“梯形的中位线”教学设计 什么是梯形中位线

　　一、设计思想 　　 　　1.教材分析 　　“梯形的中位线”是苏教版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级（上册）第三章§3.6 三角形、梯形的中位线第二课时，是在学习了三角形中位线性质等知识的基础上提出的.梯形中位线性质是梯形的重要性质，是今后有关计算和论证的重要依据.作为性质教学课，对培养学生科学的思维方法和分析问题、解决问题的能力有非常重要的作用.
　　2.学情分析
　　学生已经初步掌握了三角形中位线的性质及其应用，以此作为新知识的生长点.让学生多探索，多动脑，促进学生间的相互合作、交流.性质的探究过程是对学生分析问题和解决问题能力的综合考查，而八年级学生类比、猜想、分析、归纳的思维方法和运用数学思想的意识比较薄弱，预见能力和抗挫折能力较欠缺，自学较困难.
　　3.教学策略
　　“梯形的中位线”这节课是安排在“三角形的中位线”之后，教材反映在字面上的内容较少，仅一个操作、一个概念、一个性质、一个例题而已，为了创造性地使用教材，扩大学生的知识容量和思维容量，有效地培养学生的创新能力，我抓住“三角形可以看作上底为0的梯形”这一知识生长点，通过类比、变式的方法，设计富有探究性的问题系列，力求形成“创设情境――建立模型――实验探究――推理论证――解释应用与拓展”的探究性教学过程.
　　
　　二、教学目标
　　
　　1.探索并掌握梯形中位线的概念、性质.
　　2.会利用梯形中位线的性质解决有关问题.
　　3.经历探索梯形中位线性质的过程，渗透转化、类比、运动与变化等数学思想，培养学生分析、类比、猜想、归纳等思维方法.
　　4.通过梯形中位线性质的推理论证，引导学生独立思考、合作交流，培养学生的自主意识、合作精神，增强学生学习的自信心和克服困难的意志力.
　　
　　三、教学重、难点
　　
　　重点：梯形的中位线性质及其应用.
　　难点：梯形的中位线性质的推理论证.
　　
　　四、 教学准备
　　
　　多媒体课件、含有梯形中位线的梯形硬纸片.
　　
　　五、 教学过程
　　
　　1.设计“最近发展区”，类比引入梯形中位线
　　（几何画板：如图1，投影△ABC及其中位线EF.）
　　师：请看图1，什么叫三角形的中位线？它有哪些性质？从位置和数量上回答.
　　生：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.
　　（几何画板：如图2，动画演示点D从点A出发，沿BC方向向右平移，△ABC变化为梯形ABCD，点F也随之向右平移，得到图3.）
　　师：数学中的很多图形都是相互关联的，由动画演示，三角形可以看作上底为0的三角形.观察图3，通过类比，你认为应该给线段EF取个什么名字合适？
　　生：梯形的中位线.
　　师：数学中的概念是不能仅靠观察来描述，类比三角形中位线的定义，我们应该怎样给梯形的中位线下定义呢？
　　生：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.
　　师：我们今天就来学习梯形的中位线.
　　（板书课题：梯形的中位线.）
　　[设计意图：改变课本直接给出定义的做法，抓住三角形可以看作是特殊的梯形（上底为0）这一点，在复习三角形中位线的概念及其性质的基础上，巧妙地借助几何画板的动态演示，通过类比、扩展，让学生给梯形的中位线下定义，并为下一步探索梯形中位线性质埋下伏笔，符合知识“最近发展区”的主动建构过程.]
　　2.构建数学模型，观察猜想性质
　　师：同学们一定有很多业余爱好，大家下过跳棋吗？
　　生：下过.（课件：出示跳棋棋盘图.）
　　师：棋盘上的各个点之间是等距离的，行与行之间是平行的，我们不妨把两个点之间的距离看作单位长度1，你能找出棋盘上蕴涵着的图形吗？
　　生：棋盘上的点组成了三角形、四边形、梯形等很多图形.
　　（课件：出示图4.）
　　师：非常好！利用这个图形，能体现我们上节课学习的三角形中位线的有关知识吗？请你说说.
　　生：能，图中中位线是一个单位长度，第三边是两个单位长度，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.
　　师：棋盘中哪些点组成了梯形和它的中位线？请你到屏幕前找出来.
　　（生到屏幕前找图形；课件：出示图5、图6.）
　　师：三角形中位线与第三边存在位置和数量上的关系，梯形中位线有没有类似的性质呢？请结合图形加以说明.
　　生：图5中中位线的长为2，上、下底分别为1、3，上、下底之和为4，梯形的中位线正好等于两底和的一半.
　　生：图6中中位线的长为3，上、下底分别为2、4，上、下底之和为6，体现了梯形的中位线等于两底和的一半.
　　[设计意图：变直接抛出性质为“创设情境――数学建模――观察猜想”过程，凸显探究、发现性质的过程，培养学生的观察能力和猜想能力.]
　　师：很好！你们还能在棋盘中找出其他含有梯形中位线的图形吗？是不是还有上面的发现？
　　生：能！（学生走到屏幕前找出图形，教师出示图7）这个图和图5形状一样，但位置不同.
　　师：很好！这位同学不受束缚，敢于创新，找到的梯形位置有所突破.以上我们发现的都是等腰梯形，同学们还能找到不同形状的梯形及其中位线吗？
　　生：能！（学生走到屏幕前找出图形，教师出示图8.）这是一个直角梯形，中位线的长为1.5，上、下底分别为1、2，上、下底之和为3，仍然体现了梯形的中位线等于两底和的一半.
