大学数学解题软件_大学数学思想方法渗透式教学举例

　　摘要：文章提出数学思想方法是大学数学的灵魂，在课堂上对数学思想方法实施渗透式教学的必要性与可能性，举例说明在课堂上如何实施数学思想方法的渗透式教学。　　关键词：数学；思想方法；教学方法；
　　中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）08-0069-02
　　所谓数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果，是对数学知识和方法的本质及规律的理性认识，它是数学思维的结晶和概括，是解决数学问题的灵魂和根本策略。而数学方法则是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经推导、运算、分析，以形成解释、判断和预言的方法，它是数学思想的具体反映，是数学思想的具体表现形式，也是实现数学思想的手段和重要工具。数学思想和数学方法之间没有严格的界限，只是在操作和运用过程中根据其特征和倾向性，分为数学思想和数学方法。日本数学教育家米山国藏说：“即使学生把所教的知识（概念、定理、法则和公式等）全忘了，铭记在他心中的数学精神、思想和方法却能使他终身受益。”因此数学思想方法是数学的灵魂。尤其是在强调素质教育的今天，教学教育担负着更大的历史使命，数学教育，尤其是大学数学教育对教师提出了更高的要求，教师不仅要向学生传授大学阶段具体的数学知识，还要注重学生数学素质的培养与数学能力的提高，引导学生用数学眼光看世界，用数学思维想问题，用数学智慧解决问题。而要实现这一高层次的教学目的，教师在平时每一次教学过程中，即要讲清楚每一章节具体内容，更要从中发掘数学思想方法，有意识、有目的地结合具体内容对其反复训练，层层推进，逐步渗透式教学。
　　对教学对象而言，要使学生掌握一种数学思想方法，提高自己的数学素质。显然不是一朝一夕、一两节课、一两个例子能教出来，而只能通过“渗透—积累—重复—内化”这一漫长过程，反复磨炼，最后才能转化为学生自己经验的系统知识。另一方面，作为一种重要思想方法，它通常具有较广的适应性，即在同一门数学课中它可能反复体现，这也为我们成功实施渗透式教学提供了可能性。
　　例如，在高等数学这一大学重要数学分支中，换元法就是一种重要的思想方法，它至少在以下几个方面给人以启示：（1）看问题不能只盯着某一点，视野要开阔，要多角度、多目标地思考；（2）处理问题要有大局观，不能只见树木，不见森林。只有这样才能使人不迷失在问题的某些具体细节中；（3）处理具体事物化整为零与化零为整都是必要的。
　　这种思想方法之所以重要还因为它是高等数学这门课程中的基本思想方法，这门课中的几乎每一重要章节中都能看到它的身影，这样教师使用不同内容可对此进行反复渗透式教学。例如，在第一章第一节函数概念中，通过下述例子介绍换元法，
　　例1.已知f■=x+■，（x＞0），求y=f（x）的解析式。
　　解x是一变量，■看作一整体，仍是一变量，即使用换元：■=u，x=■，由已知等式得f（u）=■，所以f（x）=■，（x＞0），求函数极限时，下述类型例子可进一步强调换元法。
　　例2.求下列极限■■x
　　解：对照重要极限■1+u■=e，■■x=■1+■x作换元■=u，x=a+■
　　原式=■1+u■=■1+u■1+u■=e3a
　　复合函数求导的链式法则：（f（φ（x）））" u=φ（x） fu（u）（φ（x））"
　　其中明显蕴含着换元思想，在积分运算中，有两种换元法，特别是第一类换元：■f（φ（x））φ"（x）dx φ（x）=u ■f（u）du=F（u）+C=F（φ（x））+C更彰显出换元法思想，将换元思想精神推崇备至，同时它与复合函数求导链式法则中的换元互相对应，相辅相成。
　　在求幂级数■an（x-x0）n收敛半径与收敛域及将函数幂级数展开时，通常又作换元u=（x-x0）。在微分方程部分，下例是使用换元法求解的典型。
　　例3.求微分方程■=■+tan■的通解
　　解：由原方程特点，将■看作一整体，令■=u（1）
　　y=ux ■=u+x■ （2）
　　将（1）（2）代入原方程得：x■=tanu
　　这是变量可分离的方程，用分离变量法易求通解sinu=Cx，将（1）代入上式得到原方程通解sin■=Cx，其中C是任意常数。
　　总之，在整个高等数学教学过程中，经过教师发掘，对同一数学思想方法实施反复渗透式教学，用一种自然、潜移默化方式向学生传授，使学生慢慢学会用数学思想方法思考问题、解决问题，并使之最终成为一种习惯。这不正是数学教育追求的最高境界吗？另外，教师在进行这种数学思想方法渗透式教学过程中，也往往向学生充分展现：数学内容前呼后应，它们具体内容有时尽管有很大差异，但可以用一种思想方法统一起来，是一个有机的整体，从而彰显数学的统一美。在教师方面，这样教，确实做到瞻前顾后，高屋建瓴。这样的数学课必然内容丰富、饱满，教师也讲得生动、有激情。
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　　作者简介：王宝存（1965-），男，安徽巢湖人，讲师，主要从事高等数学、概率与数理统计等教学及组合图论研究。