5.12.13变量之间的关系:变量与变量之间的关系

第六章 变量之间的关系

变量的概念

变量之间的关系 表格法 关系式法

变量的表达方法 图象 一、变量、自变量、因变量

1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。

2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。 3、自变量与因变量的确定：

（1）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。

（2）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。 （3）利用具体情境来体会两者的依存关系。

二、表格

1、表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。 （1）首先要明确表格中所列的是哪两个量；

（2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量； （3）结合实际情境理解它们之间的关系。 2、绘制表格表示两个变量之间关系

（1）列表时首先要确定各行、各列的栏目；

（2）一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量； （3）写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；

（4）在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。 （5）一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间的关系。

三、关系式

1、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（也用字母表示），这样的数学式子（等式）叫做关系式。 2、关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。 3、求两个变量之间关系式的途径：

（1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式。

（2）根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；

（3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式； （4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。 4、关系式的应用：

（1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值； （2）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；

（3）根据关系式求值的实质就是解一元一次方程（求自变量的值）或求代数式的值（求因变量的值）。

四、图象

1、图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象。 2、图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。

3、用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（又称横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（又称纵轴）上的点表示因变量。 4、图象上的点：

① 对于某个具体图象上的点，过该点作横轴的垂线，垂足的数据即为该点自变量的取值； ② 过该点作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。

③ 由自变量的值求对应的因变量的值时，可在横轴上找到表示自变量的值的点，过这个点作横轴的垂线与图象交于某点，再过交点作纵轴的垂线，纵轴上垂足所表示的数据即为因变量的相应值。

④ 把以上作垂线的过程过来可由因变量的值求得相应的自变量的值。 5、图象理解

（1）理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量； （2）看该点所对应的横轴、纵轴的位置（数据）；

（3）从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势。

五、速度图象

1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是横轴）表示时间； 2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：

（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表速度增加；

（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表匀速行驶或静止； （3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表速度减小。

六、路程图象

1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间； 2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：

（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表匀速远离起点（或已知定点）； （2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表静止；

（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点（或已知定点）。

典型例题

1．在一次实验中，小强把—根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的一组对应值：

(1)上述表格反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)当所挂重物为4kg时，弹簧多长?不挂重物呢?

(3)若所挂重物为6kg时(在弹簧的允许范围内)，你能说出此时弹簧的长度吗?

2．如图所示，梯形上底的长是x，下底的长是15，高是8． (1)梯形面积y与上底长x之间的关系式是什么?

(2)用表格表示当x从10变到20时(每次增加1)，y的相应值； (3)当x每增加1时，y如何变化?说说你的理由； (4)当x=0时，y等于什么?此时它表示的是什么?

3．地壳的厚度约为8到40km．在地表以下不太深的地方，温度可按y=35x+t计算，其中x是深度(km)，t是地球表面温度（℃），y是所达深度的温度（℃)． (1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么?

(2)分别计算当x为lkm，5km，10km,20km时地壳的温度(地表温度为2℃)．

题型发散

发散1 选择题 把正确答案的代号填入题中的括号内．

(1)下面的图表列出了—项试验的统计数据，表示将皮球从高处d落下时，弹跳高度b与下落高度d的关系．试问，下面的哪个式子能表示这种关系(单位：cm) ( )

2

(A)bd (B)b=2d (C)b

d

(D)b=d+25 2

(2)某地一天的气温随时间的变化如图，根据图象可知：在这一天中最高气温与达到最高气温的时刻分别是 ( )

(A)14℃；12h (B)4℃；2h (C)12℃；14h (D)2℃；4h

发散2 填空题

1、如图，△ABC是等腰三角形，周长是60cm，腰为xcm，底为ycm． (1)写出用含x的关系式来表示y；

(2)当腰由20cm变化到25cm时，底边长由_______cm变化到________cm； (3)腰为20cm时，是什么形状的三角形?若腰为30cm时，行吗? 纵横发散

发散1 南京市在某一天的地表气温是38℃，据测量每升高1km，气温下降6℃，那么在hkm的高空，温度t是多少?并计算当h的值是6km、10km、12km时的气温.讨论一下民用飞机在一万米高空飞行时，机舱为什么要与机外空气隔绝?

发散2 婴儿在6个月、一周岁、2周岁时体重分别大约是出生时的2倍、3倍、4倍，6周岁、10周岁时体重分别约是1周岁时的2倍、3倍． (1)上述哪些量在发生变化?自变量和因变量各是什么?

(2)某婴儿在出生时的体重是3.5kg，请把他在发育过程中的体重情况填入 下表：

(3)根据表格中的数据，说一说儿童从出生到10周岁之间体重是怎样随年龄增长而变化的?

转化发散

发散1 如图是某地一天的气温随时间变化的图象．根据图象回答，在这一天中： (1)什么时间气温最高?什么时间气温最低?最高气温和最低气温各是多少? (2)20时的气温是多少? (3)什么时间的气温为6℃? (4)哪段时间内气温不断下降? (5)哪段时间内气温持续不变?

发散2 为了加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的．某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6m时，水费按每立方米a元收费；超过6m时，不超过的部分每立方米仍按a元收费，超过的部分每立方米按c元收费．该市某户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示：

3

3

3

设某户该月用水量为xm，应交水费为y(元)．

(1) 求a、c的值，并写出用水不超过6m和超过6m时，y与x之间的关系式； (2) 若该户5月份的用水量为8m，求该户5月份的水费是多少元?

