立体几何与圆锥曲线的结合【立体几何中圆锥曲线类型的判定】

　　摘要：立体几何中圆锥曲线类型的判定主要利用转化的数学思想方法：将三维的立体几何中轨迹问题转化成平面几何中圆锥曲线类型的判定. 常用的方法有：（1）定义法；（2）轨迹方程法；（3）交轨法. 若所求的点的轨迹所在的平面与空间直角坐标平面垂直或平行则可运用“轨迹法”求出该点的轨迹方程，再结合平面解析几何中的圆锥曲线方程的类型即可判断. 否则只能利用平面解析几何中的圆锥曲线的定义加以判断. 特殊的可用“交轨法”.
　　关键词：转化的数学思想方法；定义法；轨迹方程法；交轨法
　　
　　在现行的高中教材中，立体几何与解析几何是互相独立的两章，彼此分离不相联系. 实际上，从空间维数看，平面几何是二维的，立体几何是三维的，立体几何由平面几何升维而产生；从立体几何与解析几何的联系看，解析几何中的直线是空间二个平面的交线，圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）是平面截圆锥面所产生的截线；从轨迹的观点看，空间中的曲面（曲线）是空间中动点运动的轨迹. 因此，立体几何中圆锥曲线类型的判定主要利用转化的数学思想方法：将三维的立体几何中轨迹问题转化成平面几何中圆锥曲线类型的判定. 常用的方法有：（1）定义法；（2）轨迹方程法；（3）交轨法.
　　例1（2004重庆）若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到平面BCD的距离与到棱AB的距离相等，如图1，则动点P的轨迹与△ABC组成的图形可能是（）
　　
　　图1
　　
　　
　　解析设二面角A-BC-D的大小为θ，作PR⊥平面BCD，R为垂足，PQ⊥BC于Q，PT⊥AB于T，则∠PQR=θ，且由条件PT=PR=PQ•sinθ，所以==sinθ为小于1的常数，可知PTME，所以e==>1，
　　所以M点的轨迹是以C为焦点，AD为准线的双曲线，故无答案.
　　误解分析
　　e===不是定值，不符合圆锥曲线的第二定义.
　　正解1（轨迹法）如图5，过M作ME⊥AD于E，连结PE. 则ME⊥PE，以E为坐标原点，EA，EM，EP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系. 设M（x，y，0），AB=2，则P（0，0，），C（-1，2，0）. 由MP=MC得
　　x2+y2+3=（x+1）2+（y－2）2
　　即x－2y+1=0，故选A.
　　正解2（交轨法）连结PC，因为MP=MC，所以M点的轨迹是PC的垂直平分面与平面ABCD的交线. 故选A.
　　例2如图6，正方体ABCD-A1B1C1D1的面BCC1B1内有一点M，满足∠MD1D=∠BD1D，则点M的轨迹为（）的一部分.
　　A. 圆 B. 椭圆?摇
　　C. 双曲线 D. 抛物线
　　
　　解法1（轨迹法）以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系. 设AB=1，M（x，1，z），则D1（0，0，1）， B（1，1，0）?摇，
　　所以=（0，0，－1)，=（1，1，-1），=（x，1，z－1）.
　　又 ∠MD1D=∠BD1D为锐角，
　　所以cos〈，〉=cos〈，〉.
　　所以=，
　　即2（z－1）2－x2=1，故选C.
　　解法2因为∠MD1D=∠BD1D，
　　所以点M的轨迹是以D1为顶点，D1D为对称轴，D1B为母线的圆锥面与面BCC1B1的交线，且面BCC1B1∥DD1，如图7所示，故选C.
　　
　　图7
　　说明若所求的点的轨迹所在的平面与空间直角坐标平面垂直或平行则可运用“轨迹法”求出该点的轨迹方程，再结合平面解析几何中的圆锥曲线方程的类型即可判断. 否则只能利用平面解析几何中的圆锥曲线的定义加以判断. 特殊的可用“交轨法”.
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