对一道课本习题的逆向转换

　　【摘要】 通过对课本习题的转换研究,让学生在进行习题解答时有意识地变换问题中的前因后果,加深了学生对问题的理解,增强了创新研究的意识,体现了新课程的内涵。　　【关键词】 逆向转换 举一反三 课程
　　【中图分类号】 G424 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)05(a)-0132-01
　　在对已知题目进行正确解答之后,通过进一步反思解题思路,可以利用题目的因和果、前和后、已知和未知、正和反等进行逆向转换,形成新的问题．通过这种转换,不但可以深化学生对原有问题的认识,还可以在习题进行创新的过程中培养学生的举一反三、求异创新的能力。
　　题目 (苏教版普通高中课程标准实验教科书选修1—1第50页,第16题)已知直线与抛物线交于两点,且(为坐标原点),求的取值范围．
　　解析 设点,,,
　　又,,,
　　得
　　又,得,,．
　　解完该题后,可依次作出如下逆向转换:
　　转换一 直线与抛物线交于两点,求证:(为坐标原点)．
　　证明 设点,,联立,
　　得,
　　则,而
　　可得,进而有,故．
　　转换二 设直线与抛物线()相交于两点,为坐标原点,证明:的充要条件是直线必经过定点．
　　证明 (必要性)由题意,直线的斜率一定存在,设为,则
　　联立(),得,
　　设,,
　　则,,则,
　　由,则,则,,
　　则必经过定点．
　　(充分性)若直线经过定点,故可设,代入,
　　得,设,,则,
　　则,．
　　转换三 (根据2005年高考广东卷第17题改编)
　　如图1所示,在平面直角坐标系中,抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足．求的重心的轨迹方程。
　　解析 由“转换二”可得,直线不垂直于轴且必经过点．设,,则有:
　　直线的方程为,
　　由,得,则,,
　　又,,
　　则,
　　设的重心为,则,即,
　　消去,得．故的重心的轨迹方程为．
　　转换四 如图1,已知是以原点为直角顶点的抛物线()的内接直角三角形,求面积S 的最小值．
　　解析 设,,由“转换三”可得,则
　　=
　　．当且仅当时,．
　　通过转换研究,让学生在进行习题解答时有意识地变换问题中的前因后果,加深了学生对问题的理解,增强了创新研究的意识．
　　参考文献
　　[1] 陈伟明．一道课本例题在高考中的引申．试题与研究,2005(33).
　　[2] 焦忠汉．抛物线顶点直张角弦的一个性质及应用．中学数学,2008(8).