发散3 如图6—5所示的曲线表示某人骑一辆自行车时离家的距离与时间的关系．骑车者九点离开家，十五点回家．根据这个曲线图，回答下列问题： (1)到达离家最远的地方是什么时间?离家多远? (2)何时开始第一次休息?休息多长时间? (3)第一次休息时离家多远? (4)11:00到12:00他骑了多少千米?

(5)他在9:00到10:00和10:00到10:30的平均速度是多少? (6)他在何时至何时停止前进并休息用午餐?

(7)他在停止前进后返回，骑了多少千米?返回时的平均速度是多少?

专题练习：

专题一、速度随时间的变化

1、 汽车速度与行驶时间之间的关系可以用图象来表示，下图中A、B、C、D四个图象，可以分别用一句话来描述：

3

3

3

（1）在某段时间里，速度先越来越快，接着越来越慢。 （ ） （2）在某段时间里，汽车速度始终保持不变。 （ ） （3）在某段时间里，汽车速度越来越快。 （ ） （4）在某段时间里，汽车速度越来越慢。 （ ）

速度 速度 速度

速度

o

A

时间

B

时间

o

C

时间

o D

2、描述一名跳水运动员从起跳到落水这一运动过程中，速度v与时间t之间关系的图象大致是（ ） V

O

A

B O C 3、李明骑车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下修车，车修好后，因怕耽

误时间，于是加快了车速．如用s表示李明离家的距离，t为时间．在下面给出的表示s与t的关系如

图中，符合上述情况的是 ( )

ｔ

ｔ

4、一辆轿车在公路上行驶，不时遇到各种情况，速度随之改变，先加速，再匀速又遇到情况而减速，过后再加速然后匀速，下公路、上小路，到达目的地．图中哪幅图象可近似描述上面情况 ( )

5、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉。当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点„„.用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）

6、小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图6－32所示）

.

（1）图象表示了哪两个变量的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）10时和13时，他分别离家多远？

（3）他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ （4）11时到12时他行驶了多少千米？ （5）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？

（6）他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？

专题二、温度与时间的关系

1、夏天,一杯热水越来越凉，图中可表示这杯水的水温T与时间t的函数关系的是（ ）

2、气温与海拔高度有关，一般情况下，每升高1 km,气温下降6℃.某山地面温度为28℃，请写出气温t(℃)与高度h(km)之间的关系式：________.

3、下面是某人某一天正常体温的变化图(如图).

35.35.

(1)大约什么时间其体温最高？最高体温是多少？ (2)大约什么时间其体温最低？最低体温是多少？ (3)在什么时间内其体温在降低？ (4)在什么时间内其体温在升高？ (5)A、B两点分别表示什么？

(6)从大体上说说体温在24小时内的变化情况.

专题三、高度（深度）与时间的变化

1、如图是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系？( )

A B C D

2、如图：向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定）注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的关系大致是下列图象中的（

A

B

C

D

3、气温随高度而变化的过程中，________是自变量，_______因变量

4、一圆锥的底面半径是5cm，当圆锥的高由2cm变到10cm时，圆锥的体积由________cm变到_________cm．

3

3

5、△ABC的底边BC＝8 cm,当BC边上的高线从小到大变化时，△ABC的面积也随之变化. (1)在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？ (2)△ABC的面积y(cm2)与高线x(cm)的关系式是什么？

(3)用表格表示当x由5 cm变到10 cm时(每次增加1cm),y的相应值. (4)当x每增加1 cm时，y如何变化？

专题四、数学与生活

1、某人用新充值的50元IC卡打长途电话，按通话时间3分钟内收2.4元，超过1分钟加收一元钱的方式缴纳话费.若通话时间为t分钟（t大于等于3分钟），那么电话费用w可以表示为 ；当通话时间达到10分钟时，卡中所剩话费从50元减少到 元

2、一种豆子每千克售2元，豆子总的售价y(元)与所售豆子的质量x(kg)之间的关系如下表.

(1)在这个表中反映哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当豆子卖出5 kg时，总价是多少？

(3)如果用x表示豆子卖出的质量，y表示总价，按表中给出的关系,用一个式子把x和y之间的关系表示出来.

(4)当豆子卖出20 kg时，总价是多少？

体验中考：

1、（2011重庆市潼南,8,4分）目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升.小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是（ ） A．y=0.05x

B． y=5x C．y=100x D．y=0.05x+100

2、（2010湖北孝感，7，3分）一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地.若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地.设轮船从甲地出发后所用的时间为t（小时）,航行的路程为s（千米）,则s与t的函数图象大致是（ ）

3、（2011四川重庆，8，4分） 为了建设社会主义新农村，我市积极推进“行政村通畅工程”，张村

和王村之间的道路需要进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间道路的改造．下面能反映该工程尚未改造道路里程y(公里)与时间x(天)的函数关系的大致图像是( )

A． B． C． D．

4、（2011山东济宁，7，3分）如图，是张老师出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是（ ）

x

（第4题）

A

B

C

D

5、（2011浙江衢州，9,3分）小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路（如图）.若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为v1、v2、v3，且v1v2v3，则小亮同学骑车上学时，离家的路程s与所用时间t的函数关系图像可能是（ ）