[对函数图像教学进行设计，加深学生对数学的理解] 数学函数图像

　　函数图像的变化是高中数学的一个重要内容，教材基本上是通过具体函数图像的变化使学生直观感知平移、放缩和对称等图像变化规律，没有强调对其数学本质的理解，初衷是为了降低难度，减轻学生负担．教学实践中，却发现学生对一些简单的函数图像变化问题也会反复出错，面临有些新颖的问题（如求函数y=�lg�(x+1)的图像绕坐标原点O逆时针旋转π2后所得图像的函数）则是束手无策．究其因，根源在于学生的认知只停留在直观感知水平，于是只能机械地记忆和模仿套用实验结论，难以认识到函数图像变化的数学本质，也就无法形成在高中数学中不断出现的函数和方程图像变化的统一认识．学生机械记忆学习的结果是经常因为遗忘或记忆混乱而导致错误反复发生，学习负担不是降低，而是加重了．�
　　笔者在教学实践中，逐渐摸索出了一套函数图像变化的螺旋式上升的教学方法，它能使学生逐渐理解函数图像变化的数学本质，形成高中函数和方程图像变化的统一认识，实践证明学生是容易接受的．这可以分成五个发展阶段．�
　　1 直观感知�
　　初中对函数图像平移变化的初步学习只能限于直观感知水平．�
　　2 对称关系数学本质的认识�
　　在学习新课程人教A版必修一的函数章节时，可以精心设计一系列的问题来引导学生逐渐认识函数图像对称变化的数学本质．�
　　2．1奇偶性的教学设计�
　　(1) 要求学生对函数y=x�2描点、画图，观察其对称性，并进一步引导发现其性质：对任意的�
　　x∈R，都有f(－x)=f(x)．�
　　(2) 质疑：如果反过来，函数f(x)具有性质f(－x)=f(x)，其图像一定会关于y轴对称吗？�
　　(3) 直观验证：举例（如函数y=x�2+1x�2）并用几何画板作图演示，使学生直观感知其对称性．�
　　(4) 质疑：为什么有f(－x)=f(x)的性质，函数f(x)的图像就会关于y轴对称？�
　　分析：先例举一些具体的对称点，丰富学生的感性认知，然后提高到下面的理性认识：f(－x)=f(x)�函数f(x)图像上的任一点P(x,f(x))关于y轴的对称点P′(－x,f(x)=f(－x))也在f(x)的图像上�函数f(x)的图像关于y轴对称．�
　　这体现了由函数图像上微观的一般点的性质来推断函数图像的整体性质的数学思想方法．�
　　(5) 引出偶函数的定义，强调前提条件是定义域关于原点对称．�
　　(6) 练习、巩固：判断下列函数是否为偶函数？（题略）．其中安排一个函数f(x)=x�3的判断，用以作为下一个问题的引例．�
　　(7) 质疑：函数f(x)=x�3具有性质f(－x)=－f(x)，它是否也有对称性呢？�
　　引导学生类比偶函数进行推导，然后还要通过几何画板作图演示等方法来丰富学生的感性认识．�
　　上述教学体现了由感性升华到理性，理性推导的结果再通过感性的体验来巩固的设计思路．�
　　2．2 引申推广�
　　教学完函数的奇偶性后，可以进一步质疑：如果函数f(x)图像上的任一点P(x,y)关于直线�x=a�的对称点P′(2a－x,y)也在f(x)的图像上，则f(x)具有怎样的几何和代数性质？由此得出：f(x)=f(2a－x)�f(x)的图像关于直线x=a对称．�
　　2．3 两对称和自对称�
　　(1)在学习指数函数，研究了函数y=2�x与�y=(12)�x�的对称关系后，进一步质疑：如何推出与下列函数关于y轴对称的函数？�
　　① y=x+1；②y=x�2+1；�
　　③y=x�2－2x+1；④y=2��x+1��
　　分析：应用一般点的对称性来推断函数图像的对称性的方法，得出，�
　　因为P(x,y)�P′(－x,y)�
　　所以y=x+1�y=(－x)+1=－x+1（两对称）�
　　y=x�2+1�y=(－x)�2+1=x�2+1（自对称，即偶函数）�
　　y=x�2－2x+1�y=�
　　(－x)�2－2(－x)+1=�
　　x�2+2x+1（两对称）�
　　y=2��x+1��y=2��－x+1�（两对称）�
