列说法不正确的是（ A．设 为单位向量，那么| |＝1B．已知 、 、 都是非零向量，如果 ＝2 ， ＝﹣4 ，那么 ∥ C．四边形 ABCD 中，如果满足 AB∥CD，| 形 D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分） 7． （4 分）不等式 2x﹣1＞0 的解是 8． （4 分）方程 ＝ 的根是 ． ． |＝| |，那么这个四边形一定是平行四边第 1 页（共 23 页） 9． （4 分）已知 ＝ ，那么的值是．10． （4 分）△ABC∽△A1B1C1，其中点 A，B，C 分别与点 A1，B1，C1 对应，如果 AB：A1B1 ＝2：3，AC＝6，那么 A1C1＝ ． ． （用“∠1，∠2，∠3 或∠4”表11． （4 分）如图，在点 A 处测得点 B 处的仰角是 示）12． （4 分）如图，当小明沿坡度 i＝1： 度 BC＝ 米．的坡面由 A 到 B 行走了 6 米时，他实际上升的高13． （4 分）抛物线 y＝ax +（a﹣1） （a≠0）经过原点，那么该抛物线在对称轴左侧的部分 是 的． （填“上升”或“下降” ） ＝ ，214． （4 分）如图 4，AD∥BC，AC、BD 相交于点 O，且 S△AOD：S△BOC＝1：4．设 ＝ ，那么向量 ＝ ． （用向量 、 表示）15． （4 分）在中△ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，G 是重心，那么 G 到斜边 AB 中点 的距离是 ．216． （4 分）抛物线 y＝ax （a≠0）沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物 线叫做原抛物线的“同簇抛物线” ．如果把抛物线 y＝x 沿直线 y＝x 向上平移，平移距离 为 时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是 ．217． （4 分） 如图， 梯形 ABCD 中， AB∥CD， BE∥AD， 且 BE 交 CD 于点 E， ∠AEB＝∠C． 如第 2 页（共 23 页） 果 AB＝3，CD＝8，那么 AD 的长是．18． （4 分）如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 所在直线翻折后，点 A 与点 E 重合，且 ED 交 BC 于点 F，连接 AE．如果 tan∠DFC＝ ，那么 的值是 ．三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分） 19． （10 分）计算：20． （10 分）先化简，再求值： （2﹣）÷，其中 x＝2．21． （10 分）已知：如图，反比例函数的图象经过点 A、P，点 A（6， ） ，点 P 的横坐标 是 2． 抛物线 y＝ax +bx+c （a≠0） 经过坐标原点， 且与 x 轴交于点 B， 顶点为 P． 求： （1） 反比例函数的解析式； （2）抛物线的表达式及 B 点坐标．222． （10 分）2018 年首届“进博会”期间，上海对周边道路进行限速行驶．道路 AB 段为监 测区，C、D 为监测点（如图） ．已知 C、D、B 在同一条直线上，且 AC⊥BC，CD＝400第 3 页（共 23 页） 米，tan∠ADC＝2，∠ABC＝35°． （1）求道路 AB 段的长； （精确到 1 米） （2）如果 AB 段限速为 60 千米/时，一辆车通过 AB 段的时间为 90 秒，请判断该车是否超 速，并说明理由． （参考数据：sin35°≈0.57358，cos35°≈0.8195，tan35°≈0.7）23． （12 分）已知：如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 BC 和 AB 上，且 AD＝AC，EB ＝ED，分别延长 ED、AC 交于点 F． （1）求证：△ABD∽△FDC； （2）求证：AE ＝BE?EF．224． （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中（如图） ，已知抛物线 y＝ax +bx+c（a≠0）的图象经 过点 B （4，0） 、D （5，3） ，设它与 x 轴的另一个交点为 A（点 A 在点 B 的左侧） ，且 △ABD 的面积是 3． （1）求该抛物线的表达式； （2）求∠ADB 的正切值； （3）若抛物线与 y 轴交于点 C，直线 CD 交 x 轴于点 E，点 P 在射线 AD 上，当△APE 与 △ABD 相似时，求点 P 的坐标．