　　[设计意图：通过变换角度，寻找形状各异的梯形，可以打破学生的思维定势，激发学生的探究欲望，激活学生的思维，有利于培养学生的发散思维和创新能力.]
　　师：由此我们得到一个什么猜想？
　　生：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半.
　　3.借助几何画板，动态验证性质
　　师：在特殊图形中得到的猜想不一定具有一般性.我们可借助几何画板来检验我们的猜想是否具有一般性.
　　（课件：出示图9，在几何画板中拖动梯形的各个顶点，利用几何画板计算功能显示梯形中位线、上底+下底、■的数值变化.）
　　师：在梯形形状和大小发生变化的过程中，你发现了什么？
　　生：梯形中位线（mEF）、上底+下底（mAD+mBC）都在变化，但的值始终没有发生变化.
　　[设计意图：借助几何画板的计算功能发现变中有不变，从数学实验的视角验证了猜想的正确性.]
　　4.依托操作活动，推理论证性质
　　师：通过几何画板的动态演示，我们从实验的角度发现我们的猜想是正确的.但我们数学中的猜想还需经过推理论证才能说明其正确性.要证明此猜想，首先要将该猜想用数学语言表述出来，怎么表述呢？
　　生：已知，（如图10）梯形ABCD中，AD∥BC，AE=BE，DF=CF.说明：（1）EF∥BC；（2）EF= BC+AD）.
　　
　　师：观察结论的特征，你能想到要证梯形中位线问题需要转化成什么问题？转化的关键是什么？
　　生：应该转化为我们学过的三角形中位线问题.
　　师：怎样添加辅助线才能将梯形转化为三角形呢？请大家独立思考.
　　（让学生独立思考大约3分钟.）
　　[设计意图：通过创设独立思考及探究的时间和空间，让学生充分感知了困难、尝试了困难，为进一步探究奠定了基础，有利于增强学生克服困难的意志力.]
　　师：请大家拿出课前准备好的含有梯形中位线的梯形硬纸片，以4人小组为单位，动手操作，试把梯形硬纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个三角形.
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 　　（学生以四人小组为单位进行操作活动，教师一方面作为组织者加强巡视，及时捕捉各组的信息，一方面作为合作者积极参与学生的讨论，及时了解学生遇到的困难，有针对性地进行指导.请学生到前面说明拼图的方法，如图11.）
　　[设计意图：通过设置拼图活动和合作交流的过程，为添加辅助线把梯形中位线转化为三角形中位线做好铺垫.]
　　师：通过刚才的操作，你能添加辅助线将梯形转化为三角形吗？
　　生：能！连接AF并延长交BC的延长线于点G，那梯形的中位线EF就变为△ABG的中位线.
　　师：非常好！你们会说明猜想的正确性了吗？请一位同学到黑板上把推理的过程写出来，其他同学在下面完成.
　　（一位学生板演，其他学生在下面完成.）
　　5.编制变式训练，优化思维品质
　　例1：如图12，梯子各横木间互相平行，且A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，B1B2=B2B3=B3B4=B4B5.已知横木A1B1=48cm，A5B5=32cm.求横木A2B2、A3B3 、A4B4的长.
　　变式1若A1B1=48cm，A2B2=44cm.求横木A3B3 、A4B4 、A5B5的长.
　　变式2若A1B1=48cm，A4B4=36cm.求横木A2B2 、A2B2 、A5B5的长.
　　变式3若A1B1+ A5B5=80cm，求A2B2+A4B4的长.
　　[设计意图：抓住性质的条件“中点”这一特征，通过增加中点的个数、改变线段的角色（已知或未知）等来建构问题的梯度，符合学生的认知规律.同时也培养了学生从复杂图形中分解基本图形的能力.]
　　6.模拟数学实验，培养应用意识
　　例2：一场大雪过后，天气变晴.由于受太阳直接照射，一堆被深雪覆盖的木材（木材的粗细相对均匀，整堆木材的横截面成梯形状）渐渐露出了顶层（如图13），若该堆木材共有6层.请根据现有的信息，试估计这堆木材的根数.
　　[设计意图：从学生日常生活中的问题出发，以本节知识为载体建立数学模型，让学生经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程.]
　　7.反思小结，重构知识体系
　　（1）请学生填写表格，比较三角形中位线和梯形中位线的定义和性质.
　　 （2）利用几何画板动态演示（如图14），将梯形的上底的一个顶点沿上底运动，上底趋于零，则梯形就变成三角形，梯形中位线就成了三角形中位线；反之，就将三角形变成梯形.
　　
　　（3）在本节课的学习中运用了哪些数学思想方法？
　　
　　六、教学反思
　　
　　通过教学实践，可以发现学生基本都能探究得到梯形中位线的性质，能运用性质解决简单的问题.用学生非常熟悉的跳棋棋盘图来体现抽象知识的认知过程，不仅使课堂教学生动活泼，而且产生很强的启迪，有助于学生理解问题的实质.
　　在引入和小结中利用多媒体动态演示，让学生在运动变化中理解三角形中位线与梯形中位线的联系和区别，首尾呼应，均有利于学生对知识的构建.
　　在发现梯形的中位线性质的教学时，让学生在棋盘图中找出不同位置、不同形状的梯形，训练学生的分散思维和求异思维.
　　在教学梯形中位线性质的论证这个难点时，通过精心设计的问题让学生去操作、思考、讨论、探索、发现，并加以启示和点拨，特别注重学生的独立探索和思考，在课堂内最大限度地给学生创造思维自由驰骋的时间和空间.
　　（作者单位：江苏省泰兴市姚王镇中心初中）
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