　　推出结果后，再用几何画板作图验证．�
　　(2)在学习对数函数，研究了函数y=�log��x�2与y=�log��x��12�的对称关系后，进一步质疑：�
　　A．如何推出与下列函数关于x轴对称的函数？�
　　①y=x+1； ②y=x�2+1；�
　　③y=x�2－2x+1； ④y=2��x+1��
　　B．如何推出与下列函数关于原点对称的函数？�
　　① y=x+1； ② y=x�2－2x；③ y=�log��x�2；�
　　④ y=1x（自对称，即奇函数）�
　　C．如何推出与下列函数关于直线x=1对称的函数？�
　　① y=x+1；② y=x�2－2x；�
　　③ y=�log��x�2；④ y=2�x�
　　解：因为P(x,y)�P′(2－x,y)�
　　所以y=x�2－2x�y=(2－x)�2－�
　　2(2－x)=x�2－2x（自对称）�
　　y=�log��x�2�y=�log���(2－x)��2（两对称），其余略．�
　　通过这一系列对象、形式的变化，而数学思想方法不变的问题的研究，学生可以透彻地理解和掌握函数图像对称的数学本质以及根据一般点的对称性来推断函数图像的对称性的方法．�
　　3坐标变换�
　　3．1 解惑�
　　在必修四的三角函数y=A�sin�(ωx+φ)的多媒体直观演示得出结论后，进一步质疑：为什么是这样的结论？x与y怎会呈现相反的变化呢？�
　　y=�sin�x向左平移2个单位y=�sin�(x+2)；�
　　y=�sin�x横坐标缩小为原来的一半y=�sin�2x�
　　y=�sin�x向上平移2个单位y=�sin�x+2；�
　　y=�sin�x纵坐标扩大为原来的2倍y=2�sin�x�
　　分析(1)：遵循前面对称关系的方法．例如，因为P(x,y)向左平移2个单位P′(x－2,y)，所以如果点P在函数y=�sin�x的图像上，则当x′=x－2时，y′=�sin�(x′+2)=�sin�(x－2+2)=�sin�x=y，即点P′在函数y=�sin�(x+2)的图像上．�
　　分析(2)：用坐标变换法更加简明．例如，对函数y=�sin�(x+2)+2，先转化为y－2=�sin�(x+2)，再设x+2=x′�y－2=y′ ，则把y=�sin�(x+2)+2转化成最基本的简单函数y′=�sin�x′，且x=x′－2�y=y′+2 ，两函数间的坐标变化关系就显而易见了，并由此可知x、y的变化原理实质是相同的．�
　　3．2 应用�
　　对函数y=2�sin�(2x+π3)－1，先转化为y+12=�sin�(2x+π3)，再设2x+π3=x′�y+12=y′ ，则把y=2�sin�(2x+π3)－1转化成最基本的简单函数y′=�sin�x′，且x=12x′－π6�y=2y′－1 ，所以应把函数�y=�sin�x�图像上所有点的横坐标缩小为原来的一半，再向左平移π6个单位．又因为x=12(x′－π3)，所以还能采取先向左平移π3个单位，再把图像上所有点的横坐标缩小为原来的一半的方法．�
　　3．3 统一�
　　函数图像的对称变化也可以使用坐标变换的方法．例如，对函数y=－e��－x�，先转化为－y=e��－x�，再换元，设－y=y′�－x=x′ ，则把－y=e��－x�转换成最基本的简单函数y′=e��x′�，且y=－y′�x=－x′ ，所以y′=e��x′�图像上的点P′(x′,y′)和y=－e��－x�图像上的对应点P(x,y)关于原点对称，以致两函数图像关于原点对称． �
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 　　所以，函数图像变化的实质是对应点坐标的变换，可以使用坐标变换来研究所有的函数图像变化的问题．要注意的是，如果出现了函数变量符号的变化，则发生了对称变化，直接用对称点的变化来研究函数图像的对称变化有时会显得更加方便．�
　　4 函数和方程图像变化的统一�
　　学习完圆锥曲线的标准方程后，可以进一步研究此类方程(x+1)�216±(y－2)�29=1，y+2=4(x－1)�2与其对应的最简标准方程的图像的关系．�
　　只要使用坐标变换，这类问题都轻松解决．例如，对抛物线y+2=4(x－1)�2，可设x－1=x′�y+2=y′，即可得y′=4x′�2，且x=x′+1�y=y′－2 ．显然，只要把抛物线y=4x�2的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位就可以得到y+2=4(x－1)�2的图像．抛物线y′=4x′�2的焦点为F′(1,0)，由坐标关系x=x′+1=1+1=2�y=y′－2=0－2=－2 ，就准确无误地推出抛物线y+2=4(x－1)�2的焦点为F(2,－2)．�
　　坐标变换还是求动点轨迹方程的一种常用方法．例如，已知定点A(4,0)，点B在圆x�2+y�2=1上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．可设M(x,y)、B(x′,y′)，则有x′+4=2x�y′+0=2y �x′=2x－4�y′=2y ，代入x′�2+y′�2=1得(2x－4)�2+(2y)�2=1，化简得(x－2)�2+y�2=14，即所求动点M的轨迹方程．�
　　至此，函数与方程图像的变化已完全统一为坐标变换（或言变量替换），学生对图像的变化达到了融会贯通的掌握，即使对下面的高考题，学生也容易做出．�
　　（2004年，上海，理15）若函数f(x)的图像可由函数y=�lg�(x+1)的图像绕坐标原点O逆时针旋转π2得到，则f(x)等于（）．�
　　（�A�） 10��－x�－1 （�B�） 10�x－1�
　　（�C�） 1－10��－x�（�D�） 1－10�x�
　　分析：设点P′(x′,y′)是函数y=�lg�(x+1)的图像上任一点，其绕原点O逆时针旋转π2后得到点P(x,y)，点P必在y=f(x)上，则x=－y′�y=x′ �y′=－x�x′=y ，代入y′=�lg�(x′+1)，整理得�
　　y=f(x)=10��－x�－1．�
　　5 二阶矩阵与几何变换�
　　高中数学新课程的选修ⅠC由13个专题组成，其中选修4-2是“矩阵和变换”．在这个专题，可以学习利用二阶矩阵进行坐标变换，改进原来的坐标变换形式，并可进一步学习旋转变换．至此，高中学生对几何变换的数学本质和变换手段都有了比较全面的了解．�
　　函数图像变化的螺旋上升式教学设计的主导思想是遵循学生的认知规律，逐步引导学生深入理解图像变化的数学本质，并以其数学思想方法的领会为核心的教学目的，所以要求所用的例子或练习题以简单为好，避免人为的繁杂，只要能体现图像变化的数学思想和方法就行．这样用一种数学思想为主线就把教材中零散的内容重新整合成一个系列发展的统一体，思想内容丰富了，学生对之有了融会贯通的理解，避免了死记硬背，他们的学习负担就不增反降了．所以，不适当地把学生的认识停留在直观感性阶段，不但丧失了“数学味”，而且可能导致机械学习而增加学生的学习负担．布鲁纳（1982）��［1］�曾提出一个为以往经验所证明的假设：“任何学科都能够用在智育上是正确的方式，有效地教给任何发展阶段的任何儿童．”所以只要能循序渐进、螺旋上升地精心设计好教学过程，同样可以使学生理解比较复杂、抽象的数学思想．�
　　蔡上鹤��［2］�认为，数学课程改革的矛盾不在知识点的多少,我国数学教材的知识点在世界上是最少而考试是最难的，就是证明．我国中学数学难度高主要就是因为考试难以及数学教学在一些知识点上挖得太深了，而且许多是人为的技巧和繁杂，缺乏思想性，这是没有意义的．数学思想方法是数学的灵魂和精华，它应成为数学教学的一个出发点和归宿．
　　
　　参考文献�
　　1 张奠宙等编．数学教育研究导引．江苏教育出版社，1998�
　　2蔡上鹤. 中国教育学会中学数学教学专业委员会第九届年会课程教材改革专题组讨论情况,www.省略
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