2第 4 页（共 23 页） 25． （14 分）已知：如图，在△ABC 中，AB＝6，AC＝9，tan∠ABC＝2．过点 B 作 BM∥AC，动点 P 在射线 BM 上（点 P 不与 B 重合） ，联结 PA 并延长到点 Q，使∠AQC＝∠ ABP． （1）求△ABC 的面积； （2）设 BP＝x，AQ＝y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围； （3）连接 PC，如果△PQC 是直角三角形，求 BP 的长．第 5 页（共 23 页） 2019 年上海市静安区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分） 1． （4 分）化简（﹣x ） 的结果是（ A．﹣x6 3 2） C．x6B．﹣x5D ．x5【分析】原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可求出值． 【解答】解：原式＝x ， 故选：C． 【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2． （4 分）下列抛物线中，顶点坐标为（2，1）的是（ A．y＝（x+2） +12 6）2B．y＝（x﹣2） +12C．y＝（x+2） ﹣1D．y＝（x﹣2） ﹣12【分析】根据各个选项中的函数解析式可以直接写出它们的顶点坐标，从而可以解答本题． 【解答】解：y＝（x+2） +1 的顶点坐标是（﹣2，1） ，故选项 A 不符合题意， y＝（x﹣2） +1 的顶点坐标是（2，1） ，故选项 B 符合题意， y＝（x+2） ﹣1 的顶点坐标是（﹣2，﹣1） ，故选项 C 不符合题意， y＝（x﹣2） ﹣1 的顶点坐标是（2，﹣1） ，故选项 D 不符合题意， 故选：B． 【点评】 本题考查二次函数的性质， 解答本题的关键是明确题意， 利用二次函数的性质解答． 3． （4 分）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝3，那么 AC 等于（ A．3sinα B．3cosα C． D． ）2 2 2 2【分析】根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：∵∠A＝α，AB＝3， ∴cosα＝ ，∴AC＝AB?cosα＝3cosα， 故选：B． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，熟记三角函数的定义是解题的关键． 4． （4 分）点 P 把线段 AB 分割成 AP 和 PB 两段，如果 AP 是 PB 和 AB 的比例中项，那么 下列式子成立的是（ ）第 6 页（共 23 页） A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样 的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（ ）叫做黄金比．【解答】解：∵点 P 把线段 AB 分割成 AP 和 PB 两段，AP 是 PB 和 AB 的比例中项， ∴根据线段黄金分割的定义得： 故选：D． 【点评】考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决 问题的关键． 5． （4 分）如图，点 D、E 分别在△ABC 的边 AB、AC 上，且 DE 与 BC 不平行．下列条件 中，能判定△ADE 与△ACB 相似的是（ ） ＝ ．A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解． 【解答】解：在△ADE 与△ACB 中， ∵ ＝ ，且∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB． 故选：A． 【点评】此题考查了相似三角形的判定： （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形 相似； （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 6． （4 分）下列说法不正确的是（ A．设 为单位向量，那么| |＝1第 7 页（共 23 页）） B．