小学一年级数学思维发散题 [数学思维的发散]

　　高中数学教学中，我们往往遇到这样的问题，学生的思维狭隘，解决问题的能力不强。从考后分析看，部分学生理解分析问题方法单一、刻板、思维的灵活性受限，思维定势倾向严重，致使计算率低，个别学生遇到问题束手无策。本文就一题多解开发学生思维方面阐述我的见解。
　　如何发散学生的数学思维呢？通过自身的教学实践，我认为一题多解就是一种有效的方法。一题多解，就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，它属于解题的策略问题。
　　下面通过例题，来体会它的独特功效。
　　例1 已知ｘ，ｙ∈ R +且1 x+9 y=1，求ｘ＋ｙ的最小值。
　　解法1：“1”的妙用。
　　∵1 x+9 y=1。
　　∴x+y=(x+y) 1 x+9 y =10+y x+9x y≥16。
　　当且仅当y x=9x y时，即x=4,y=12时取等号。
　　解法2:构造函数法。
　　由1 x+9 y=1，得y=9+9 x-1(x＞1)。
　　∴x+y=x+9+9 x-1=10+x-1+9 x-1≥16。
　　当且仅当x-1=9 x-1，即x=4时取等号。
　　解法3：三角代换法。
　　令 1 x =(cos θ)2, 9 y =(sin θ)2。则x+y=(sec θ)2+9(csc θ)2=10+(tan θ)2+9(cot θ)2≥16。
　　错解：
　　∵x,y∈ R+ ，
　　∴1= 1 x + 9 y ≥ 6 xy ①。
　　当且仅当 1 x = 9 y ，即y=9x时取等号。
　　a2+c22+b2+d22=a2+b2+c2+d22=1。
　　当且仅当a=c，b=d时等号成立。
　　解法2：不等式法。
　　由已知，得a2+b2+c2+d2=2≥2ac+2bd，
　　即ac+bd≤1。
　　当且仅当a=c，b=d时等号成立。
　　解法3：三角代换。
　　依题意设a=sin α,b=cos α,c=sin β,d=cos β
　　则ac+bd=sin αsin β+cos αcos β
　　=cos(α－β)≤1。
　　点评： 此法借助换元，巧用三角恒等变换等知识，言简意赅地解出此题。一题多解，有利于加强学生的思维训练，培养学生的思维品质。教学中，积极、适宜的进行一些一题多解的训练，有利于充分调动学生思维的积极性，提高学生综合运用已学知识解答数学问题的技能和技巧，有利于锻炼学生思维的灵活性，促进学生知识和智慧的增长，有利于开拓学生的思路，引导学生灵活地掌握知识之间的联系，培养和发挥学生的创造性。
　　（作者单位：河南省滑县第二高级中学）