圆与双曲线的一组相关性质|双曲线与圆相切性质

　　摘要：本文将《圆与椭圆的一组相关性质》一文中介绍的一些性质进行类比，得到了关于圆x2+y2=a2与双曲线-=1的一组相关性质. 　　关键词：圆；双曲线 　　
　　定理1 如图1所示，点A，B分别为双曲线-=1（a>0，b>0）的左顶点和右顶点，点F1，F2分别为双曲线-=1的左焦点和右焦点，过双曲线-=1上异于点A，B的任一点P，引双曲线-=1的切线，交圆x2+y2=a2于点M，N（两交点中偏左的一点记为M，偏右的一点记为N），直线AM，BN的交点记为Q，则
　　（1）MF1∥NF2；
　　（2）kAM・kBN为定值；
　　（3）PQ与x轴垂直.
　　[F1][F2][B][O][M][A][N][Q][P][x][y]
　　图1
　　证明设P（asecθ，btanθ)，M（x1，y1），N（x2，y2），其中x10，b>0）的左顶点和右顶点，点F，F分别为双曲线-=1的左焦点和右焦点，过圆x2+y2=a2上异于点A，B的任一点P引双曲线-=1的两切线PM，PN，切点分别为M，N（两切点中偏左的一点记为M，偏右的一点记为N），直线AM，BN的交点记为Q，则
　　（1）F1M∥OP∥F2N；
　　（2）kAM・kBN为定值；
　　（3）PQ与x轴垂直.
　　[F1][F2][B][A][M][O][P][Q][y][x][N]
　　证明设P（acosθ，asinθ），M（x1，y1）， N（x2，y2），其中x10，b>0）的左顶点和右顶点，点F1，F2分别为双曲线-=1的左焦点和右焦点，过点F1作直线MN交圆x2+y2=a2于点M，N（直线MN不与x轴重合），以点M，N为切点分别作圆x2+y2=a2的切线，记两切线的交点为T，直线AM，BN的交点为P，直线AN，BM的交点为Q，则点T，P，Q均在双曲线-=1的左准线x=－上.
　　（将点F1替换为点F2时有类似结论，详细过程从略）
　　[F1][F2][O][B][Q][A][M][N][T][P][x][y]
　　证明设直线MN：x=my－c，M（x1，y1），N（x2，y2）.
　　由x=my－c，
　　故易得以点M（x1，y1）为切点的圆x2+y2=a2的切线方程为x1x+y1y=a2，以点N（x2，y2）为切点的圆x2+y2=a2的切线方程为x2x+y2y=a2.
　　由x1x+y1y=a2，
　　x2x+y2y=a2
　　⇒（x1y2－x2y1）x=a2（y2－y1）（因x1=my1－c，x2=my2－c）
　　⇒［（my1－c）y2－（my2－c）y1］x=a2（y2－y1）
　　⇒c（y1－y2）x=a2（y2－y1）
　　⇒x=－
　　⇒点T的横坐标为－
　　⇒点T在直线x=－上.
　　由点A，M得直线AM：y=（x+a），由点B，N得直线BN：y=（x－a）.
　　所以点P的横坐标为－，即P在直线x=－上.
　　同理,可证点Q也在直线x=－上 .
　　综上可知，点T，P，Q均在双曲线-=1的左准线x=－上，从而定理3得证.
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