已知 、 、 都是非零向量，如果 ＝2 ， ＝﹣4 ，那么 ∥ C．四边形 ABCD 中，如果满足 AB∥CD，| 形 D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 【分析】根据单位向量的定义，向量平行的定义以及平行四边形的判定进行判断． 【解答】解：A、设 为单位向量，那么| |＝1，故本选项说法正确． B、已知 、 、 都是非零向量，如果 ＝2 ， ＝﹣4 ，那么 、 方向相反，则 ∥ ， 故本选项说法正确． C、四边形 ABCD 中，如果满足 AB∥CD，| 是平行四边形，故本选项说法错误． D、由平面向量的平行四边形法则可以推知，平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个 不平行向量的方向上分解，故本选项说法正确． 故选：C． 【点评】此题考查了平面向量的知识，属于基础题，解答本题的关键是明确平面向量的表示 形式，难度一般． 二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分） 7． （4 分）不等式 2x﹣1＞0 的解是 x＞ 【分析】先移项，再系数化为 1 即可． 【解答】解：移项，得 2x＞1， 系数化为 1，得 x＞ ． 【点评】注意移项要变号． 8． （4 分）方程 ＝ 的根是 x＝﹣1 ． ． |＝| |即 AD＝BC，不能判定这个四边形一定 |＝| |，那么这个四边形一定是平行四边【分析】按分式方程的解法，去分母化分式方程为整式方程求解即可． 【解答】解：方程的两边都乘以（x﹣1） ，得 x ＝1 所以 x＝±1． 当 x＝1 时，x﹣1＝0，所以 1 不是原方程的根； 当 x＝﹣1 时，x﹣1＝﹣2≠0，所以﹣1 是原方程的根．第 8 页（共 23 页）2 所以原方程的解为：x＝﹣1． 故答案为：x＝﹣1． 【点评】本题考查了分式方程的解法．题目比较简单，解分式方程易忘记检验而出错． 9． （4 分）已知 ＝ ，那么 的值是 ．【分析】直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案． 【解答】解：∵ ＝ ， ∴设 x＝2a，则 y＝5a， 那么 ＝ ＝ ．故答案为： ． 【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出 x，y 的值是解题关键． 10． （4 分）△ABC∽△A1B1C1，其中点 A，B，C 分别与点 A1，B1，C1 对应，如果 AB：A1B1 ＝2：3，AC＝6，那么 A1C1＝ 9 ． 【分析】根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，AB：A1B1＝2：3， ∴ ＝ ＝ ，∵AC＝6， ∴ ＝∴A1C1＝9， 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键． 11． （4 分）如图，在点 A 处测得点 B 处的仰角是 ∠4 示） ． （用“∠1，∠2，∠3 或∠4”表【分析】根据仰角的定义即可得到结论．第 9 页（共 23 页） 【解答】解：在点 A 处测得点 B 处的仰角是∠4， 故答案为：∠4． 【点评】 本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角和俯角， 熟记仰角和俯角的定义是解题的关 键． 12． （4 分）如图，当小明沿坡度 i＝1： 度 BC＝ 3 米． 的坡面由 A 到 B 行走了 6 米时，他实际上升的高【分析】根据坡度的概念求出∠A，根据直角三角形的性质解答． 【解答】解：∵i＝1： ∴tanA＝ ＝ ， ，∴∠A＝30°， ∴BC＝ AB＝3（米） ， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、坡 度坡角的概念是解题的关键． 13． （4 分）抛物线 y＝ax +（a﹣1） （a≠0）经过原点，那么该抛物线在对称轴左侧的部分 是 下降 的． （填“上升”或“下降” ） 【分析】根据抛物线 y＝ax +（a﹣1） （a≠0）经过原点，从而可以求得 a 的值，进而得到 该抛物线在对称轴左侧的部分是上升还是下降，本题得以解决． 