【浅谈平面解析几何教学的思想方法】平面解析几何教学视频
平面解析几何是数学中最基本的分支学科之一，也是科学技术中最基本的数学工具之一。从历史的角度看，解析几何的创立可以说是数学史上最伟大的创造之一，它的产生是常量数学向变量数学的转折点――在此基础上建立微积分。在现代数学教学中，解析几何是学习高等数学的基础，因而，它的一部分构成中学的平面解析几何课程，另一部分构成大学数学基础课的内容。
本人通过平面解析几何的教学，现总结出解决平面解析几何问题的几点想法：
一、重视“数形结合”的数学思想
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。于是用代数方法解决几何问题或借助几何图形性质解决代数问题的思想方法――形数结合的思想方法诞生。
例如：直线L的方程为：x=-p/2(P)0)，椭圆中心D(2+p/2，0)，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离?
[分析]由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题(研究方程组解的情况)。
[解]由已知得：a=2，b=1，A(p/2，0)，设椭圆与双曲线方程
[注]本题将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题。一般地，当给出方程的解的情况求参数的范围时可以考虑应用了“判别式法”，其中特别要注意解的范围。另外，“定义法”、“数形结合法”、“转化思想”、“方程思想”等知识都在本题进行了综合运用。
平面解析几何要完成的两大任务：一是，根据曲线的几何条件，把它的代数形式表示出来；二是，通过曲线的方程来讨论它的几何性质。
关注1：怎样把几何问题转化为代数问题?
首先，在复习中，要主动地去理解几何对象的本质特征。这是实现几何问题代数化的基础和落脚点。平面解析几何毕竟是几何，决不能忽视对几何对象的几何特征的认识与理解。其次，完成好几何问题向代数问题的转化，还要善于将几何性质通过代数形式表达出来。教师在教学中要有意识地找一些几何对象的常见、比较典型的几何特征，进行有针对性的代数化训练。
关注2：提高将“代数结论”向“几何结论”的转化的意识和能力。在解析几何的复习中，只有重视对以上两个问题的关注，才能深刻领悟到解析几何的思维方法，并努力尝试应用这种思维模式去解决问题，如此才有可能使解析几何的最后复习落到实处。
例如：(2006年上海春卷)学校科
技小组在计算机上模拟航天器变轨返
回试验.设计方案如图：航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x2+y2=1，变轨(即航天器运行轨迹由椭 圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴
为对称轴、M(O，64/7)为顶点的抛物线
的实线部分，降落点为D(8，0)．观测 点A(4,0)、B(6,0)同时跟踪航天器。
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
(2)试问：当航天器在轴上方时，
观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令?
二、用数学思想方法指导平时的教学
在问题解决中运用思想方法，提高学生自觉运用数学思想方法的意识。
注意分析，探求解题思路时数学思想方法的运用。解题的过程就是在数学思想的指导下，合理联想提取相关知识，调用一定数学方法加工、处理题设条件，逐步缩小题设与所求问的差异的过程。也可以说是运用化归思想的过程，解题思想的探求是运用思想方法分析解决问题的过程。注意数学思想方法在解决典型问题中的运用。
例如已知椭圆c的方程为y2/b2=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆c的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l2与交于P点，设l与椭圆c的两交点从左到右依次为B、A(如图所示)。
求：|PB|/|PA|的大值，取得最大值时椭圆c的率心率e的值
[解]解析：设C的半焦距为c，由对称性，不妨设l1。：y=b/ax，l2：y=b/ax 由
的右准线a=a2上.
设点A内分有向线段FP的比为l，由定比分点坐标公式求出点A的坐标为
∵点A在椭圆c上，将点A的坐标代入椭圆方程化简，整理，有(c2+λa2)λ2a2=a2c2(1+λ)2，两边同除以a4。由 e=a/e得(e2+λ)2，=e2(1+λ)2
分别过A、B作椭圆c的右准线的 垂线，垂足分别为N、M．
设|PB|=t|PA|，可得|BM|=t|AN|，
总之，在平面解析几何教学中，对每一个知识点的定义要有足够的理解，对例、习题进行变式、提高，挖掘出课本的可变因素，从例、习题的典型性中体会到数学思想、数学方法。从而达到知识系统化、网络化。
(责任编辑：张华伟)