中考数学压轴题 [解析分类讨论思想在２００８年中考题中的运用]

　　在数学中，常常要根据研究对象的性质差异，分别对各种不同的情况予以分析，这种分类的方法就是分类讨论法.由于分类讨论题覆盖知识点较多、方式多样，具有较高的逻辑性和综合性，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；因此，在近几年的中考命题中经常用到这种数学思想方法．
　　用分类讨论思想解题时首先要明确研究的对象，然后进行合理分类，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”
　　一、与数学概念、定义有关的分类讨论题
　　A．0B．1
　　C．2D．-2
　　分析：因为aｂ≠0，所以aｂ＞0或aｂ＜0.若aｂ＞0，则可能出现两种情况：a＞0，ｂ＞0或者a＜0，ｂ＜0；若aｂ＜0，则又可能出现两件情况：a＞0，ｂ＜0或者a＜0，ｂ＞0．
　　解：（1）若aｂ＞0，
　　∴可能出现的结果有0，2，-2．故选B.
　　这个标准分类，做到不重不漏才能准确解决这类问题．
　　例2：（2008年湖北省）两圆半径分别为2和5，若两圆相切，则圆心距为.
　　分析：两圆相切有内切和外切两种情况.所以本题要求两圆相切时的圆心距，就是分类讨论两圆内切和两圆外切时求圆心距．
　　解：（1）当两圆内切时，圆心距为5-2=3；
　　（2）当两圆外切时，圆心距为7；
　　所以应填3或7.
　　评注：本题考查两圆相切的概念：两圆相切包括内切和外切，所以分两种情况讨论，不理解概念很容易造成漏解.
　　二、涉及数学定理、公式适用范围的分类讨论题
　　例3：（2008年湖南省）当ｍ是什么整数时，关于ｘ的一元二次方程ｍｘ2-4ｘ+4=0与ｘ2-4ｍｘ+4ｍ2-4ｍ-5=0的根都是整数．
　　分析：本题要求两个一元二次方程的根都是整数，首先应根据一元二次方程的定义，二次项系数不为零（这也是学生解决诸如此类问题中最易忽略的错误，应引起重视）；其次是有根，则b2-4ac≥0；通过以上两点就可确定ｍ的取值范围．最后再由ｍ是整数，在ｍ的范围内找出ｍ的值，并验证两个一元二次方程的根都是整数．
　　解：由于给出的关于ｘ的方程是一元二次方程，
　　∴二次项系数不为零，即ｍ≠0．
　　又由于方程均有实根，由方程ｍｘ2-4ｘ+4=0，得b2-4ac=（-4）2-4ｍ×4≥0，解得ｍ≤1.
　　又∵ ｍ是整数，∴ｍ=-1或1．
　　当ｍ=-1时，
　　∴方程ｍｘ2-4ｘ+4=0的根不是整数，故ｍ=-1舍去．
　　当ｍ=1时，程ｍｘ2-4ｘ+4=0可化为ｘ2-4ｘ+4=0，
　　解这个方程可得，ｘ1=ｘ2=2；
　　方程ｘ2-4ｍｘ+4ｍ2-4ｍ-5=0可化为ｘ2-4ｘ-5=0，
　　解这个方程可得，ｘ1=5，ｘ2=-1．
　　∴由以上讨论知，ｍ=1时，一元二次方程ｍｘ2-4ｘ+4=0与ｘ2-4ｍｘ+4ｍ2-4ｍ-5=0的根都是整数．
　　评注：本题虽然是一道分类讨论题，但问题中还涉及到求不等式（组）的取值范围，尤其是对一元二次方程二次项系数的考查，更是抓住了学生的易错点．在中考的复习过程中，有意识地训练这类问题，不仅能培养学生分类讨论的思想，更重要的是，它能培养学生细心、耐心的品质，养成全面分析问题和解决问题的能力．
　　三、依据题意需要进行讨论的分类讨论题
　　例4：（2008年四川省）已知关于ｘ的函数ｙ=（a2+3a+
　　分析：函数图像与ｘ轴总有交点，就是当ｙ=0时方程总有实根，由于题中未明确指出是一次函数还是二次函数，因此应分两种情况讨论．
　　解：①当a2+3a+2=0时，a=-1或a=-2，
　　∵a≠-1且a≠-2，
　　∴当a＜-1且a≠-2时，该二次函数的图像与x轴有两个交点.
　　次函数还是二次函数，所以要分一次函数和二次函数两种情况来讨论．
　　例5：（2008年云南省）直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于 .