【解答】解：∵抛物线 y＝ax +（a﹣1） （a≠0）经过原点， ∴0＝a×0 +（a﹣1） ，得 a＝1， ∴y＝x ， ∴该函数的顶点坐标为（0，0） ，函数图象的开口向上， ∴该抛物线在对称轴左侧的部分是下降的， 故答案为：下降． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确 题意，利用二次函数的性质解答．第 10 页（共 23 页）2 2 2 2 2 14． （4 分）如图 4，AD∥BC，AC、BD 相交于点 O，且 S△AOD：S△BOC＝1：4．设 ＝ ，那么向量 ＝ + ． （用向量 、 表示）＝ ，【分析】根据已知条件得到△ADO∽△CBO，根据相似三角形的性质得到2＝（）＝ ，得到＝ ，求得＝ ，根据已知条件得到＝ + ，于是得到结论．【解答】解：∵AD∥BC， ∴△ADO∽△CBO， ∴ ＝（ ）＝ ，2∴ ∴ ∵ ∴ ∴＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ + ， ＝ ＝ + + ． ， ＝ ，故答案为：【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平面向量，熟练掌握相似三角形的判定和性 质是解题的关键． 15． （4 分）在中△ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，G 是重心，那么 G 到斜边 AB 中点 的距离是 ．【分析】根据勾股定理可求得 AB＝10，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可 得 CD＝5，最后根据重心的性质可求 DG． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝ ＝10，第 11 页（共 23 页） ∵CD 为 AB 边上的中线， ∴CD＝ AB＝5， ∵点 G 是重心， ∴DG＝ CD＝ ． 故答案为： ．【点评】 本题考查的是三角形的重心的概念和性质， 掌握三角形的重心到顶点的距离是它到 对边中点的距离的 2 倍是解题的关键． 16． （4 分）抛物线 y＝ax （a≠0）沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物 线叫做原抛物线的“同簇抛物线” ．如果把抛物线 y＝x 沿直线 y＝x 向上平移，平移距离 为 时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是 y＝（x﹣1） +1 ． 则相当于抛物线 y＝ax （a≠0）向右平移 12 2 2 2【分析】沿直线 y＝x 向上平移，平移距离为个单位，向上平移 1 个单位，即可得到平移后抛物线的表达式． 【解答】解：∵抛物线 y＝x 沿直线 y＝x 向上平移，平移距离为 （a≠0）向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位， ∴根据平移的规律得到： “同簇抛物线”的表达式是 y＝（x﹣1） +1． 故答案为：y＝（x﹣1） +1． 【点评】本题考查了二次函数的几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以 求平移后的抛物线解析式只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 17． （4 分） 如图， 梯形 ABCD 中， AB∥CD， BE∥AD， 且 BE 交 CD 于点 E， ∠AEB＝∠C． 如 果 AB＝3，CD＝8，那么 AD 的长是 ．2 2 2，相当于抛物线 y＝ax2【分析】根据平行四边形的判定得到四边形 ABED 是平行四边形，由平行四边形的性质得第 12 页（共 23 页） 到 BE＝AD，DE＝AB＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵AB∥CD，BE∥AD， ∴四边形 ABED 是平行四边形， ∴BE＝AD，DE＝AB＝3， ∵CD＝8， ∴CE＝CD＝DE＝5， ∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠BEC， ∵∠AEB＝∠C， ∴△AEB∽△BCE， ∴ ∴ ∴BE＝ 故答案为： ， ， ， ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质， 正确的识别图形是解题的关键． 