[一道数列不等式压轴题的推广及其证明探究] 等比数列公式

　　摘 要:本文拟对一道高考数列不等式压轴题推广的放缩法证明过程详细剖析,进一步揭示该类问题的内在本质,体验放缩转化技巧. 　　关键词:数列不等式;压轴题;放缩法
　　
　　在近年来的高考和竞赛中,数列不等式常以压轴题的形式出现,因其思维跨度大、构造性强,需要较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性. 对学生来说,不等式在哪里放缩、怎样放缩、放缩多少等问题都是难以处理的. 下面笔者拟将2006年福建省高考压轴题(部分):
　　证明--?摇①.
　　注意到右边放缩是分式放大(通过缩小分母实现较方便),那么左边的不等式(即①式)能否通过缩小分子实现分式缩小呢?经过尝试,得到了方法1.
　　方法1由==-≥-得+…+≥n•-++…+=-•>-,命题①得证.
　　方法2由方法1得到了=-,从而发现①式可转化为等价命题+…+n•,下面若能证明n•>③,则n•>-,①式即可得证. 而③式等价于k(kn-1)>kn+1-1即k,化简后即需证明++…+>,从而得方法3.
　　方法3由n维均值不等式,得++…+≥n•>n•=n•=,即+++…+>,①式得证.
　　注方法3通过观察式子特征,变形后利用n维均值不等式进行放缩,简洁明快,方法比前2种更为巧妙,值得细加揣摩.
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