　　分析：由于题目中“直角三角形的两条边长分别为6和8”，没有指明这两条边是直角边还是斜边，故要分6和8是直角边、斜边来讨论．由于6＜8，所以6为斜边不成立，故分6、8是直角三角形的两条直角边和6是这个三角形的直角边，8是斜边两种情况来讨论．
　　解：①当6、8是直角三角形的两条直角边时，斜边长为10.
　　②当6是这个三角形的直角边，8是斜边时，
　　综合①②知，这个三角形的外接圆半径等于5或4．
　　评注：这是一道比较基础却很典型的分类讨论题，关键是要注意题设中的“两条边长”．
　　例6：（2008年黑龙江省）在△ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD2=BD・DC，则∠BCA的度数为．
　　 分析：由于问题中“AD是BC边上的高”没有说明点D是在边BC上，还是在边BC的延长线上，故要分点D在边BC上和边BC的延长线上两种情况来讨论．
　　解：①如图1，当点D在边BC上时，
　　 ∵AD是BC边上的高，并且AD2=BD・DC，
　　∴△ADC∽△BDA，
　　∴∠CAD=∠B=25°，
　　∴∠BCA=90°-∠CAD
　　=90°-25°=65°；
　　 ②如图2，当点D在BC的延长线上时，
　　 ∵AD是BC边上的高，并且AD2=BD・DC，
　　 ∴△ADC∽△BDA，∴∠CAD=∠B=25°，
　　 ∠BCA=∠D+∠CAD=90°+25°=115°．
　　 ∴由①②可知，∠BCA的度数为65°或115°．
　　评注：这是一道非常容易出错的题目，很多同学由于看惯了图1所示的图形而漏解．
　　从以上三题可以看出：一些难度并不很大的题目频频出现错误，很多时候就是由于缺乏分类思想才导致的.这就要求学生在中考复习中注重研究性学习与探究能力的培养，通过观察、猜想、验证、推理等数学活动，形成自己对数学知识尤其是数学方法的理解，这类问题才能迎刃而解．
　　 四、涉及几何元素位置变化的分类讨论题
　　 例7：（2008年山东省）如图3，已知Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=5．过点A作AE⊥AB，且AE=15，连接BE交AC于点P．（1）求PA的长；（2）以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断与⊙A是否相切，并说明理由；（3）如图4，过点C作CD⊥AE，垂足为D．以点A为圆心，r为半径作⊙A；以点C为圆心，R为半径作⊙C．若r和R的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切，且使D点在⊙A的内部，B点在⊙A的外部，求r和R的变化范围．
　　分析：（1）由于∠CAB=30°，BC=5故在Rt△ABC中，可求出AC的长为10，借助AE∥BC，可求出AP与PC的比值，从而可求出PA的长；（2）由于点P在⊙A，故要判断BE与⊙A是否相切，就是要说明AP是否与BE垂直，当AP⊥BE时，化过程中保持⊙A和⊙C相切，圆心距AC=r+R=10，故分内切和外切两种情况来求R的变化范围．
　　 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=5,
　　 ∴AC=2BC=10．
　　 ∵AE//BC，△APE∽△CPB．
　　 ∴PA∶PC=AE∶BC=3∶1.
　　 （2）BE与⊙A相切．
　　 又∵∠PAB=30°，∠ABE+∠PAB=90°，
　　∴∠APB=90°,∴BE与⊙A相切．
　　评注：问题的第（3）小题涉及圆的位置关系分类讨论，须分内切和外切两种情况加以讨论，这就要求学生在解这类问题时一定要注意认真读题、审题，本题中“相切”两字是正确解题的关键词．
　　例8：（2008年浙江省）如图5，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A（3，0），
　　出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
　　分析：（1）（2）略；（3）主要考查学生的分类讨论能力. 由于△OBA为直角三角形，若△POB与△OBA相似，则△POB一定是直角三角形．因为问题中没有明确说明△POB的三个顶点P、O、B哪个是直角顶点，所以要分P、O、B分别是直角顶点来进行讨论，而△POB与△OBA相似的直角对应边也可改变，因此，还要分△POB与△OBA的直角边之间的相互对应进行第二次讨论．
　　③如图7，过点P作OP⊥BC于点P，此时△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30°.
　　过点P作PM⊥OA于点M．
　　当∠POB为直角时，点P在ｘ轴上，不符合要求.
　　综合以上可得，符合条件的点有四个，分别是：
　　评注：本题作为中考的压轴题是一道极具典型意义的试题，表面上来看很简单，就是根据边和角的对应关系进行分类讨论.省略
　　编辑/张烨
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