18． （4 分）如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 所在直线翻折后，点 A 与点 E 重合，且 ED 交 BC 于点 F，连接 AE．如果 tan∠DFC＝ ，那么 的值是 ．【分析】根据矩形的性质得到 BC＝AD，∠DAB＝∠C＝90°，AD∥BC，根据折叠的性质 得到 DE＝AD，∠BED＝∠DAB＝90°，∠ADB＝∠BDE，设 CD＝BE＝2x，CF＝EF＝ 3x，根据勾股定理得到 BF＝CF＝ 根据勾股定理得到 BD＝ ，求得 AE＝2AH＝ ＝ ＝ x，求得 BC＝（ +3）x，x，根据三角形的面积公式得到 AH＝，于是得到结论．【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，第 13 页（共 23 页） ∴BC＝AD，∠DAB＝∠C＝90°，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵矩形 ABCD 沿对角线 BD 所在直线翻折后，点 A 与点 E 重合， ∴DE＝AD，∠BED＝∠DAB＝90°，∠ADB＝∠BDE， ∴∠DBF＝∠FDB， ∴BF＝DF， ∴EF＝CF， ∵tan∠DFC＝∠BFE＝ ， ∴设 CD＝BE＝2x，CF＝EF＝3x， ∴BF＝CF＝ ∴BC＝（ ∴BD＝ ∵AE⊥BD， ∴AH＝ ∴AE＝2AH＝ ∴ ＝ ＝ ， ， ＝ ， +3）x， ＝ x， ＝ x，故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题） ，矩形的性质，解直角三角形，正确的识别图形 是解题的关键． 三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分） 19． （10 分）计算： 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．第 14 页（共 23 页） 【解答】解：原式＝＝ ＝ ＝3﹣2 ．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 20． （10 分）先化简，再求值： （2﹣ ）÷ ，其中 x＝2．【分析】 根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 x 的值代入化简后的式子即 可解答本题． 【解答】解： （2﹣ ＝ ＝ ＝ ＝ ， ． ）÷当 x＝2 时，原式＝【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． 21． （10 分）已知：如图，反比例函数的图象经过点 A、P，点 A（6， ） ，点 P 的横坐标 是 2． 抛物线 y＝ax +bx+c （a≠0） 经过坐标原点， 且与 x 轴交于点 B， 顶点为 P． 求： （1） 反比例函数的解析式； （2）抛物线的表达式及 B 点坐标．2第 15 页（共 23 页） 【分析】 （1）设反比例函数的解析式为：y＝ ，把点 A（6， ）代入，得到关于 k 的一元 一次方程，解之得到 k 的值，即可得到答案， （2）把 x＝2 代入（1）的解析式，得到点 P 的坐标，根据抛物线过坐标原点，利用待定系 数法，求得抛物线的表达式，把 y＝0 代入抛物线的表达式，解之即可得到答案． 【解答】解： （1）设反比例函数的解析式为：y＝ ， 把点 A（6， ）代入得： ＝ ， 解得：k＝8， 即反比例函数的解析式为：y＝ ， （2）把 x＝2 代入 y＝ 得： y＝ ＝4， 即点 P 的坐标为： （2，4） ， 设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2） +4， 把点 O（0，0）代入得： 4a+4＝0， 解得：a＝﹣1， 即抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2） +4， 把 y＝0 代入得： ﹣（x﹣2） +4＝0， 解得：x1＝0，x2＝4， 即 B 点的坐标为： （4，0） ．第 16 页（共 23 页）2 2 2 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，二 次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，抛物线 与 x 轴的交点，解题的关键： （1）正确掌握待定系数法求反比例函数解析式， （2）正确 掌握待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线解析式，求抛物线与 x 轴的交点． 22． （10 分）2018 年首届“进博会”期间，上海对周边道路进行限速行驶．道路 AB 段为监 测区，C、D 为监测点（如图） ．已知 C、D、B 在同一条直线上，且 AC⊥BC，CD＝400 米，tan∠ADC＝2，∠ABC＝35°． （1）求道路 AB 段的长； （精确到 1 米） （2）如果 AB 段限速为 60 千米/时，一辆车通过 AB 段的时间为 90 秒，请判断该车是否超 速，并说明理由． （参考数据：sin35°≈0.57358，cos35°≈0.8195，tan35°≈0.7）【分析】 （1） 由 AC⊥BC， 得到∠C＝90°， 根据三角函数的定义得到 AC＝800， 在 Rt△ABC 中根据三角函数的定义得到 AB＝ （2）求得该车的速度＝ ＝ ≈1395 米；＝55.8km/h＜60 千米/时，于是得到结论．【解答】解： （1）∵AC⊥BC， ∴∠C＝90°， ∵tan∠ADC＝ ∵CD＝400， ∴AC＝800， 在 Rt△ABC 中，∵∠ABC＝35°，AC＝800， ∴AB＝ ＝ ≈1395 米； ＝2，（2）∵AB＝1395， ∴该车的速度＝ 故没有超速． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是掌握三角函数定义．第 17 页（共 23 页）＝55.8km/h＜60 千米/时， 23． （12 分）已知：如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 BC 和 AB 上，且 AD＝AC，EB ＝ED，分别延长 ED、AC 交于点 F． （1）求证：△ABD∽△FDC； （2）求证：AE ＝BE?EF．2【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得到∠ADC＝∠ACD，∠B＝∠BDE，根据三角形的外 角的性质得到∠BAD＝∠F，于是得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到 【解答】证明： （1）∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD， ∵BE＝DE， ∴∠B＝∠BDE， ∵∠BDE＝∠CDF， ∴∠CDF＝∠B， ∵∠BAD＝∠ADC﹣∠B，∠F＝∠ACD﹣∠CDF， ∴∠BAD＝∠F， ∴△ABD∽△FDC； （2）∵∠EAD＝∠F，∠AED＝∠FEA， ∴△AED∽△FEA， ∴ ＝2＝，等量代换即可得到结论．，∴AE ＝DE?EF， ∵BE＝DE， ∴AE ＝BE?EF． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的 判定和性质是解题的关键． 24． （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中（如图） ，已知抛物线 y＝ax +bx+c（a≠0）的图象经第 18 页（共 23 页）2 2 过点 B （4，0） 、D （5，3） ，设它与 x 轴的另一个交点为 A（点 A 在点 B 的左侧） ，且 △ABD 的面积是 3． （1）求该抛物线的表达式； （2）求∠ADB 的正切值； （3）若抛物线与 y 轴交于点 C，直线 CD 交 x 轴于点 E，点 P 在射线 AD 上，当△APE 与 △ABD 相似时，求点 P 的坐标．【分析】 （1）设 A（m，0） ，由△ABD 的面积是 3 可求得 m＝2，再利用待定系数法求解可 得； （2）作 DF⊥x 轴，BF⊥AD，由 A，B，D 坐标知 DF＝AF＝3，据此可求得 AD＝3 DAF＝45°，继而可得 AE＝BE＝ ，DE＝2 ，∠，再依据正切函数的定义求解可得；（3）先求出直线 AD 解析式为 y＝x﹣2，直线 BD 解析式为 y＝3x﹣12，直线 CD 解析式为 y＝﹣x+8，①△ADB∽△APE 时 BD∥PE，此条件下求得 PE 解析式，连接直线 PE 和直 线 AD 解析式所得方程组，解之求得点 P 坐标；②△ADB∽△AEP 时∠ADB＝∠AEP， 依据 tan∠ADB＝tan∠AEP＝ 求解可得． 【解答】解： （1）设 A（m，0） ， 则 AB＝4﹣m， 由△ABD 的面积是 3 知 （4﹣m）×3＝3， 解得 m＝2， ∴A（2，0） ， 设抛物线解析式为 y＝a（x﹣2） （x﹣4） ， 将 D（5，3）代入得：3a＝3，解得 a＝1， ∴y＝（x﹣2） （x﹣4）＝x ﹣6x+8；第 19 页（共 23 页）2 （2）如图 1，过点 D 作 DF⊥x 轴于点 F，∵A（2，0） ，B（4，0） ，D（5，3） ， ∴DF＝3，AF＝3， 则 AD＝3 ，∠DAF＝45°，过点 B 作 BE⊥AD 于 E， 则 AE＝BE＝ ∴DE＝2 ， ＝ ＝ ； ，∴tan∠ADB＝（3）如图 2，由 A（2，0） ，D（5，3）得直线 AD 解析式为 y＝x﹣2， 由 B（4，0） ，D（5，3）可得直线 BD 解析式为 y＝3x﹣12， 由 C（0，8） ，D（5，3）可得直线 CD 解析式为 y＝﹣x+8， 当 y＝0 时，﹣x+8＝0，解得 x＝8，第 20 页（共 23 页） ∴E（8，0） ， ①若△ADB∽△APE，则∠ADB＝∠APE， ∴BD∥PE， 设 PE 所在直线解析式为 y＝3x+m， 将点 E（8，0）代入得 24+m＝0，解得 m＝﹣24， ∴直线 PE 解析式为 y＝3x+24， 由 得 ，∴此时点 P（11，9） ； ②若△ADB∽△AEP，则∠ADB＝∠AEP， ∴tan∠ADB＝tan∠AEP＝ ， 设 P（n，n﹣2） ，过点 P 作 PG⊥AE 于点 G， 则 OG＝n，PG＝n﹣2， ∴GE＝8﹣n， 由 tan∠AEP＝ ∴P（4，2） ； 综上，P（11，9）或（4，2） ． 【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握三角形的面积公式、待定系数法求 二次函数和一次函数的解析式、一次函数和二次函数的交点问题等知识点． 25． （14 分）已知：如图，在△ABC 中，AB＝6，AC＝9，tan∠ABC＝2 ．过点 B 作 BM ＝ ＝ 求得 n＝4，∥AC，动点 P 在射线 BM 上（点 P 不与 B 重合） ，联结 PA 并延长到点 Q，使∠AQC＝∠ ABP． （1）求△ABC 的面积； （2）设 BP＝x，AQ＝y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围； （3）连接 PC，如果△PQC 是直角三角形，求 BP 的长．第 21 页（共 23 页） 【分析】 （1）确定∠PBA＝∠BAC＝α＝∠AQC 后，用解直角三角形的方法，求出 AH 和 BC 长即可求解； （2）证明△ABP∽△CQA，利用 ，即可求解； ＝ ，（3）连接 PC，△PQC 是直角三角形，即∠PCQ＝90°，利用 cos∠PQC＝cosα＝ 即可求解． 【解答】解： （1）过点 A 作 AH⊥BC 交于点 H，∵BM∥AC，∠PBA＝∠BAC＝α＝∠AQC， tan∠ABC＝2 ＝tanα，则 sinα＝2，cosα＝ ，2 2设：BH＝a，则 AH＝2 2a，则 AB ＝AH +BH ， ，即：36＝a +8a ，解得：a＝2，即 BH＝2，AH＝ CH＝ ＝2，则 BC＝BH+CH＝9＝AC，∴∠ABC＝∠BAC＝α， S△ABC＝ AH?BC＝ × ×9＝18 ；（2）过点 A 作 AG⊥PA 交于点 G， ∵∠PBA＝∠CBA＝α，AH⊥BC， ∴BG＝BH＝2，AG＝AH＝ PG＝x﹣2，AP＝ ， ＝ ，∵∠QAC+∠PAB＝180﹣α，∠PAB+∠APB＝180°﹣α， ∴∠QAC＝∠APB，又∠AQC＝∠ABP， ∴△ABP∽△CQA， ∴ ， ，AC＝9，其中：AB＝6，BP＝x，QA＝y，AP＝第 22 页（共 23 页） CQ＝，y＝（x＞0） ；（3）连接 PC，△PQC 是直角三角形，即∠PCQ＝90°， cos∠PQC＝cosα＝ 其中 CQ＝ ＝ …①， ，，PQ＝AP+AQ＝y+AP，AP＝把 CQ、PA、AP 代入①式整理得： 解得：x＝9， 即 BP 的长为 9． 【点评】本题为三角形综合题，重点是确定三角形相似，利用解直角三角形和三角形相似的 方法，求出对应线段长度是解题的关键，本题难度较大．声明：试题解析著 作权属菁优网 所有，未经书 面同意，不得 复制发布日期：2019/3/7 1 2:55:44； 用户：余丝雨 ；邮箱：91857 0268@qq.com；学号 ：5643138第 23 页（共 23 页）